Движение материальной точки в стационарных потенциальных полях.

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

 

При решении задач этого раздела необходимо помнить следующие основные положения.

1. В физике во многих случаях удобно описывать взаимодействие тел посредством силового поля. Силовое поле – это область пространства, в каждой точке которой, на тело, находящееся в ней, действует сила. Если эти силы не зависят от времени, то такое поле называется стационарным. В дальнейшем мы будем рассматривать только стационарные поля.

2. Если работа сил, действующих на тело со стороны поля, не зависит от формы траектории тела, а определяется лишь его начальным и конечным положениями, то поле называется потенциальным, а силы, действующие в нем, – потенциальными.

3. В силу независимости работы потенциальных сил от формы траектории эту работу можно записать в виде убыли потенциальной энергии тела:

Здесь 1 и 2 начальная и конечная точки траектории, U ₁ и U ₂ значения потенциальной энергии тела в точках 1 и 2.

4. Связь между силой и потенциальной энергией дается соотношением:

где F_s – проекция силы на направление, характеризуемое вектором d s, dU / ds – производная потенциальной энергий вдоль направления d s. Знак минус в этом соотношении есть следствие того, что потенциальная энергия вводится так, чтобы сила в потенциальном поле была направлена в сторону убыли потенциальной энергии (см. соотношение п.4).

5. Механической энергией тела Е называется величина равная сумме его кинетической Т и потенциальной энергий U:

E = T+U.

6. Если тело движется в стационарном потенциальном поле, то механическая энергия тела остается постоянной. Это утверждение носит название закона сохранения механической энергии.

7. Стационарные потенциальные поля называют также консервативными полями, а силы, действующие в таких полях – консервативными силами. Это название связано с тем, что такие силы не изменяют, т.е. сохраняют (to conserve – сохранять), механическую энергию тела.

8. Если на тело действуют также и неконсервативные силы, то закон сохранения энергии, вообще говоря, не имеет места. А именно, если тело перешло из точки 1 в точку 2, то приращение его механической энергии определяется работой неконсервативных сил вдоль траектории движения тела:

Задача 5.1. Потенциальная энергия частицы имеет вид: a) b) c) U = bx, где a, b, k – константы, r – модуль радиус-вектора r частицы (; х, y, z – декартовы координаты частицы). Найти силу, действующую на частицу, и работу А, совершаемую над частицей силами поля при переходе частицы из точки с координатами (1, 2, 3) в точку (2, 3, 4).

Решение. Как известно, поэтому получим соответственно:

a)

b) F_r = – kr.

Далее, поскольку потенциальная энергия зависит лишь от r, то при перемещении в направлении, перпендикулярном радиальному, она не будет изменяться, а поэтому производные от нее по любому направлению, перпендикулярному r, будут равны нулю. Поэтому в обоих случаях, как а), так и б), силы имеют ненулевую проекцию лишь на радиальное направление, т.е. сила F параллельна радиус-вектору r, поэтому можно написать:

откуда:

В случае c) имеем: F_x= – b, F_y = 0, F_y = 0, т.е. сила направлена в положительном направлении оси ОХ при b < 0 и в отрицательном при b > 0. Этот результат можно записать в виде:

F = – b,

где вектор b имеет проекции:

b_x = b, b_y = 0, b_z = 0.

Чтобы найти работу А вспоминаем, что в потенциальном поле:

Откуда

c) A = b× 1 – b ×2 = – b.

Задача 5.2. Небольшой шарик подвешен к концу невесомого стержня длины L, который может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через другой его конец. С какой скоростью следует толкнуть шарик, чтобы он совершил полный оборот в вертикальной плоскости? Как изменится ответ, если шарик подвешен на нити?

Решение. Задача решается с помощью закона сохранения энергии. Правда, прежде чем применить его, следует выяснить, действительно ли работает этот закон в данном случае. Для этого вспоминаем, что закон сохранения энергии, вообще говоря, нарушается, если на тело действуют неконсервативные силы. В данном случае на шарик действуют две силы: сила тяжести (она консервативна) и сила реакции стержня. Вторая сила неконсервативна, так как зависит, помимо всего прочего, от скорости шарика. Однако наличие неконсервативной силы нарушает закон сохранения энергии лишь в случае, когда работа этой силы отлична от нуля, так как

.

