Сложение моментов. Результирующий момент многоэлектронной системы.

КВАНТОВОЕ СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ

- сложение моментов (орбитальных, спиновых, полных) независимых частиц (или систем - атомов, молекул и т. д.) по законам квантовой механики. Применяется также назв. векторное сложение моментов. В случае двух частиц задача состоит в определении спектра возможных собств. значений оператора квадрата суммарного момента и его проекции на фиксированную ось и соответствующих собств. ф-ций - операторы моментов частиц 1,2). Спектр имеет вид

где квантовое число суммарного момента j может принимать значения j = j ₁+ j ₂, j ₁+ j ₂ - 1,..., | j ₁ -j ₂ |, а его проекции т=j, j -1,..., - j (j ₁, m ₁ и j ₂, т ₂ - квантовые числа моментов частиц 1 и 2 и их проекций). При этом каждое из возможных значений j встречается только один раз, что легко подтверждается подсчётом общего числа квантовых состояний (j, m):

На матeм. языке рассматриваемая задача соответствует разложению прямого (тензорного) произведения двух неприводимых представлений группы вращений трёхмерного пространства SO(3) на неприводимые компоненты, что символически записывается в виде

(ряд Клебша - Гордана). Все значения j либо целые (когда j ₁ и j ₂ одновременно целые или полуцелые), либо полуцелые (когда один из складываемых моментов целый, а другой - полуцелый). В частности, для отд. электрона в атоме j всегда полуцелое: j=l+s, где квантовое число орбитального момента l =0, 1, 2,..., а спинового: s =1/2.Сложение произвольного числа N моментов

J=j ₁+ j ₂ +...+j _N(4)

может быть выполнено последоват. применением операции (1). В частности, наиб. значение J=j ₁+ j ₂ +...+j _N имеет кратность, равную единице (т. е. встречается в разложении прямого произведения только один раз). В теории атомов применяются след. схемы сложения моментов: 1) связь Расселла - Саундерса (LS- связъ),в к-рой сначала складываются орбитальные и спиновые моменты отд. электронов:

а затем L и S складываются в полный момент атома J; 2) jj -связь, в к-рой орбитальный и спиновый моменты i -го электрона складываются в полный момент электрона j_i = l_i+s_i, после чего полный момент атома J определяется по ф-ле (4). Условием применимости LS- связиявляется малость релятивистских взаимодействий по сравнению с эл.-статическим (кулоновским), поэтому она хорошо работает в лёгких атомах. По мере увеличения атомного номера Z роль релятивистских эффектов возрастает и происходит переход от LS -связи к jj- связи(однако в чистом виде последний тип связи фактически не встречается даже в самых тяжёлых атомах).Следует подчеркнуть, что только J и J _z - строго сохраняющиеся величины (соответствующие операторы коммутируют с гамильтонианом), в то время как l_i, L и S в схеме LS- связи, j_i в схеме jj -связи сохраняются лишь приближённо. <Для построения волновой ф-ции y _{j m}, отвечающей собств. значениям (1), из волновых ф-ций отд. частиц y _{j 1m1} и y _{j 2m2} используются Клебша - Гордана коэффициенты (или Вигнера 3 j -символы). При сложении большего числа моментов применяются Вигнера 6 j-символы (или связанные с ними Рака коэффициенты)или 3 nj -символы (при n /2).

 

Каждый электрон в атоме обладает орбитальным моментом импульса и собственным моментом Механические моменты связаны с соответствующими магнитными моментами, вследствие чего между всеми имеется взаимодействие.

Моменты складываются в результирующий момент атома При этом возможны два случая.

1. Моменты взаимодействуют между собой сильнее, чем с которые в свою очередь сильнее связаны друг с другом, чем с Вследствие этого все складываются в результирующую моменты складываются в а затем уже дают суммарный момент атома Такой вид связи встречается чаще всего и называется связью Рёссель — Саундерса или вязью.

2. Каждая пара взаимодействует между собой сильнее, чем с другими вследствие чего образуются результирующие для каждого электрона в отдельности, которые затем уже объединяются в атома. Такой вид связи, называемый вязью, наблюдается у тяжелых атомов.

Сложение моментов осуществляется по квантовым законам (см. § 24). Рассмотрим подробнее сложение моментов в случае связи Рёссель — Саундерса.

Орбитальные квантовые числа U всегда бывают целыми. Соответственно квантовое число L суммарного орбитального момента также бывает целым (либо нулем).

Квантовое число S результирующего спинового момента атома может быть целым или полуцелым в зависимости от того, каким является число электронов в атоме — четным или нечетным. При четном числе электронов N квантовое число S принимает все целые значения от «параллельны» друг другу) до нуля (все попарно компенсируют друг друга). Так, например, при может иметь значения 2, 1, 0. При нечетном N квантовое число S принимает все полуцелые значения от «параллельны» друг другу) до кроме одного, попарно компенсируют друг друга). Например, при возможными значениями S будут:

При данных квантовое число J результирующего, момента может иметь одно из следующих значений:

Следовательно, будет целым, если S — целое (т. е. при четном числе электронов в атоме), и полуцелым, если S — полуцелое (т. е. при нечетном числе электронов).

Так, например,

1) в случае возможные значения J равны 3, 2, 1;

2) в случае возможные значения равны

Энергия атома зависит от взаимной ориентации моментов (т. е. от квантового числа L), от взаимной ориентации моментов (от квантового числа S) и от взаимной ориентации квантового числа l). Условно терм атома записывается следующим образом:

где под L подразумевается одна из букв S, Р, D, F и т. д. в зависимости от значения числа L. Например, термы

относятся к состояниям с одинаковыми одинаковыми но различными J, равными 0, 1, 2.

Символ (32.1) содержит в себе сведения о значениях трех квантовых чисел L, S и. В случае, когда, стоящее слева вверху число дает мультиплетность терма, т. е. количество подуровней, отличающихся значением числа J (см. (32.2)). В случае, когда фактическая мультиплетность равна Однако символ терма все равно пишут в виде (32.1), иначе он не содержал бы сведений о значении квантового числа

Обозначениями типа (32.1) мы уже пользовались в § 29 применительно к атомам щелочных металлов. Однако для этих элементов характерно то, что S атома, совпадая с s валентного электрона, равно Теперь же мы познакомились с символическими обозначениями термов для любых случаев.