Разложение силы на две составляющие

Сложение двух сил

Сложение двух сходящихся сил, т. е. сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, производится по тем же двум правилам – правилу параллелограмма и правилу треугольника, рассмотренным в главе I (§ 1), и теми же методами – графическим, графо-аналитическим и аналитическим (методом проекций).

При сложении сил необходимо учитывать следующее обстоятельство.

В теоретической механике – в механике твердого тела, сила – скользящий вектор, т. е. при решении задач силу можно переносить вдоль линии ее действия в любую точку. Поэтому, если на тело действуют две силы P₁ и P₂, лежащие в одной плоскости, как, например, показано на рис. 25, а, то эти силы можно перенести в точку C – точку пересечения линий действия данных сил и считать их приложенными таким образом к одной точке тела (рис. 25, б), как это и сделано в задаче 20.

Задача 20. Определить равнодействующую R* двух сил P₁и P₂, модули которых соответственно равны P₁=40 н и P₂=80...

Разложение силы на две составляющие

Решение многих практических задач по статике сводится к разложению силы на две составляющие. Подобные задачи, как показано в § 2, решаются либо по правилу параллелограмма, либо по правилу треугольника и, в зависимости от исходных данных, приводятся к одному из четырех типов.

Общая методика решения приведенных ниже задач сводится к следующему:

1. Выбираем метод решения – графический или графо-аналитический.

2. Выбираем правило, по которому будем решать задачу, т. е. либо правило параллелограмма, либо правило треугольника.

3. Если выбран графический метод, то далее выбираем масштаб построения, строим параллелограмм или треугольник (в соответствии с выбранным правилом) и, наконец, измеряем стороны получившейся фигуры, находим модули соответствующих сил, а измерив углы, найдем их направления.

4. Если выбран графо-аналитический метод, то в зависимости от избранного правила строим параллелограмм или треугольник, соблюдая приблизительные соотношения размеров длин и углов, а затем, в зависимости от исходных данных, используем геометрические или тригонометрические соотношения.

Задача 22. Фонарь весом 80 н подвешен на кронштейне ABC, укрепленном на вертикальной стене (рис. 27). Определить усилия, возникшие в горизонтальном...

Задача 23. При помощи двух нерастяжимых нитей АС и ВС удерживается груз, вес которого 12 кГ. Положение нитей и груза показано на рис. 30. Определить...

Задача 24. Груз весом G=12 кГ удерживается при помощи двух нитей, которые образуют с вертикалью (линией действия веса G) углы α= 65° и β=90°...

Задача 25. Груз массой 200 кг необходимо подвесить на кронштейне, у которого один из стержней горизонтальный и в нем должно возникнуть сжимающее усилие...

Задача 26. Между высокими стенами необходимо временно подвесить некоторый груз весом 140 кГ на одинаковом расстоянии по 1 м от стен и на высоте 1 м от горизонтального...

Задача 27. На конце В стержня АВ, длина которого AB= l, шарнирно прикрепленного в точке А к вертикальной стене, необходимо подвесить груз весом G=6...

Многоугольник сил. Определение равнодействующей сходящихся сил

Для сложения любого числа сходящихся сил применяется правило многоугольника. Используя это правило, задачу можно решить либо графическим методом (задача 3), либо методом проекций (задача 18).

Задачи, приведенные в этом параграфе, решены методом проекций. Графическим методом рекомендуется решить эти задачи самостоятельно.

Порядок решения задач методом проекций изложен в § 4, п. 7.

Задача 33. Определить равнодействующую четырех сил: P₁=18 кГ, P₂=10 кГ, P₃=6 кГ и P₄=8 кГ, приложенных к одной...

Задача 34. К концу В веревки АВ прикреплено кольцо, на которое действуют четыре силы: P₁=40 н, P₂=25 н, P₃=25 н и P₄=20...

Задача 35. На конце В горизонтального стержня АВ необходимо прикрепить две нити с грузами P₁=4 кн и P₂=0,8 кн, как показано...

Задача 36. Определить равнодействующую пяти сил: P₁ = 52 н, P₂ = 70 н, P₃ = 69 н, P₄= 77 н, P₅ =...

Равновесие сходящихся сил

При определении равнодействующей системы пяти сил в задаче 36 установлено, что R=0 и, следовательно, система сил уравновешена. Если из сил, данных в задаче 36, построить векторный (силовой) многоугольник (рис. 47), то увидим, что он замкнется. В этом и состоит геометрическое условие равновесия системы сходящихся сил:
P₁ + P₂ + P₃ +... + P_i = 0.

Из геометрического условия следует аналитическое условие равновесия, выражающееся двумя уравнениями:
∑ X_i = 0 и ∑ Y_i = 0.

