Вопрос 21. Прохождение через потенциальный барьер. Туннельный эффект

Микрочастица массой m и энергией W движется слева направо параллельно оси х в потенциальном поле, вид которого изображен на рисунке 7.4.1. Рис 7.4.1. – Движение частицы в поле прямоугольного потенциального барьера. Такой вид поля получил название потенциального барьера. Область, в которой движется частица можно разбить на три области. Определить вероятность прохождения частицы, энергия которой меньше высоты потенциального барьера, из области I в область III без изменения энергии частицы. При движении частицы в I, II, III областях, скорость движения в пределах области остается постоянной. В таком случае движение микрочастицы описывается плоской волной де Бройля. На границе, где происходит скачкообразное изменение потенциала, эта волна должна себя вести аналогично электромагнитной волне на границе двух сред с разными показателями преломления. Волна на границе частично отражается частично проходит через границу. Таким образом, есть определенная вероятность обнаружить частицу в III области. Запишем уравнения Шрёдингера для каждой области отдельно: для I и III (U =0): , для II области (U 0) . Решение дифференциальное уравнения для области I: , где . Амплитуда «падающей» волны равна А 1, величина А2 1 – интенсивность «падающей» волны, В 1 – амплитуда «отраженной» волны, В2 1 – интенсивность «отраженной» волны. Для области II уравнение Шрёдингера имеет решение: , где , А2 – амплитуда волны, проходящей в область II, В2 – амплитуда волны, отраженной от границы х = l. Для области III решение , (отраженной волны в третьей области нет), , т.к. энергия прошедших через барьер частиц равна энергии падающих частиц, потерь энергии в барьере нет; А3 – амплитуда волны, прошедшей в область III, – интенсивность волны, прошедшей, через потенциальный барьер. Отношение – коэффициент отражения или вероятность того, что микрочастица отразится от потенциального барьера. Отношение – коэффициент прозрачности барьера или вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер. Чтобы определить R и D, воспользуемся граничными условиями на – функцию и ее производную на границах потенциального барьера, т.е. при х =0 и х =l. Эти условия следуют из условий непрерывности функции , а также ее первой производной на границах областей I и II, II и III, т.е. при х = 0 и х =l. Запишем эти граничные условия: Коэффициент прозрачности барьера приблизительно равен: , где . Формула для коэффициента показывает, что проницаемость барьера в сильной степени зависит от ширины барьера , массы микрочастицы и от разности «высоты» барьера и энергии частицы.

 

 

Вопрос22. Уравнение Шредингера для атома водорода

В лекции N 7 мы разобрали боровскую теорию атома водорода, основанную на постулатах Бора и условии стационарности состояний атома (4.3).

Уравнение Шредингера, примененное к атому водорода, позволяет получить результаты боровской теории атома водорода без привлечения постулатов Бора и условия квантования. Квантование энергии возникает как естественное условие, появляющееся при решении уравнения Шредингера, в некотором смысле аналогичное причине квантования энергии для частицы в потенциальной яме. Применить стационарное уравнение Шредингера (7.3) к атому водорода это значит:

а) подставить в это уравнение выражение для потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром

б) в качестве m подставить m_e - массу электрона (если пренебречь, как и в лекции N 4, движением ядра).

После этого получим уравнение Шредингера для атома водорода:

Так как потенциальная энергия зависит только от r, решение уравнения удобно искать в сферической системе координат: r, θ, φ.(рис. 8.1)

 

Рис. 8.1

Волновая функция в этом случае будет функцией от r, θ и φ, т.е.

Оператор Лапласа необходимо записать в сферических координатах, т.е. выразить через производные по r, θ и φ. Мы не будем этого делать, поскольку получение решения уравнения Шредингера для атома водорода не входит в программу курса общей физики. Приведем лишь результаты.

Оказывается, что решение уравнения Шредингера для атома водорода существует при следующих условиях:

а) при любых положительных значениях полной энергии (E > 0). Это так называемые несвязанные состояния электрона, когда он пролетает мимо ядра и уходит от него на бесконечность;

б) при дискретных отрицательных значениях энергии

Эта формула совпадает с полученной Бором формулой для энергии стационарных состояний атома водорода. Целое число n называют главным квантовым числом.