Применение одношаговых методов для решения ОДУ высоких порядков

Преобразуем дифференциальное уравнение (7.1) n-го порядка к системе n дифференциальных уравнений 1-го порядка

(7.16)

Запись уравнения (7.1) в виде системы (7.16) называется формой Коши. Начальные условия (7.1') при таком преобразовании выглядят так:

z1(x0)=z1,0 ; z2(x0)=z2,0 ; z3(x0)=z3,0 ; . . . ; zn(x0)=zn,0 ;

(7.16’)

 

 

Для примера преобразуем к форме Коши уравнение Бесселя :

.

Обозначим искомую функцию y(x) через z₁(x), а ее первую производную - z₂(x). Тогда получим систему уравнений первого порядка, эквивалентную исходному уравнению:

 

Вычислительный алгоритм "усовершенствованного" метода Эйлера для задачи Коши (7.16,7.16') выглядит аналогично (7.8):

(7.17)

где i=1,2,...,n ; ; k=1,2,...,n .

Вычислительный алгоритм "модифицированного" метода Эйлера для задачи Коши (7.16,7.16') выглядит аналогично (7.12):

(7.18)

где i=1,2,...,n ; ; k=1,2,...,n .

Вычислительная схема метода Рунге-Кутта четвертого порядка для задачи Коши (7.16,7.16') имеет вид:

,

(7.19)

 

где	K i,0 = h fi(xm, z 1,m, z 2,m,..., z n,m),
	K i,1 = h fi(xm+0.5h, z 1,m+0.5K1,0, z 2,m+0.5K2,0,..., z n,m+0.5Kn,0),
	K i,2 = h fi(xm+0.5h, z 1,m+0.5K1,1, z 2,m+0.5K2,1,..., z n,m+0.5Kn,1),
	K i,3 = h fi(xm+h, z 1,m+K1,2, z 2,m+K2,2,..., z n,m+Kn,2);
	i=1,2,...,n.

 

 

 

Вопросы по 10 баллов

Различие между прямыми и итерационными методами численного решения задач. Примеры.

Создание мощных компьютеров существенно ослабило значение различия между методами (в таких характеристиках, как объём требуемой памяти, количество арифметических операций). В этих условия наиболее предпочтительными становятся те методы, которые не очень отличаются от лучших по скорости и удобству реализации на компьютерах, позволяют решать широкий класс задач как хорошо, так и плохо обусловленных и давать при этом оценку точности вычислительного решения.

Правильность результатов может подтвердить построенный график, который в точности отображает функцию. Были исследованы два математических метода решения уравнений, к каждому из которых были представлены блок-схемы, полный текст программ и результаты машинного тестирования.

Два этапа численного решения трансцендентных уравнений.
Цель и сущность этапа отделения корней при решении трансцендентных уравнений.

В большинстве же случаев аналитическую запись корней уравнения найти очень слож-но или в принципе невозможно (такие уравнения называются трансцендентными), и поэто-му приходится решать уравнение численным способом.
Существует несколько различных методов численного решения трансцендентных уравнений, но все они предполагают выполнение двух этапов: первый из них называется "отделение корней", второй - "уточнение корней".

Цель и сущность этапа отделения корней при решении трансцендентных уравнений.

Отделение корней:

На данном этапе определяются те интервалы области изменения переменной x, в каждом из которых расположен один и только один корень уравнения (3.1). По сути дела на этом этапе определяются грубые приближения значений x с погрешностью, определяемой длиной каждого найденного интервала. Пол­ностью автоматизировать процесс отде­ле­­ния корней, пожалуй, невозможно, так как в нем обязательно присутствует элемент су­бъ­ективного, интуитивного подхода к решению задачи. Иногда, например, интервал, в котором расположен корень, удается получить из физической сущности решаемой задачи.

При выполнении этого этапа с использованием ЭВМ обычно проводится "табу­лирование" функции F(x, a₁, a₂, ..., a_k), т.е. построение таблицы ее значений при различных значе­ниях x, следующих друг за другом с некоторым шагом h:

 

x	F(x)
x1	F1
x2	F2
. . .	. . .
xn	Fn

 

где x_i+1 = x_i + h ; F_i = F(x_i); i = 1,2,...,n-1.

Например, таблица значений функции x² - 12 ln½x½ + 6 sin xна промежутке [1,10] c шагом h = 1 имеет вид:

 

x	F(x)
1.0	6.05
2.0	0.72
3.0	- 3.99
4.0	- 6.01
5.0	- 1.03
6.0	11.75
7.0	28.42
8.0	43.74
9.0	55.79
10.0	67.72

 

В качестве границ искомых интервалов выбираются такие соседние значения x, в которых соответствующие значения F(x) имеют разные знаки, так как изменение знака функции на некотором интервале означает в силу ее непрерывности, что где-то в пределах этого интервала график функции пересекает ось абсцисс, т.е. уравнение F(x) = 0 име­ет корень. В частности, на основании данных из приведенной выше таблицы можно сде­лать вывод, что уравнение x² - 12 ln½x½ + 6 sin x = 0 на промежутке [1,10] имеет по край­ней мере два корня: в интервале (2,3) и в интервале (5,6).