Прохождение частицы через одномерный потенциальный барьер.

Рассмотрим движение частицы в поле сил, которое может быть представлено в виде прямоугольного одномерного потенциального барьера конечной ширины l и высоты U_o (рис. 69). Подобный барьер описывается потенциальной энергией вида (121)

Предположим, что частица движется в положительном направлении оси х. Энергия частицы может быть как больше (Е> U_o), так и меньше (Е< U_o)высоты потенциального барьера.

Случай 1: Е> U_o (рис. 70). По классической теории, частица преодолеет потенциальный барьер и попадет в область 3, где продолжает двигаться с той же энергией, а значит, и с той же скоростью, что и в области 1 (скорость частицы в области 2, естественно, меньше, так как здесь кинетическая энергия частицы T₂ = E - U₀).

 

Рассмотрим поведение квантовой частицы. В случае E > U₀ уравнение Шредингера для стационарных состояний примет вид:

для областей 1, 3 , (121)

для области 2 . (122)

Обозначив (123)

, (124)

где λ_1,3 и λ₂ – соответственно длины волн де Бройля в областях 1, 3 и 2, получим уравнения , (125)

. (126)

Общие решения дифференциальных уравнений (125) и (126) для трех областей: , (127)

, (128)

. (129)

Как уже указывалось ранее, члены вида соответствуют плоским волнам, распространяющимся в положительном и отрицательном направлениях оси х (о волне как таковой можно говорить после умножения координатной части волновой функции на временной множитель ).

Тогда

. (130)

(131)

В случае Е < U_o уравнение Шредингера для стационарных состояний примет вид: для областей 1, 3

(для областей 1 и 3 ), (132)

для области 2 , где . (133)

Общие решения дифференциальных уравнений (132) и (133) для трех областей: , (134)

, (135)

. (136)

В частности, для области 1 полная волновая функция имеет вид

Тогда . (137)

Внутри барьера решение (135) уже не соответствует плоским волнам, распространяющимся в обе стороны, поскольку показатели экспонент не мнимые, а действительные. Однако теперь нельзя отбрасывать экспоненциально возрастающее решение, так как область, где U₀ > E, имеет конечные размеры.

Условия непрерывности волновой функции и ее первой производной в точках х = 0 и х = l [см. условия (131)] с учетом выражений (134), (135) и (137) приведут к уравнениям

,

,

, (138)

. (139)

Решая уравнения (138) и (139) относительно А₂ и В₂,получаем

,

.

Таким образом, квантовая механика приводит к принципиально новому специфическому квантовому явлению, получившему название туннельного эффекта, в результате которого микрообъект может «пройти» сквозь потенциальный барьер.

Для описания туннельного эффекта используется коэффициент прозрачности D потенциального барьера, равный отношению плотности потока прошедших частиц n₃ к плотности потока падающих n₁. Учитывая что, (формулы приводятся без вывода) ,

находим . (140)

Тогда, согласно (140) получим, что . Учитывая, что , запишем выражение для коэффициента прозрачности: , (141)

где D_o – постоянный множитель, который, как показывают точные расчеты, не очень отличается от единицы.

Из формулы (141) следует, что коэффициент прозрачности (вероятность проникновения сквозь потенциальный барьер) быстро убывает с увеличением ширины барьера, а также с ростом его высоты. Теперь становится понятным рассматриваемое выше условие , а именно оно определяет потенциальный барьер малой проницаемости.