Следует заметить, что все задачи, приведенные в § 6, можно решить с применением условия равновесия системы сходящихся сил. Причем при решении задач на равновесие системы сходящихся сил можно использовать те же три метода: графический, графо-аналитический и аналитический (метод проекций).

Необходимо учитывать, что если рассматривается равновесие плоской системы сходящихся сил, приложенных к одному телу, число неизвестных величин не должно превышать двух (условие статической определимости задачи с плоской системой сходящихся сил):
а) неизвестна одна сила, т. е. ее модуль и направление;
б) неизвестны направления двух сил данной системы;
в) неизвестны модуль одной из сил и направление второй;
г) неизвестны модули двух сил.

При графическом методе решения во всех четырех случаях можно построить замкнутый силовой многоугольник и найти в нем неизвестные величины.

Графо-аналитический метод целесообразно применять в тех случаях, когда рассматривается равновесие трех сил. При этом по условию задачи в произвольном масштабе строится замкнутый треугольник, который затем решается на основе геометрических либо тригонометрических соотношений.

Метод проекций целесообразно применять для решения задач с числом сил больше трех.

При решении задач на равновесие плоской системы сходящихся сил рекомендуется придерживаться такой общей для всех систем схемы:

1) выделить тело или точку, равновесие которых рассматривается в данной задаче, и изобразить их на рисунке;

2) выяснить, какие нагрузки действуют на тело (точку) и также изобразить их на рисунке;

3) освободить выделенное тело (точку) от связей и заменить их действие реакциями, которые надо изобразить на том же рисунке;

4) на основе полученной схемы сил построить замкнутый силовой треугольник (если рассматривается равновесие трех сил) или составить уравнения равновесия; причем при составлении уравнений проекций оси целесообразно расположить так, чтобы их направления были параллельны или перпендикулярны к искомым силам (оси проекций также показываются на рисунке);

5) после решения уравнений равновесия полученные результаты необходимо проверить либо при помощи неиспользованных уравнений или соотношений, либо путем решения задачи другим способом.

Задача 39. Фонарь весом 9 кГ подвешен на кронштейне ABC (рис. 48, а). Определить реакции горизонтального стержня АВ и наклонной тяги ВС, если AB=1,2...

Задача 40. В точке В кронштейна ABC (рис. 49, а) подвешен груз M массой 816 кг. Определить реакции стержней кронштейна, если углы кронштейна α=110°,...

Задача 41. К шарниру В кронштейна ABC прикреплена веревка, перекинутая через блок, к другому концу которой прикреплен груз весом G=1,5 кн (рис. 51,...

Задача 42. При помощи стержневого устройства ABC (в точках A, В и С соединения шарнирные) удерживаются в равновесии два груза – первый весом G₁=6...

Задача 43. Какую силу Р нужно дополнительно приложить к шарниру В стержневого устройства, описанного в задаче 42, чтобы оба стержня АВ и СВ были растянуты...

Правило параллелепипеда сил

Простейшую пространственную систему сходящихся сил образуют три силы, приложенные к одной точке.

Для сложения таких трех сил применяется правило параллелепипеда (рис. 148). Если даны силы P₁, P₂ и P₃, то заменяющая их действие равнодействующая R по модулю и направлению соответствует диагонали АЕ параллелепипеда, ребра которого AB, АС и AD соответствуют трем силам.

В частном случае, который наиболее характерен для решения практических задач, три данные силы P₁, P₂ и P₃ взаимно перпендикулярны и тогда при их сложении образуется прямоугольный параллелепипед (рис. 149).

В этом случае модуль равнодействующей
R = sqrt(P₁² + P₂² + P₃²)
а направление R относительно каждой из составляющих сил можно найти по формулам
cos α₁ = P₁/R; cos α₂ = P₂/R; cos α₃ = P₃/R.

Так же как и правило параллелограмма (см. § 1, 5 и 6), правило параллелепипеда можно использовать не только при сложении сил, но и при разложении данной силы на три составляющие. Наиболее часто производят разложение силы на составляющие, действующие по трем взаимно перпендикулярным направлениям.

Задача 107. Три цепи одинаковой длины l соединены вместе кольцом А (рис. 150, а). Оставшиеся свободными концы цепей закреплены в трех точках...

Задача 108. Найти усилия в стержне АВ и цепях АС и AD, поддерживающих груз Q весом 42 кГ, если АВ=145 см, АС=80 см, AD=60 см. Плоскость прямоугольника CADE...

Теорема Вариньона

Из формулы, определяющей расстояние от центра приведения до линии действия равнодействующей,
OA = (∑ M₀(P_i))/R
(см. § 12 и рис. 74) можно вывести уравнение, выражающее теорему Вариньона для произвольной плоской системы сил:
R * OA = ∑ M₀(P_i):
момент равнодействующей относительно любой точки равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно той же точки.

