Определение степени статической неопределимости или числа лишних связей n

Для многоэтажных рам с наличием замкнутых (непрерывных) контуров можно воспользоваться следующей формулой

n = 3 (К – 1) + - Ш, (8)

где К– число замкнутых контуров; – число опорных стержней, Ш–число простых шарниров (которые соединяют два стержня).

Ш =С -1,

здесь С – число стержней, соединенных шарниром в одном узле (рис. 1).

 

 

 

Рис. 1

 

Для простых рам проще определять степень статической неопределимости по формуле:

n = - 3 – Ш. (9)

На рис. 2 показаны примеры вычисления n по (8) и (9).

 

 

а) б)

 

 

Рис. 2

 

Выбор основной системы ОС

Основная система метода сил получается из заданной путем отбрасывания n лишних связей и заменой их неизвестными реакциями, действующими по направлению отброшенных связей.

ОС должна быть статически определимой и геометрически неизменяемой (т.е. не должна менять свою гео­метрию без деформаций элементов). Вариантов ОС может быть несколько. Это зависит от выбора отброшенных связей, причем, отбрасываться могут как внешние связи (рис. 3 а), так и внутренние (рис. 3 б, 2 вариант). В работе предлагается выбрать три варианта ОС, а затем принять из них за расчетный наиболее простой для построения эпюр моментов (вариант 1).

 

 

а)

 

 

б)

 

 

Рис. 3

 

 

Составление системы канонических уравнений метода сил (СКУ)

 

Для определения неизвестных сил составляются дополнительные уравнения совместности деформаций, физический смысл которых заключается в эквивалентности перемещений заданной системы и перемещений в ОС от внешней нагрузки и сил . Они записываются в установленной (канонической) форме вида (1). Число уравнений системы зависит от степени статической неопределимости n.

Для рамы, дважды статически неопределимой, СКУ имеет вид:

 

 

4. Построение единичных эпюр моментов

 

Единичные эпюры моментов строятся в ОС от последовательного приложения сил = 1, = 1,..., =1 без учета внешней нагрузки по правилам сопромата для статически определимых рам. В качестве примера на рис. 4 изображены эпюры и . Знак на эпюрах моментов не ставится, они всегда строятся со стороны растянутого волокна.

Рис. 4

Определение главных и побочных коэффициентов СКУ

Так как по физическому смыслу являются перемещениями, то их можно вычислить по формуле Мора (2) с помощью формулы Верещагина, Симпсона, трапеций. Предварительно единичные эпюры моментов разбиваются на участки интегрирования не только по узловым точкам, но и по точкам изменения характера нагрузки и точкам изменения

жесткостей EI. Важно правильно применять каждую из формул. Например, формулой Верещагина удобно пользоваться тогда, когда перемножаемые эпюры на участках линейны и имеют вид фигур, для которых легко определить центр тяжести «Ц.Т.» (прямоугольника, треугольника).

По способу Верещагина

= ± = ± , (10)

где , – площади эпюры или на k–м участке; , –ординаты с эпюры или под центром тяжести площади эпюры или соответственно (таблица).

Таблица

 

Правило знаков: в формуле (10) ставится знак плюс, когда эпюры и расположены по одну сторону от оси стержня, и знак минус, если по разные.

В качестве примера для рамы, изображенной на рис. 4, вычислим с помощью формулы Верещагина главные коэффициенты СКУ:

 

= + = ;

= = .

По теореме о взаимности перемещений побочные коэффициенты СКУ равны между собой:

= = = .

Формулу Симпсона используют тогда, когда одна из перемножаемых эпюр криволинейна. В этом случае:

= ± . (11)

Входящие в формулу величины показаны на рис. 5. Каждое слагаемое в скобках берется со знаком плюс, если соответствующие ординаты расположены по одну сторону от оси, и со знаком минус, если с разных сторон.

.

Рис. 5

Если обе эпюры моментов прямолинейны, то формула Симпсона приводится к формуле трапеций:

=

= ± . (12)

 

Проверка главных и побочных коэффициентов СКУ

Проверка главных и побочных коэффициентов производится с помощью универсального равенства (4). Если оно не выполняется, то для уточнения, в каком перемещении допущена ошибка, делаются построчные проверки каждого канонического уравнения:

 

. (13)