Теорема об изменении момента количества движения материальной точки относительно центра и оси

1. Теорема моментов относительно центра.

Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторого неподвижного центра равна моменту силы, действующей на точку, относительно того же центра.

Доказательство (рис. 15).

Рисунок 15

Пусть , , . . . — момент силы относительно точки . Итак, (3.32)

Следствие. Если линия действия равнодействующей приложенных к точке сил все время проходит через неподвижный центр, то момент количества движения материальной точки относительно этого центра остается постоянным.

Примечание: Такая сила называется центральной. Например, рассмотрим движение спутника вокруг Земли (рис. 16). — сила притяжения, ее модуль зависит от расстояния между Землей и спутником. Так как , то — обратная зависимость между скоростями и расстояниями.

2. Теорема моментов относительно оси.

Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторой оси равна моменту силы, действующей на точку, относительно той же оси.

Доказательство.

Запишем (3.32) в проекциях на оси декартовых координат, учитывая, что , , и , , . Тогда , , (3.33)

где , , — моменты количества движения материальной точки относительно осей координат; , , — моменты силы относительно тех же осей.

Следствие. Если момент равнодействующей сил, действующих на материальную точку, относительно некоторой оси равен нулю, то момент количества движения материальной точки относительно той же оси остается величиной постоянной.

Пример 8.

К концу нити привязана тяжелая гирька. Второй конец нити переброшен через неподвижный блок. Когда нить с грузом отклонили от вертикали на некоторый угол и сообщили ему вокруг вертикальной оси скорость , направленную по касательной к траектории, нить начали укорачивать со скоростью . Определить, с какой скоростью будет двигаться гирька вокруг оси , когда расстояние до оси уменьшится в 2 раза (рис. 17, а).

Решение. На гирьку (рис. 17, б) действуют силы: натяжение нити и вес гирьки. Применим теорему об изменении момента количества движения материальной точки относительно оси : . Сила пересекает ось , параллельна этой оси, поэтому . Вектор пересекает ось , его момент относительно оси равен нулю. Тогда .

Ответ. .

Теорема об изменении кинетического момента механической системы относительно центра и оси

1. Теорема моментов относительно центра.

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторого неподвижного центра равна геометрической сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно того же центра.

Доказательство.

Для точки системы . Выполняя суммирование по всем точкам системы, получим , где ; — главный момент внешних сил относительно центра ; — по свойству внутренних сил.

(3.34)

Следствие. Если главный момент внешних сил относительно некоторого центра равен нулю, то кинетический момент системы относительно этого центра не изменяется (закон сохранения кинетического момента).

2. Теорема моментов относительно оси.

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторой неподвижной оси равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно этой оси.

Доказательство. Спроектируем векторное равенство (3.34) на оси декартовых координат, получим

, , (3.35)

где , , — кинетические моменты механической системы относительно осей координат; , , — главные моменты внешних сил относительно осей координат.

Следствие. Если главный момент внешних сил относительно некоторой оси равен нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси не изменяется.

Например, , тогда .

Пример 9.

Используя условие примера 7, определить угловую скорость вращения конуса в момент, когда материальная точка будет находиться на основании конуса, если в начальный момент она находилась в вершине конуса, а его угловая скорость . Масса точки , масса конуса .

Решение. Внешними силами, действующими на механическую систему (конус + материальная точка), являются силы тяжести конуса и точки, реакции подпятника — , , и подшипника — и (рис.18). Применим теорему об изменении кинетического момента относительно оси : . Так как внешние силы либо параллельны оси , либо пересекают ее, то , т. е. . — кинетический момент конуса. . Тогда . Ответ. .