Теорема Вариньона находит широкое применение при решении задач по статике, в частности во всех тех задачах, где рассматривается равновесие рычага (задачи с 70 по 74).

При помощи теоремы Вариньона очень просто определяется равнодействующая какого угодно числа параллельных сил Р₁, Р₂, Р₃,..., Р_i(рис. 80).

Известно, что модуль равнодействующей любой плоской системы сил равен модулю главного вектора:
R = R_гл = sqrt(X_R² + Y_R²).

Но если в данном случае расположить оси проекций так, как показано на рис. 80, одну ось – перпендикулярно к силам, а другую – параллельно им, то
X_R = ∑ X_i = 0
и
R = |Y_R| = |∑ Y_i|.

Таким образом, модуль равнодействующей, параллельной системы сил равен абсолютному значению алгебраической суммы проекций сил на ось, параллельную этим силам.

Так как X_R=0, то вектор равнодействующей R направлен параллельно составляющим силам. Сторона, в какую направлен R, определяется по знаку ∑ Y_i. Если у алгебраической суммы проекций получается знак «плюс», то равнодействующая направлена в сторону положительного направления оси; если получается знак «минус», то равнодействующая направлена противоположно положительному направлению оси.

Определив модуль и направление равнодействующей, по теореме Вариньона находим расстояние OA, на котором расположена KL – линия действия R от произвольно выбранного центра моментов O.

Задача 65. Определить равнодействующую двух параллельных сил Р₁ и Р₂, направленных в одну сторону (рис. 81, а), если Р₁=12...

Задача 66. Найти равнодействующую двух параллельных сил Р₁ и Р₂, направленных в разные стороны, если Р₁=12 кн и Р₂=60...

Задача 67. К концам прямолинейной однородной планки длиной 1,6 м и весом 5 н прикреплены два груза (рис. 83): слева – груз Р₁=20 н,...

Задача 68. Балансир AB, на который действуют пять горизонтально направленных параллельных сил (рис. 84), должен находиться в равновесии в вертикальном...

Задачи, приведенные ниже, решаются при помощи так называемого условия равновесия рычага, непосредственно вытекающего из теоремы Вариньона (Е. М. Никитин, § 28).

Рычагом можно назвать любое тело, поворачивающееся либо вокруг закрепленной оси, либо около линии контакта, образующейся при свободном опирании на другое тело.

Находясь под действием сил, рычаг уравновешен лишь в том случае, если линия действия равнодействующей пересекает ось или линию опоры. Причем если опорой рычага АВ служат закрепленная ось (неподвижный шарнир), то линия действия равнодействующей может быть направлена к рычагу под любым углом α (рис. 85, а). Если же рычаг АВ свободно опирается на идеально гладкую опору (рис. 85, б), то линия действия равнодействующей должна быть перпендикулярна к опорной поверхности.

В любом из этих случаев равновесие возникает потому, что система сил, действующих на рычаг, уравновешивается реакцией опоры R_ур, численно равной равнодействующей. А так как момент равнодействующей относительно опоры равен нулю, то из выражения теоремы Вариньона следует уравнение
∑ M_оп(P_i) = 0,
выражающее условие равновесия рычага.

Задача 70. Масса неоднородного стержня составляет 4,5 кг. Для определения положения центра тяжести стержня его левый конец положен на гладкую опору, а правый...

Задача 71. Какова должна быть масса однородной доски (рис. 87, а), чтобы, опираясь в точке В на гладкую опору, она с положенными на нее грузами m₁=100...

Задача 72. Предохранительная заслонка открывается в тот момент, когда давление в резервуаре превышает внешнее атмосферное на p=150 кн/м². Заслонка...

Задача 73. На рис. 89, а изображен коленчатый рычаг ABC, к короткому колену которого при помощи нити прикреплен груз массой m₁=50 кг, а...

Сочлененные системы

Сочлененной называется система нескольких тел, соединенных друг с другом при помощи внутренних связей: простого опирания, стержней или нитей (цепей), шарниров.

При решении некоторых задач с сочлененными системами равновесие каждого тела системы рассматривают отдельно. При этом в месте сочленения тел возникают две силы, одна из которых приложена к одному телу, а другая – ко второму телу. Эти силы равны по модулю, направлены вдоль одной прямой, но в противоположные стороны (закон равенства действия и противодействия).

На рис. 126 показаны силы взаимодействия, возникающие между телами А и В: P_AB – действие тела А на тело В и P_BA – действие тела В на тело А. Если, например, тело А служит опорой для В (связью), то P_AB – реакция связи, приложенная к телу B, а P_BA – сила давления (нагрузка), приложенная к телу А.

