Принцип построения аппроксимирующей функции при использовании метода наименьших квадратов



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Принцип построения аппроксимирующей функции при использовании метода наименьших квадратов



Метод построения аппроксимирующей функции (x) из условия минимума величины Q называется методом наименьших квадратов ( далее - МНК).

Наиболее распространен способ выбора функции (x) в виде линейной комбинации

(x) = с0 0(x) + с1 1(x) + … + сm m(x), (5.12)

где 0(x), 1(x), …, m(x) - базисные функции; ;

с0, с1, …, сm - коэффициенты, определяемые при минимизации величины Q.

Математически минимум величины Q достигается при равенстве нулю частных производных от Q по всем коэффициентам с0, с1, …, сm:

 
  (5.13)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
 

 

Эта система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных с0, с1, …, сm называется системой нормальных уравнений, а матрица ее коэффициентов имеет следующий вид:

    (5.14)

Элементы матрицы (5.14) являются скалярными произведениями базисных функций

.   (5.15)

Так как , то матрицу (5.14) можно переписать в виде

    (5.16)

Матрица (5.16) называется матрицей Грама.

Расширенная матрица системы (5.13) получается добавлением справа к (5.16) сто­л­б­ца свободных членов

,     (5.17)

где - скалярные произведения. аналогичные (5.15).

При обработке экспериментальных данных, полученных с погрешностью в каждой узловой точке, обычно начинают с аппроксимации функцией , представленной одной-двумя базисными функциями. После определения коэффициентов сk вычисляется ве­ли­чина Q по формуле (5.11). Если окажется, что , то необходимо расширить базис добавлением новых базисных функций . Расширение базиса необходимо про­­должать до тех пор, пока не выполнится условие .

Выбор конкретных базисных функций зависит от свойств аппроксимируемой функции f (x), таких, как периодичность, экспоненциальный или логарифмический характер, симметричность, наличие асимптот и т.д. Различные варианты базисов рассматриваются достаточно подробно в [1]. Здесь рассмотрим лишь частный случай, когда аппрксимирующая функция представлена двумя базисными функциями, т.е.

Система уравнений для нахождения коэффициентов A, B выглядит так:

(5.18)

 

где ;
  , ;
  , .

Решим систему (1) по правилу Крамера:

, .

или окончательно получаем:

1.

, /    
Имеет место следующее достаточное условие сходимости метода простых итераций [ 1 ]. Метод простых итераций (4) сходится к единственному решению СЛАУ (2) (а следовательно и к решению исходной СЛАУ (1)) при любом начальном приближении , если какая-либо норма матрицы эквивалентной системы меньше единицы. . Если используется метод Якоби (выражения (3) для эквивалентной СЛАУ), то достаточным условием сходимости является диагональное преобладание матрицы A, т.е. (для каждой строки матрицы A модули элементов, стоящих на главной диагонали, больше суммы модулей недиагональных элементов). Очевидно, что в этом случае меньше единицы и, следовательно, итерационный процесс (4) сходится. Приведем также необходимое и достаточное условие сходимости метода простых итераций. Для сходимости итерационного процесса необходимо и достаточно, чтобы спектр матрицы эквивалентной системы лежал внутри круга с радиусом, равным единице. При выполнении достаточного условия сходимости оценка погрешности решения на k - ой итерации дается выражением: (5) Где x* - точное решение СЛАУ. * Процесс итераций останавливается при выполнении условия, где задаваемая вычислителем точность.Принимая во внимание, что из (5) следует неравенство можно получить априорную оценку необходимого для достижения заданной точности числа итераций. При использовании в качестве начального приближения вектора такая оценка определится неравенством: откуда получаем априорную оценку числа итераций k при Следует подчеркнуть, что это неравенство дает завышенное число итераций , поэтому редко используется на практике. Замечание. Поскольку является только достаточным (не необходимым) условием сходимости метода простых итераций, то итерационный процесс может сходиться и в случае, если оно не выполнено. Тогда критерием окончания итераций может служить неравенство 19:36:58  
    Способ реализации достаточного условия сходимости метода простых итераций решения алгебра-ических уравнений

Достаточное условие сходимости метода простых итераций при решении трансцендентных уравнений.

Пусть имеем приведенную линейную систему вида:

(12)

 

где - заданные матрица и вектор и - искомый вектор.

Теорема 1. Процесс итерации для приведенной линейной системы (12) сходится к единственному ее решению, если какая-нибудь каноническая норма матрицы меньше единицы, т.е. для сходимости

( - произвольно) достаточное условие есть

(13)

Доказательство. Отправляясь от производительного вектора , строим последовательность приближений

Отсюда

(14)

Так как при имеем при , то

и

Здесь использовались известные теоремы из теории математического анализа и алгебры.

Теперь, переходя к пределу в (14) при , получим:

(15)

Этим доказана сходимость итерационного процесса. Кроме того из равенства (15) имеем:

 

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-07; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.235.11.178 (0.006 с.)