В данном случае сила реакции N стержня в каждый момент времени направлена перпендикулярно скорости v шарика, поэтому ее мощность равна нулю:

P = (N, v)=0.

Рис. 5.1

Таким образом, эта сила работы не совершает, и энергия сохраняется. Очевидно, что наиболее "опасной" точкой является верхняя точка траектории, т.е. точка 2 на рис. 5.1. Если шарик пройдет эту точку, то он совершит полный оборот, поэтому, если шарик подвешен на стержне, то скорость его в точке 2 не может быть меньше нуля.

Итак, согласно закону сохранения энергии получаем

откуда

Потенциальная энергия материальной точки в поле тяжести равна mgh, где h – высота, на которой находится эта точка, то

U ­₂ – U ­₁ = mg (h ₂ – h ₁) = 2 mgL,

так как разность высот шарика в точках 1 и 2 равняется 2 L.

Таким образом, получаем, что:

.

Итак, если шарик подвешен на стержне, то скорость, с которой его следует толкнуть, чтобы он совершил полный оборот, равна

.

Для шарика, подвешенного на нити, справедливы все приведенные выше рассуждения, кроме одного: скорость шарика в верхней точке траектории не может быть слишком малой, а тем более нулевой – нить всё время должна быть натянута. Найдем минимальное значение скорости шарика в точке 2. Для этого учтем, что в этой точке обе силы, действующие на шарик, – и сила тяжести, и сила натяжения нити – направлены в одну сторону вдоль нити, т.е. перпендикулярно скорости шарика. Поэтому ускорение шарика также направлено перпендикулярно скорости, т.е. оказывается нормальным ускорением:

.

В силу второго закона Ньютона можем написать в точке 2 уравнение:

ma_n = mg +N.

Отсюда с учетом выражения для ускорения в точке 2, получаем, что

Очевидно, что для нити N > 0 (почему, подумайте сами), поэтому:

.

Опять, используя закон сохранения энергии, получаем:

Окончательно можем написать:

Задача 5.3. Тело массы m толкнули со скоростью υ вверх по наклонной плоскости. На какую высоту h поднимется тело, если угол наклона плоскости равен a, а коэффициент трения между телом и плоскостью k?

Решение. Эту задачу проще всего решить, рассматривая изменение энергии тела. В начальном положении (точка 1 на рис. 5.2) тело обладает энергией E ₁= mυ ²/2, в конечном (точка 2 на рис. 5.3) – энергией Е ₂ = mgh, так как здесь тело останавливается, и его скорость равна нулю. Приращение механической энергии равно работе неконсервативных сил:

 

Рис. 5.2

Рис. 5.3

 

К числу неконсервативных сил здесь относятся нормальная компонента силы реакции плоскости и сила трения. Но нормальная компонента силы реакции направлена перпендикулярно плоскости, т.е. перпендикулярно скорости тела, и потому работы не совершает. Что касается силы трения, то эта – сила трения скольжения, поэтому F _тр = kN, a так как N = mg cosa, то:

A _тр = – F _тр s = – kmg × s ×cosa.

Так как s× sina = h (см. рис. 5.3), то для работы силы трения получаем

A _тр = – kmg × h ×ctga,

откуда

.

Отсюда находим h:

Если a ® 0, то h ® 0, но s = h /sina ® υ ²/2 kg (сравните с ответом к задаче 4.1).

Задача 5.4. Два одинаковых кубика массы m каждый, соединены невесомой пружинкой жесткости k. Кубики связаны нитью, в результате чего пружинка оказывается сжатой (рис.5.4). В некоторый момент нить пережигают. При каком начальном сжатии пружины нижний кубик подскочит после пережигания нити?

