Метод построения аппроксимирующей функции
(x) из условия минимума величины Q называется методом наименьших квадратов ( далее - МНК).
Наиболее распространен способ выбора функции
(x) в виде линейной комбинации
(x) = с0 0(x) + с1 1(x) + … + сm m(x),
| (5.12)
|
где
0(x),
1(x), …,
m(x) - базисные функции;
;
с0, с1, …, сm - коэффициенты, определяемые при минимизации величины Q.
Математически минимум величины Q достигается при равенстве нулю частных производных от Q по всем коэффициентам с0, с1, …, сm:
|
|
|
(5.13)
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
|
|
|
|
Эта система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных с0, с1, …, сm называется системой нормальных уравнений, а матрица ее коэффициентов имеет следующий вид:
|
(5.14)
|
Элементы матрицы (5.14) являются скалярными произведениями базисных функций
.
|
(5.15)
|
Так как
, то матрицу (5.14) можно переписать в виде
|
(5.16)
|
Матрица (5.16) называется матрицей Грама.
Расширенная матрица системы (5.13) получается добавлением справа к (5.16) столбца свободных членов
,
|
(5.17)
|
где
- скалярные произведения. аналогичные (5.15).
При обработке экспериментальных данных, полученных с погрешностью
в каждой узловой точке, обычно начинают с аппроксимации функцией
, представленной одной-двумя базисными функциями. После определения коэффициентов сk вычисляется величина Q по формуле (5.11). Если окажется, что
, то необходимо расширить базис добавлением новых базисных функций
. Расширение базиса необходимо продолжать до тех пор, пока не выполнится условие
.
Выбор конкретных базисных функций зависит от свойств аппроксимируемой функции f (x), таких, как периодичность, экспоненциальный или логарифмический характер, симметричность, наличие асимптот и т.д. Различные варианты базисов рассматриваются достаточно подробно в [1]. Здесь рассмотрим лишь частный случай, когда аппрксимирующая функция представлена двумя базисными функциями, т.е.

Система уравнений для нахождения коэффициентов A, B выглядит так:
| (5.18)
|
|
Решим систему (1) по правилу Крамера:



,
.
или окончательно получаем:
1.
,
/
Имеет место следующее достаточное условие сходимости метода простых итераций [ 1 ]. Метод простых итераций (4) сходится к единственному решению СЛАУ (2) (а следовательно и к решению исходной СЛАУ (1)) при любом начальном приближении , если какая-либо норма матрицы эквивалентной системы меньше единицы. . Если используется метод Якоби (выражения (3) для эквивалентной СЛАУ), то достаточным условием сходимости является диагональное преобладание матрицы A, т.е. (для каждой строки матрицы A модули элементов, стоящих на главной диагонали, больше суммы модулей недиагональных элементов). Очевидно, что в этом случае меньше единицы и, следовательно, итерационный процесс (4) сходится. Приведем также необходимое и достаточное условие сходимости метода простых итераций. Для сходимости итерационного процесса необходимо и достаточно, чтобы спектр матрицы эквивалентной системы лежал внутри круга с радиусом, равным единице. При выполнении достаточного условия сходимости оценка погрешности решения на k - ой итерации дается выражением: (5) Где x* - точное решение СЛАУ. * Процесс итераций останавливается при выполнении условия, где задаваемая вычислителем точность.Принимая во внимание, что из (5) следует неравенство можно получить априорную оценку необходимого для достижения заданной точности числа итераций. При использовании в качестве начального приближения вектора такая оценка определится неравенством: откуда получаем априорную оценку числа итераций k при Следует подчеркнуть, что это неравенство дает завышенное число итераций , поэтому редко используется на практике. Замечание. Поскольку является только достаточным (не необходимым) условием сходимости метода простых итераций, то итерационный процесс может сходиться и в случае, если оно не выполнено. Тогда критерием окончания итераций может служить неравенство
| 19:36:58
| | | | Способ реализации достаточного условия сходимости метода простых итераций решения алгебра-ических уравнений
| Достаточное условие сходимости метода простых итераций при решении трансцендентных уравнений.
Пусть имеем приведенную линейную систему вида:
(12)
где - заданные матрица и вектор и - искомый вектор.
Теорема 1. Процесс итерации для приведенной линейной системы (12) сходится к единственному ее решению, если какая-нибудь каноническая норма матрицы меньше единицы, т.е. для сходимости

( - произвольно) достаточное условие есть
(13)
Доказательство. Отправляясь от производительного вектора , строим последовательность приближений

Отсюда
(14)
Так как при имеем при , то

и

Здесь использовались известные теоремы из теории математического анализа и алгебры.
Теперь, переходя к пределу в (14) при , получим:
(15)
Этим доказана сходимость итерационного процесса. Кроме того из равенства (15) имеем:

|
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-07; просмотров: 307; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!
infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 35.172.111.71 (0.022 с.)
|