Решение трансцендентных уравнений методом секущих.

Еще одна модификация метода Ньютона связана с приближенным вычисление производной в окрестности точки по формуле

 

.

 

Подставляя это выражение в формулу Ньютона (2.15), приходим к формуле

 

, , (2.20)

 

которая определяет метод секущих. Название метода связано с его геометрической интерпретацией (см. рис. 2.10).

Секущая, проведенная через точки и , пересекает ось абсцисс в точке , значение которой определяется формулой (2.20).

Для того, чтобы начать итерационный процесс в методе секущих необходимо задать два начальных приближения: нулевое и первое .

На практике, как правило, поступают следующим образом: нулевое приближение выбирают аналогично выбору начального приближения в методе Ньютона, а в качестве первого приближения выбирают величину , где e – заданная погрешность. Эти значения используются для нахождения последующего (второго) приближения по формуле (2.20).

Затем, значения и используют для определения третьего приближения и т.д. Альтернативно, в качестве нулевого и первого приближений могут быть выбраны границы отрезка локализации корня, если они известны. В этом случае первая итерация метода секущий даст результат, аналогичный методу хорд. Для завершения итерационного процесса можно воспользоваться условием (2.14). Метод секущих несколько уступает методу Ньютона в скорости сходимости, однако он не требует вычисления производной и поэтому оказывается особенно полезным в тех случаях, когда получение аналитического выражения для производной затруднено или невозможно, например, если функции получена в ходе численных расчетов, а не задана аналитически.

 

x1

x0

x

Рис. 2.10. Метод секущих.

f(x0)

x^*

f(x1)

x2

 

По алгоритму метод секущих близок к методу хорд, однако в отличие от последнего начальные приближения в методе секущих могут располагаться как с разных сторон от корня, так и с одной стороны; кроме того при уточнении корня не проверяются знаки функции .

 

2.4.6 Метод простых итераций

Теперь рассмотрим более общий итерационный метод уточнения корней. Представим исходное уравнение в виде

 

. (2.21)

 

О том как преобразовать исходное уравнение к виду (2.21) буден рассказано ниже. Пусть нам известно начальное приближение к корню ( ). Подставив его в правую часть уравнения (2.21) получим новое приближение , затем аналогичным образом получим и так далее.

 

, . (2.22)

 

Оказывается, что при определенных свойствах функции последовательность , определяемая по формуле (2.22), сходится к корню уравнения . Необходимо установить при каких условиях итерационный процесс (2.22) будет сходящимся.

Решение трансцендентных уравнений методом простых итераций.

Исходное уравнение (3.1) преобразуем к эквивалентному уравнению:

x = (x).

(3.8)

Пусть известно начальное приближение (полученное, например, на этапе отделения корней): x = x ₀. Подставим его в правую часть (3.8) и получим новое приближение: x₁ = (x₀). Повторяя эту процедуру, будем иметь в общем виде на некотором k-м шаге:

x_k = (x_k-1) .

В качестве условия окончания вычислительного процесса можно взять выполнение неравенства: ½x_k - x_k-1½ < .

Значение x_k, удовлетворяющее ему, и есть корень уравнения (3.1).Геометрическая интерпретация этого метода приведена на рис.3.8, 3.9. Здесь x^* - истинное, искомое значение корня; x₀ - начальное приближение к корню; x₁, x₂, x₃ - оче­редные итерации. При испо­ль­зовании этого метода возникает вопрос о его сходимос­ти. Дело в том, что при некоторых условиях расстояние между истинным корнем и прибли­жениями к нему может возрастать с каждой новой итерацией, как это показано на рис.3.10, 3.11. Условием сходимости метода простых итераций является выполнение в окрестности искомого корня неравенства:

½ (x)½ < 1

(3.9)

Это условие является достаточным, т.е. если оно выполняется, то процесс обязательно схо­­дится; если же условие (3.9) не выполняется или выполняется не во всех точках

x₀, x₁, x₂, ..., x_k, ... ,

то заранее сказать что-либо конкретное о сходимости нельзя.

Итак, для решения уравнения F(x) = 0методом простых итераций надо преобразо­вать его к уравнению вида x = (x) так, чтобы выполнялось условие ½ (x)½ < 1. Схо­димость к истинному корню будет тем быстрее, чем ближе к единице значение (x).

3.8 3.10