Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Решение трансцендентных уравнений методом секущих.Содержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Еще одна модификация метода Ньютона связана с приближенным вычисление производной в окрестности точки по формуле
.
Подставляя это выражение в формулу Ньютона (2.15), приходим к формуле
, , (2.20)
которая определяет метод секущих. Название метода связано с его геометрической интерпретацией (см. рис. 2.10). Секущая, проведенная через точки и , пересекает ось абсцисс в точке , значение которой определяется формулой (2.20). Для того, чтобы начать итерационный процесс в методе секущих необходимо задать два начальных приближения: нулевое и первое . На практике, как правило, поступают следующим образом: нулевое приближение выбирают аналогично выбору начального приближения в методе Ньютона, а в качестве первого приближения выбирают величину , где e – заданная погрешность. Эти значения используются для нахождения последующего (второго) приближения по формуле (2.20). Затем, значения и используют для определения третьего приближения и т.д. Альтернативно, в качестве нулевого и первого приближений могут быть выбраны границы отрезка локализации корня, если они известны. В этом случае первая итерация метода секущий даст результат, аналогичный методу хорд. Для завершения итерационного процесса можно воспользоваться условием (2.14). Метод секущих несколько уступает методу Ньютона в скорости сходимости, однако он не требует вычисления производной и поэтому оказывается особенно полезным в тех случаях, когда получение аналитического выражения для производной затруднено или невозможно, например, если функции получена в ходе численных расчетов, а не задана аналитически.
По алгоритму метод секущих близок к методу хорд, однако в отличие от последнего начальные приближения в методе секущих могут располагаться как с разных сторон от корня, так и с одной стороны; кроме того при уточнении корня не проверяются знаки функции .
2.4.6 Метод простых итераций Теперь рассмотрим более общий итерационный метод уточнения корней. Представим исходное уравнение в виде
. (2.21)
О том как преобразовать исходное уравнение к виду (2.21) буден рассказано ниже. Пусть нам известно начальное приближение к корню (). Подставив его в правую часть уравнения (2.21) получим новое приближение , затем аналогичным образом получим и так далее.
, . (2.22)
Оказывается, что при определенных свойствах функции последовательность , определяемая по формуле (2.22), сходится к корню уравнения . Необходимо установить при каких условиях итерационный процесс (2.22) будет сходящимся. Решение трансцендентных уравнений методом простых итераций. Исходное уравнение (3.1) преобразуем к эквивалентному уравнению:
Пусть известно начальное приближение (полученное, например, на этапе отделения корней): x = x 0. Подставим его в правую часть (3.8) и получим новое приближение: x 1 = (x 0). Повторяя эту процедуру, будем иметь в общем виде на некотором k-м шаге: xk = (xk-1). В качестве условия окончания вычислительного процесса можно взять выполнение неравенства: ½ xk - xk-1 ½ < . Значение x k, удовлетворяющее ему, и есть корень уравнения (3.1).Геометрическая интерпретация этого метода приведена на рис.3.8, 3.9. Здесь x * - истинное, искомое значение корня; x 0 - начальное приближение к корню; x 1, x 2, x 3 - очередные итерации. При использовании этого метода возникает вопрос о его сходимости. Дело в том, что при некоторых условиях расстояние между истинным корнем и приближениями к нему может возрастать с каждой новой итерацией, как это показано на рис.3.10, 3.11. Условием сходимости метода простых итераций является выполнение в окрестности искомого корня неравенства:
Это условие является достаточным, т.е. если оно выполняется, то процесс обязательно сходится; если же условие (3.9) не выполняется или выполняется не во всех точках x 0, x 1, x 2,..., x k,..., то заранее сказать что-либо конкретное о сходимости нельзя. Итак, для решения уравнения F (x) = 0методом простых итераций надо преобразовать его к уравнению вида x = (x) так, чтобы выполнялось условие ½ (x)½ < 1. Сходимость к истинному корню будет тем быстрее, чем ближе к единице значение (x). 3.8 3.10
|
||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-07; просмотров: 523; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.117.170.80 (0.006 с.) |