Построение грузовой эпюры моментов

 

Эпюра строится в основной системе от действия только заданной нагрузки по правилам сопромата для статически определимых рам. Построим грузовую эпюру моментов для рамы, изображенной на рис. 4 (рис. 6).

 

 

Рис. 6

 

Определение грузовых коэффициентов СКУ

Грузовые коэффициенты определяются также с помощью интеграла Мора по формуле (3):

.

Перемножение единичных эпюр моментов с грузовой делается по формулам Верещагина, Симпсона, трапеций.

 

Проверка грузовых коэффициентов СКУ

Грузовые перемещения проверяются путем перемножения суммарной единичной и грузовой эпюр изгибающих моментов. Полученный результат сравнивается с суммой всех грузовых коэффициентов. В случае правильности вычислений должно выполняться равенство (5):

.

В противном случае следует дополнительно проверить построение грузовой эпюры моментов.

 

 

Решение системы канонических уравнений

 

Найденные в п. 5 и п. 8. коэффициенты подставляем в СКУ (1) и решаем ее любым известным способом решения системы линейных алгебраических уравнений. Например, способом Гаусса, способом последовательных приближений, матричным способом и другими.

Определив корни системы уравнений (1), необходимо их проверить подстановкой в исходные уравнения и вычислить погрешность решения, которая не должна превышать 2%.

Погрешность вычислений можно определить по формуле:

,

где П–сумма положительных слагаемых равенства; О–сумма отрицательных слагаемых равенства; М–минимальное число из «П» и «О». Например, погрешность вычисления 42-45-79+80=0 будет равна:

П=42+80=122; О=45+79=124; М=122; 1.639%.

В результате решения СКУ получаем значения неизвестных усилий в лишних отброшенных связях.

 

Построение расчетной эпюры изгибающих моментов

Окончательную эпюру моментов от заданной внешней нагрузки можно построить по формуле (6). При этом все ординаты единичных эпюр умножаются на соответствующие значения и складываются с ординатами эпюры от внешней нагрузки. Если значения получились отрицательными, то соответствующая уточненная эпюра поменяет знак. Для рамы дважды статически неопределимой расчетную эпюру моментов строят по формуле:

. (14)

Для полученной эпюры делают узловую проверку. Для этого вырезают узлы рамы, прикладывают к ним заданные моменты, изгибающие моменты с эпюры и составляют уравнения равновесия относительно узла .

 

12. Деформационная проверка эпюры

 

Прежде чем произвести деформационную проверку расчетной эпюры моментов выбирается другой вариант основной системы, отличный от принятого для расчета. Для него строится новая суммарная единичная эпюра моментов . Вычисленные по формуле (7) обобщенные перемещения по направлению отброшенных связей должны быть примерно равны нулю:

.

Если это условие не выполняется (погрешность вычислений должна быть не более 2%), то дальнейшее решение не имеет смысла. Нужно еще раз проверить выполнение п. 12 и п. 11.

Построение расчетной эпюры поперечных сил

Эпюра строится по расчетной эпюре моментов по участкам.

Если на участке не действует распределенная нагрузка (эпюра прямолинейна), то поперечная сила постоянна и ее численное значение определяется по формуле:

, (15)

 

где – разница моментов на краях к-го участка М_рас; – длина участка.

Правило знаков: если ось стержня нужно повернуть по часовой стрелке до совмещения с касательной к эпюре , то Q>0 и наоборот (рис. 7).

Если на участке действует распределенная нагрузка (эпюра криволинейна), то эпюра на этом участке строится по следующему

алгоритму:

1. Рассматриваемый участок представляют как простую балку.

2. Считают реакции в опорах этой балки от распределенной нагрузки.

3. В крайнее левое и правое сечения прикладывают моменты, взятые с соответствующего участка эпюры М_рас, и определяют реакции в опорах балки от общего внешнего момента. Знаки для получаются автоматически.

4. Складывают полученные реакции и строят по ним эпюру на этом участке.

Иллюстрация рассмотренного алгоритма показана на рис. 8.

 

;

 

 

; ;

 

Рис. 7

;

Рис. 8