Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.



Блок-схема решения СЛАУ методом Гаусса

Вначале рассмотрим выполнение алгоритма метода Гаусса на примере системы 3-го порядка

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = a14  
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = a24 (4.1’ )
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = a34 .

Из первого уравнения (4.1’) выразим x1 :

 

x1 = (a14 - a12 x2 - a13 x3) / a11 , (4.2)

 

а само это уравнение запишем в виде :

 

x1 + x2 + x3 = , (4.3)

где

= a1j / a11 , j = 2,3,4. (4.4)

Подставим (4.2) с учетом (4.4) во второе и третье уравнения (4.1’) и получим систему :

 

  x1   + x2 + x3 =  
    x2 + x3 = (4.5)
    x2 + x3 = ,

где = aij - ai1 . , i=2,3; j = 2,3,4 ,

т.е. на данном этапе прямого хода из второго и третьего уравнений системы исключе­но неизвестное x1.

Из второго уравнения преобразованной системы (4.5) выразим x2 :

 

x2 = ( - x3) / , (4.6)

 

а само это уравнение запишем в виде :

 

x2 + x3 = , (4.7)

где

= / , j = 3,4. (4.8)

Подставим (4.6) с учетом (4.8) в третье уравнение (4.5) и получим систему :

 

  x1   + x2   + x3   =  
      x2   + x3   = (4.9)
        x3   = ,

где = - . , j = 3,4 ,

т.е. на данном этапе прямого хода из третьего уравнения системы исключено x2.

Из третьего уравнения (4.9) выразим x3 : x3 = / ,

илиx3 = .

Теперь система приобретает вид:

  x1   + x2   + x3   =  
      x2   + x3   = (4.10)
          x3   = .

На этом заканчивается прямой ход метода Гаусса. Матрица коэффициентов полученной системы имеет вид:

 

Вычисление определителей методом Гаусса.

При выполнении прямого хода метода Гаусса при решении СЛАУ вычисление по формулам (4.15), (4.16) производится для j=1, ..., n+1, т.е. преобразованию подлежат как коэффициенты при неизвестных x1,..., xn, так и свободные члены системы.

Аналогичный алгоритм, но для j=1,...,n, может быть применен для вычисления оп­ре­делителя любой квадратной матрицы порядка n. Подставляя (4.15) в (4.16), полу­чим:

,   (4.17)

где k = 1, ... , n-1 - номер шага преобразования матрицы; i = k+1,...,n ; j = 1,2,...,n.

Так как i изменяется от k+1, то это означает, что первая строка матрицы не изменяется.

Преобразование исходной матрицы по формуле (4.17) приводит к треугольной матрице, у которой элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю:

 

. . .
. . .
. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
. . .

 

Преобразование (4.17) является линейным и поэтому не приводит к изменению опре­делителя матрицы; но так как преобразованная матрица - треугольная, то ее оп­редели­тель равен произведению элементов главной диагонали. В отличие от решения СЛАУ здесь не требуется выполнение обратного хода.

Для получения максимальной точности результата надо стремиться, как и при решении СЛАУ, к тому, чтобы на каждом k-ом шаге преобразования на месте элемента аkk находился максимальный по модулю элемент из тех, что стоят в k-ом столбце ниже k-ой строки. Это достигается процедурой выбора главного элемента, поэтому при вы­числении определителя надо учитывать, что перестановка любых двух строк матрицы приводит к изменению знака определителя на противоположный.

 

8. Обращение матриц

Матрица X является обратной по отношению к заданной квадратной матрице A, если их произведение дает единичную матрицу E :

A . X = E . (4.18)

В единичной матрице элементы главной диагонали равны 1, а все остальные элементы равны 0.

Как известно, произведение двух квадратных матриц A и X порядка n дает квад­рат­ную матрицу C того же порядка, элементы которой вычисляются по формуле:

  (4.19)

Алгоритм обращения матриц, т.е. вычисления элементов матрицы X, удовлетворяю­щих матричному уравнению (4.18), рассмотрим на примере матриц третьего порядка:

 

; ;

 

Уравнение (4.18) с учетом формулы (4.19) для этих матриц имеет вид:

 

a11 x11+a12 x21+a13 x31 a11 x12+a12 x22+a13 x32 a11 x13+a12 x23+a13 x33   1 0 0
a21 x11+a22 x21+a23 x31 a21 x12+a22 x22+a23 x32 a21 x13+a22 x23+a23 x33 = 0 1 0
a31 x11+a32 x21+a33 x31 a31 x12+a32 x22+a33 x32 a31 x13+a32 x23+a33 x33   0 0 1

 

Фактически здесь записаны три СЛАУ третьего порядка:

 

  a11 x11 + a12 x21 + a13 x31 =
1) a21 x11 + a22 x21 + a23 x31 =
  a31 x11 + a32 x21 + a33 x31 =

 

  a11 x12 + a12 x22 + a13 x32 =
2) a21 x12 + a22 x22 + a23 x32 =
  a31 x12 + a32 x22 + a33 x32 =

 

  a11 x13 + a12 x23 + a13 x33 =
3) a21 x13 + a22 x23 + a23 x33 =
  a31 x13 + a32 x23 + a33 x33 =

 

Их особенностью является то, что все три системы имеют одну и ту же матрицу коэффициентов при неизвестных, а именно матрицу А.

Итак, чтобы найти матрицу X, обратную к заданной матрице А порядка n, надо решить n систем линейных уравнений, матрицей коэффициентов которых является исходная матрица А, а вектор-столбцами свободных членов являются столбцы еди­ничной матрицы E.

При использовании метода Гаусса решения этих n систем прямой ход можно осу­ществить одновременно для всех систем. Расширенная матрица при этом будет иметь по­рядок n х 2n; ее левая половина есть матрица А, правая - матрица E.

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-07; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.235.11.178 (0.011 с.)