Потенциальная энергия упруго деформированного тела.

Потенциальной энергией может обладать не только система взаимодействующих тел, но и отдельно взятое упруго деформированное тело (например, сжатая пружина, растянутый стержень и т.п.). В этом случае потенциальная энергия зависит от взаимного расположения отдельных частей тела (например, от расстояния между соседними витками пружины).

Определим работу, которую необходимо затратить для растяжения (или сжатия) пружины на величину «x» (рис.3.8). Будем считать, что пружина подчиняется закону Гука, т.е. упругая сила пропорциональна деформации. Будем проводить растяжение пружины очень медленно, чтобы силу , с которой мы действуем на пружину, можно было все время считать равной по величине упругой силе . Далее будем считать, что сила действует в направлении перемещения, т.е. .

Исходя из предыдущего, можно записать F_внешн. = -F_упр. = kx, где x – удлинение пружины, k – коэффициент жесткости пружины, а согласно закону Гука направление упругой силы и перемещения противоположны (силы упругости обусловлены взаимодействием между частицами (молекулами и атомами) и имеют, в конечном счете, электрическую природу).

Пусть под действием силы пружина растянулась на dx, тогда dA=F·dx=k·x·dx.

Отсюда

;

Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии пружины. В предположении, что потенциальная энергия недеформированной пружины равна «0» (U ₁ = 0) получаем

(3.12)

– потенциальная энергия упругой деформации пружины.

ЛЕКЦИЯ 5

Закон сохранения энергии.

Без нарушения общности рассмотрим систему, состоящую из двух частиц массами m₁ и m₂. Пусть частицы взаимодействуют друг с другом с силами и , модули которых зависят от расстояния R₁₂ между частицами. Установлено, что такие силы являются консервативными, т.е. работа, совершаемая такими силами над частицами, определяется начальной и конечной конфигурациями системы. Пусть также, кроме внутренних сил на первую частицу действует внешняя консервативная сила и внешняя неконсервативная сила . Аналогично для второй частицы. Тогда уравнения движения частиц можно записать в виде:

Умножим каждое уравнение на и сложим полученные выражения.

1. Распишем первый член в правой части.

Работа внутренних сил равна . Для замкнутой системы , а , где и – радиус-векторы частиц.

Тогда

.

Учитывая, что силы и имеют величину, зависящую только от расстояния и направлены вдоль соединяющей их прямой (это справедливо, например, для сил кулоновского или гравитационного взаимодействий), любую из этих сил можно представить в виде, например, , где f(R ₁₂ ) – некоторая функция R ₁₂, – орт вектора .

Следовательно, .

Скалярное произведение равно приращению dR ₁₂ расстояния между частицами, тогда .

Выражение есть приращение некоторой функции . Следовательно,

.

Функция представляет потенциальную энергию взаимодействия.

Работа внутренних сил будет равна

,

т.е. не зависит от пути, по которому перемещаются частицы, а определяется начальной и конечной конфигурациями системы. Т.е. силы взаимодействия вида являются консервативными.

Итак, работа внутренних сил равна убыли потенциальной энергии взаимодействия

2. Второй член представляет работу внешних сил и равен убыли потенциальной энергии системы во внешнем поле консервативных сил

3. Последний член представляет работу неконсервативных внешних сил .

После этих замечаний можно записать

Величина

T + U_вз. + U_вн. = E (3.13)

– называется полной механической энергией системы. Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, т.е. , то

Е=const – закон сохранения механической энергии.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: полная механическая энергия системы тел, на которые действуют лишь консервативные силы, остается постоянной.

Для замкнутой системы, т.е. системы, на тела которой не действуют никакие внешние силы, закон сохранения примет вид:

E = T + U_вз. = const

Если в замкнутой системе, кроме консервативных сил действуют неконсервативные силы, например, силы трения, то полная механическая энергия системы не сохраняется. Рассматривая консервативные силы как внешние, получим

или после интегрирования .

Как правило, силы трения совершают отрицательную работу. Поэтому наличие сил трения в замкнутой системе приводит к уменьшению ее полной механической энергии со временем. Таким образом, если в системе действуют неконсервативные силы, то
	изменение полной энергии будет равно работе всех внешних сил, действующих на эту систему.

Анализ закона сохранения показывает, что полная энергия, оставаясь в консервативной системе величиной постоянной, может переходить из одних видов в другие.

При действии неконсервативных сил возможен переход механической энергии в другие немеханические виды энергии. В этом случае справедлив более общий закон сохранения:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: в изолированной от любых внешних воздействий системе остается постоянной сумма всех видов энергии (включая и немеханические).

К этому добавим, что в природе и технике постоянно имеют место превращения энергии из одних видов в другие. Проиллюстрируем это таблицей.

Процесс или прибор	Превращение энергии
из вида	в вид
Электрогенератор	механическая	электрическая
Гальванический элемент	химическая	электрическая
Электродвигатель	электрическая	механическая
Зарядка аккумулятора	электрическая	химическая
Фотосинтез	электромагнитная	химическая
Фотоэффект	электромагнитная	электрическая
Ядерный реактор	ядерная	механическая электромагнитная и др.

В таблице не отражено, что при любом превращении часть энергии превращается в теплоту.

Для графического изображения закона сохранения энергии рассмотрим случай, когда тело бросаем вверх.

Если не учитывать силу сопротивления воздуха F_сопр., то систему «тело-Земля» можно рассматривать, как изолированную и консервативную, для которой

E = E_к. + U_p. = const

Из графика (рис. 3.10) видно, что по мере поднятия тела над поверхностью Земли его потенциальная энергия возрастает от величины U_p(h₁) до U_p(h₂), но одновременно с этим точно на такую же величину уменьшается кинетическая энергия системы E_к., а полная энергия тела остается величиной постоянной, что соответствует линии BA || h.

Очевидно:

1. При h=0 имеем U_p=0, а E=E_к., что соответствует линии ОВ;

2. При h = max имеем U_p = max (E_к. = 0), а E = U_p, что соответствует линии AC.

САМОСТОЯТЕЛЬНО:

Упругий и неупругий центральный удар шаров;

Условия равновесия механической системы.

Механика твердого тела.