Рис. 5.4

Решение. Рассмотрим случай минимального начального сжатия пружины, когда нижний кубик отрывается от стола лишь в момент максимального растяжения пружины. Очевидно, что при этом скорость верхнего кубика будет равна нулю, иначе пружина продолжала бы растягиваться. Рассмотрим энергию верхнего кубика в двух состояниях: начальном – в момент пережигания нити и конечном – в момент максимального растяжения пружинки, когда нижний кубик перестает давить на опору.

В начальном состоянии механическая энергия кубика равна потенциальной энергии, так как кубик покоится:

E ₁ =U ₁.

В конечном состоянии механическая энергия также равна потенциальной энергии, так как растянувшаяся пружинка останавливает верхний кубик:

E ₂ =U ₂.

Найдём U ₁ и U ₂:

Здесь h ₁ и h ₂ – высоты, на которых находится верхний кубик в положениях 1 и 2 соответственно, D l ₁ – начальное сжатие пружинки, D l ₂ – максимальное растяжение пружинки (см. Рис. 5.4). Для того, чтобы нижний кубик оторвался от опоры, необходимо, чтобы пружинка тянула его вверх с силой равной силе тяжести:

F _упр = mg.

Но, так как F _ynp = k ×D l ₂, то

В данном случае энергия системы остается постоянной, так как все силы консервативны, поэтому:

Из рис. 5.4 нетрудно понять, что

Второе уравнение запишем в виде

или

Отсюда найдем два значения D l ₁:

Первое решение соответствует случаю сжатой пружинки, второе решение также имеет определенный физический смысл. Так как D l ₁ < 0, то это решение соответствует случаю первоначально растянутой на величину mg / k пружинки. Поскольку при таком растяжении пружинка оказывается растянутой с силой равной силе тяжести F _упр = k× D l ₁ = mg,то очевидно, что нижний кубик под действием этой силы оторвется от опоры.

Задача 5.5. Игрушечный автомобильчик с пружинным заводом разгоняется до скорости υ ₀ и, естественно, приобретает кинетическую энергию Т ₀, при этом пружина, раскручиваясь, теряет часть своей потенциальной энергии D U ₀. Если пренебречь различными потерями в пружинном моторе, то очевидно, что Т ₀ = D U ₀. Навстречу автомобильчику со скоростью υ ₀ движется наблюдатель. Найдите изменение кинетической энергии автомобильчика с точки зрения этого наблюдателя и объясните результат.

Решение. С точки зрения движущегося наблюдателя начальная скорость автомобильчика равна υ ₀, а конечная 2 υ ₀. Таким образом, изменение кинетической энергии автомобильчика равно

Как же быть с законом сохранения энергии, почему он не работает? Работа пружины определяется только её деформацией, которая, очевидно, никак не зависит от выбора системы отсчёта. Казалось бы, ответ не должен тогда зависеть от выбора системы отсчёта. В чём же тут дело?

Самый простой ответ состоит в том, что автомобильчик движется под действием внешних сил, а именно: под действием сил трения между ведущими колёсами и поверхностью, по которой движется автомобильчик. Именно эта сила изменяет импульс автомобильчика, она же изменяет и его кинетическую энергию. Если предположить для простоты вычислений, что сила эта остаётся постоянной, пока пружина раскручивается[4], то и ускорение автомобильчика будет оставаться постоянным. Тогда оказывается, что перемещение автомобильчика будет разным в двух разных системах отсчёта:

Поскольку работа силы пропорциональна перемещению тела, то во втором случае эта работа втрое больше, чем в первом:

А ₂ = 3 А ₁,

поэтому и изменение кинетической энергии оказывается втрое больше.

А при чём тут тогда пружина, если всё определяет работа силы трения? Ясно, что благодаря пружине колёса начинают вращаться, что и приводит к возникновению силы трения, толкающей автомобиль. На гладкой поверхности без этой силы автомобиль не сдвинется с места.

А как же быть тогда с законом сохранения энергии Т ₀ = D U ₀? Он что – несправедлив? Вообще говоря, нет. При наличии неконсервативных сил энергия не обязана сохраняться:

.

Здесь именно этот случай.

Более подробно мы разберёмся с движением автомобиля в разделе, посвящённом динамике твёрдого тела.