Определение равнодействующей произвольной плоской системы сил

Произвольную плоскую систему сил можно заменить одной силой – главным вектором – и одной парой сил, момент которой называется главным моментом (Е. М. Никитин, § 25).

Замену любой плоской системы сил главным вектором и главным моментом необходимо рассматривать как предварительную операцию перед определением равнодействующей силы или равнодействующего момента (пары сил), если система не имеет равнодействующей.

Главный вектор по модулю и направлению соответствует геометрической сумме всех данных сил и приложен в произвольно выбранной точке – в центре приведения. Главный момент равен алгебраической сумме моментов всех данных сил относительно точки, в которой приложен главный вектор.

Задачу определения главного вектора и главного момента можно решать как графическим методом, так и аналитическим. Графический метод здесь не рассматривается, а аналитически решение задачи выполняется так:

1) модуль главного вектора: R_гл = sqrt(X_гл² + Y_гл²),
где проекция главного вектора на ось х: X_гл = ∑ X_i
и проекция главного вектора на ось у: Y_гл = ∑ Y_i;

2) направление главного вектора, т. е. углы φ_x или φ_y, образуемые R_гл с осями координат, можно определить при помощи тригонометрических соотношений (см. § 4, п. 7);

3) знак и числовое значение главного момента определяются по формуле
M_гл = ∑ M₀(P_i),
где M₀(P_i) – моменты последовательно всех сил относительно одной и той же точки – точки, выбранной для приложения главного вектора – центра приведения.

В частном случае, как это показано в задачах 60 и 61, плоскую систему сил можно привести либо только к одной силе – равнодействующей, либо только к одной паре сил – равнодействующему моменту.

Замена главного вектора R_гл и главного момента M_гл равнодействующей R (Е. М. Никитин, § 27) представляет операцию, обратную приведению силы к точке. Приводя силу к любой точке, не расположенной по линии ее действия, получаем силу и пару (Е. М. Никитин, § 25). Теперь необходимо от силы и пары перейти к одной эквивалентной им силе.

На рис. 74 условно показана последовательность операции замены главных вектора и момента – равнодействующей:

1) на рис. 74, а изображены найденные R_гл и M_глнекоторой плоской системы сил;

2) на рис. 74, б главный момент M_гл представлен в виде пары (R₁, R) (причем, R=R₁=R_гл), расположенной так, что одна из сил R₁ пары уравновешивает главный вектор R_гл;

3) уравновешенную систему сил можно убрать и вместо R_гл и M_гл останется одна сила R – равнодействующая данной системы сил (рис. 74, в).

Таким образом, если плоская система сил приводится к главному вектору и главному моменту, то ее равнодействующая R численно и по направлению соответствует главному вектору: R=R_гл.

Но линия действия равнодействующей ВС расположена от центра приведения О на расстоянии
l = OA = M_гл/R = (∑ M₀(P_i))/R.

Задача 60. К точкам A, B, C и D, образующим прямоугольник со сторонами АВ=80 см и ВС=180 см, приложены пять сил, как показано на рис. 75, а. Определить...

Задача 61. К вершинам квадрата ABCD приложены шесть сил, как показано на рис. 76, а. Сторона квадрата 1 м, модули сил Р₁=Р₄=100...

Задача 62. К четырем точкам тела, образующим квадрат ABCD со стороной 1,2 м приложены силы Р₁=5 кн, Р₂=2 кн, Р₃=3 кн...

Теорема Вариньона

Из формулы, определяющей расстояние от центра приведения до линии действия равнодействующей,
OA = (∑ M₀(P_i))/R
(см. § 12 и рис. 74) можно вывести уравнение, выражающее теорему Вариньона для произвольной плоской системы сил:
R * OA = ∑ M₀(P_i):
момент равнодействующей относительно любой точки равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно той же точки.

Теорема Вариньона находит широкое применение при решении задач по статике, в частности во всех тех задачах, где рассматривается равновесие рычага (задачи с 70 по 74).

При помощи теоремы Вариньона очень просто определяется равнодействующая какого угодно числа параллельных сил Р₁, Р₂, Р₃,..., Р_i(рис. 80).

Известно, что модуль равнодействующей любой плоской системы сил равен модулю главного вектора:
R = R_гл = sqrt(X_R² + Y_R²).

Но если в данном случае расположить оси проекций так, как показано на рис. 80, одну ось – перпендикулярно к силам, а другую – параллельно им, то
X_R = ∑ X_i = 0
и
R = |Y_R| = |∑ Y_i|.

Таким образом, модуль равнодействующей, параллельной системы сил равен абсолютному значению алгебраической суммы проекций сил на ось, параллельную этим силам.

Так как X_R=0, то вектор равнодействующей R направлен параллельно составляющим силам. Сторона, в какую направлен R, определяется по знаку ∑ Y_i. Если у алгебраической суммы проекций получается знак «плюс», то равнодействующая направлена в сторону положительного направления оси; если получается знак «минус», то равнодействующая направлена противоположно положительному направлению оси.

Определив модуль и направление равнодействующей, по теореме Вариньона находим расстояние OA, на котором расположена KL – линия действия R от произвольно выбранного центра моментов O.

Задача 65. Определить равнодействующую двух параллельных сил Р₁ и Р₂, направленных в одну сторону (рис. 81, а), если Р₁=12...

Задача 66. Найти равнодействующую двух параллельных сил Р₁ и Р₂, направленных в разные стороны, если Р₁=12 кн и Р₂=60...

Задача 67. К концам прямолинейной однородной планки длиной 1,6 м и весом 5 н прикреплены два груза (рис. 83): слева – груз Р₁=20 н,...

Задача 68. Балансир AB, на который действуют пять горизонтально направленных параллельных сил (рис. 84), должен находиться в равновесии в вертикальном...

Задачи, приведенные ниже, решаются при помощи так называемого условия равновесия рычага, непосредственно вытекающего из теоремы Вариньона (Е. М. Никитин, § 28).

Рычагом можно назвать любое тело, поворачивающееся либо вокруг закрепленной оси, либо около линии контакта, образующейся при свободном опирании на другое тело.

Находясь под действием сил, рычаг уравновешен лишь в том случае, если линия действия равнодействующей пересекает ось или линию опоры. Причем если опорой рычага АВ служат закрепленная ось (неподвижный шарнир), то линия действия равнодействующей может быть направлена к рычагу под любым углом α (рис. 85, а). Если же рычаг АВ свободно опирается на идеально гладкую опору (рис. 85, б), то линия действия равнодействующей должна быть перпендикулярна к опорной поверхности.

В любом из этих случаев равновесие возникает потому, что система сил, действующих на рычаг, уравновешивается реакцией опоры R_ур, численно равной равнодействующей. А так как момент равнодействующей относительно опоры равен нулю, то из выражения теоремы Вариньона следует уравнение
∑ M_оп(P_i) = 0,
выражающее условие равновесия рычага.

Задача 70. Масса неоднородного стержня составляет 4,5 кг. Для определения положения центра тяжести стержня его левый конец положен на гладкую опору, а правый...

Задача 71. Какова должна быть масса однородной доски (рис. 87, а), чтобы, опираясь в точке В на гладкую опору, она с положенными на нее грузами m₁=100...

Задача 72. Предохранительная заслонка открывается в тот момент, когда давление в резервуаре превышает внешнее атмосферное на p=150 кн/м². Заслонка...

Задача 73. На рис. 89, а изображен коленчатый рычаг ABC, к короткому колену которого при помощи нити прикреплен груз массой m₁=50 кг, а...