На рис. 127 показаны силы, возникающие при взаимодействии тел A и B не непосредственно друг с другом, а через стержень. Если допустить, что тело А действует на В через стержень силой T_AB, то тогда со стороны тела В возникнет сила T_BA. В задачах, как правило, рассматривают только эти две силы, приложенные к телам А и В (рис. 127, а).

На рис. 127, б показаны силы, приложенные только к стержню, т. е. показаны действия на стержень тел А и В.

Если два тела А и В связаны друг с другом при помощи так называемого внутреннего шарнира (рис. 128), то направление сил взаимодействия заранее неизвестно. Поэтому каждая из сил взаимодействия между телами (силы R_AB и R_BA – предположительно показаны на рис. 128 штриховыми векторами) заменяются составляющими X_AB, Y_AB и X_BA, Y_BA. Причем для этих векторов выполняются следующие равенства:
R_AB=-R_BA, X_AB=-X_BA и Y_AB=-Y_BA.

Задача 97. Балка АВ, имея в точке А шарнирное крепление, опирается в точке В на балку CD (рис. 129, а), которая удерживается в равновесии стержнем...

Задача 98. Балка АВ жестко заделана у точки А и нагружена по всей длине равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q=8 кн/м (рис. 130, а)...

При решении задач, в которых сочленение тел произведено при помощи промежуточного шарнира, целесообразно сначала составить уравнения равновесия для всей системы, а затем добавить к ним уравнение моментов сил относительно промежуточного шарнира для одного из тел сочлененной системы.

Покажем это на примере следующей задачи.

Задача 99. Балки 1 и 2 шарниром С соединенные между собой, шарнирно прикреплены к неподвижным опорам в точках А и В (рис. 131, а). Длина балок одинакова:...

Задача 100. На наклонных плоскостях АС и ВС помещены два тела 1 и 2, связанные нитью, которая перекинута через блок D (рис. 132, а), f₁ –...

Сложение двух сил

Сложение двух сходящихся сил, т. е. сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, производится по тем же двум правилам – правилу параллелограмма и правилу треугольника, рассмотренным в главе I (§ 1), и теми же методами – графическим, графо-аналитическим и аналитическим (методом проекций).

При сложении сил необходимо учитывать следующее обстоятельство.

В теоретической механике – в механике твердого тела, сила – скользящий вектор, т. е. при решении задач силу можно переносить вдоль линии ее действия в любую точку. Поэтому, если на тело действуют две силы P₁ и P₂, лежащие в одной плоскости, как, например, показано на рис. 25, а, то эти силы можно перенести в точку C – точку пересечения линий действия данных сил и считать их приложенными таким образом к одной точке тела (рис. 25, б), как это и сделано в задаче 20.

Задача 20. Определить равнодействующую R* двух сил P₁и P₂, модули которых соответственно равны P₁=40 н и P₂=80...

Разложение силы на две составляющие

Решение многих практических задач по статике сводится к разложению силы на две составляющие. Подобные задачи, как показано в § 2, решаются либо по правилу параллелограмма, либо по правилу треугольника и, в зависимости от исходных данных, приводятся к одному из четырех типов.

Общая методика решения приведенных ниже задач сводится к следующему:

1. Выбираем метод решения – графический или графо-аналитический.

2. Выбираем правило, по которому будем решать задачу, т. е. либо правило параллелограмма, либо правило треугольника.

3. Если выбран графический метод, то далее выбираем масштаб построения, строим параллелограмм или треугольник (в соответствии с выбранным правилом) и, наконец, измеряем стороны получившейся фигуры, находим модули соответствующих сил, а измерив углы, найдем их направления.

4. Если выбран графо-аналитический метод, то в зависимости от избранного правила строим параллелограмм или треугольник, соблюдая приблизительные соотношения размеров длин и углов, а затем, в зависимости от исходных данных, используем геометрические или тригонометрические соотношения.

Задача 22. Фонарь весом 80 н подвешен на кронштейне ABC, укрепленном на вертикальной стене (рис. 27). Определить усилия, возникшие в горизонтальном...

Задача 23. При помощи двух нерастяжимых нитей АС и ВС удерживается груз, вес которого 12 кГ. Положение нитей и груза показано на рис. 30. Определить...

Задача 24. Груз весом G=12 кГ удерживается при помощи двух нитей, которые образуют с вертикалью (линией действия веса G) углы α= 65° и β=90°...

Задача 25. Груз массой 200 кг необходимо подвесить на кронштейне, у которого один из стержней горизонтальный и в нем должно возникнуть сжимающее усилие...

Задача 26. Между высокими стенами необходимо временно подвесить некоторый груз весом 140 кГ на одинаковом расстоянии по 1 м от стен и на высоте 1 м от горизонтального...

Задача 27. На конце В стержня АВ, длина которого AB= l, шарнирно прикрепленного в точке А к вертикальной стене, необходимо подвесить груз весом G=6...