Вычисление моментов инерции.

Вычисление моментов инерции тел производится методами интегрального исчисления (по формулам 33а, 34а). Однако можно в некоторых случаях сосчитать моменты инерции простых тел, без вычислений тройных интегралов.

1. Момент инерции тонкого однородного стержня (рис. 54).

Направим ось ОХ по стержню, а ось ОY перпендикулярно, через центр стержня.

,

здесь δ -плотность стержня, S - площадь поперечного сечения. Тогда, вместо тройного интеграла можно написать

,

но , откуда . Ось ОZ –главная ось инерции (ось симметрии), следовательно, .

2. Момент инерции однородного круглого цилиндра относительно его оси. За элемент объема примем цилин­дрический слой, образуемый двумя коа­ксиальными цилиндрами радиусов h и h+dh. Получим:

С другой стороны, , где R — радиус цилиндра, следовательно

и окончательно

Момент инерции полого цилиндра с внешним радиусом R и внутренним Ro найдем как разность моментов инерции сплошных цилиндров этих же радиусов:

Итак, момент инерции полого цилиндра равен

,

где М - масса полого цилиндра. Моменты инерции некоторых однородных тел приведены в таблице. Момент инерции имеет размерность массы, умноженной на квадрат длины. Отношение имеет размерность квадрата длины и обозначается через . Величина ρ- называется радиусом инерции и

. (3.48)

Таблица моментов инерции однородных тел представлена ниже.

§ 6. Преобразование моментов инерции.

 

1. Рассмотрим задачу об изменении моментов инерции относительно параллельных осей. Введём две системы координат: Оxyz и O'x'y'z' (рис 55). Связь между координатами в обеих системах запишется в виде:

По определению моментов инерции имеем

.

Первое слагаемое – это момент инерции относительно оси O'Z', а по определению центра масс последние два слагаемые есть

Окончательно получаем

Если начало координат О' является центром масс тела, то

(ось O'Z' в этом случае является центральной) и получаем известную формулу Гюйгенса

(3.49)

Момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями. Следствием формулы (62) является утверждение, что момент инерции относительно оси, проходящей через центр инерции, меньше момента инерции относительно другой параллельной оси. Аналогично получаются формулы для осевых моментов инерции для двух других осей. Но остаётся вопрос: а как изменяются центробежные моменты, остаются ли главными новые оси инерции? В новых осях центробежные моменты имеют вид:

Если все три оси системы O'x'y'z' являлись главными и центральными, то и новые оси также будут главными и центральными (начало О' находилось в центре масс). Если все три оси главные, но при этом, например, только ось O'Z' - центральная (, а ), то ось O'Z' перестаёт быть главной, она будет главной только в точке, где .

Рассмотрим теперь, как изменяются моменты инерции при повороте системы координат (рис.56). В этом случае

Преобразуем интеграл

тогда окончательно получим

Для двух остальных центробежных моментов инерции имеем

Из приведённых формул видно, что при повороте вокруг главной оси O'Z' оси OX и OY перестают быть главными. Но из формулы (65) следует интересный вывод: если оси OX' и OY' не главные, то поворотом на угол

оси OX и OY становятся главными.

Осевой момент инерции при повороте, очевидно, не меняется, а два остальных изменятся. Действительно (в дальнейшем будем осуществлять переход от осей Оxyz к осям O'x'y'z', при этом ) для получим

=

Проведя те же выкладки для , имеем

Анализируя полученные результаты для осевых моментов инерции, можно записать

Мы получили первый инвариант тензора инерции.

Рассмотрим пример. Найти со­отношение между радиусами ци­линдра и его дли­ной l, при котором тензор инерции полого ци­линдра в его центре инерции явля­ется шаровым тензором. Вводя систему осей х,у,z с началом в точке С правим ось z вдоль геометриче­ской оси цилиндра. Формулы для моментов инерции в данном случае пре­образуются к виду

(3.50)

Применяя цилиндрические координаты, имеем где объем V полого цилиндра дается формулой .

Тогда интегралы, входящие в формулы (3.50), вычисляют­ся так:

(3.51)

.

Шаровой тензор имеет равные осевые моменты инерции, т.е. , согласно результатам (3.51) это будет иметь место при .