И механической системы (часть 1)

РАЗДЕЛ 3. ДИНАМИКА.

ТЕМА 3. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

И МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ (часть 1)

Теорема о движении центра масс системы

Теорема. Центр масс механической системы движется как любая материальная точка, масса которой равна массе всей механической системы и к которой приложена сила, равная главному вектору внешних сил.

Доказательство.

Основное уравнение динамики для материальной точки . Для всей механической системы

, (3.1)

где — по свойству внутренних сил; — главный вектор всех внешних сил, приложенных к системе;

.

С учетом этого (3.1) примет вид

(3.2)

Уравнение (3.2) может быть записано в скалярной форме в проекциях на оси декартовых координат или на естественные оси. В декартовых осях (3.2) имеет вид

, , , . (3.3)

Следствия из теоремы:

1. Если главный вектор внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то центр масс механической системы движется равномерно и прямолинейно либо покоится.

2. Если проекция главного вектора внешних сил, действующих на систему, на какую-либо ось равна нулю, то проекция центра масс на эту ось либо покоится, либо движется равномерно, т. е., например, если , то .

Если в начальный момент система покоилась, то — проекция центра масс покоится. При центр масс будет двигаться вдоль оси с постоянной скоростью.

Эти следствия выражают закон сохранения движения центра масс механической системы. При справедливо равенство

, (4.3)

где — приращение координаты центра масс тела при изменении положения тел в механической системе, равное проекции абсолютного перемещения этой точки на ось .

Пример 1.

К концу троса, навитого на барабан, подвешен груз массы . Барабан массы может вращаться вокруг горизонтальной оси. Определить реакцию оси, если груз начнет двигаться с постоянным ускорением (рис. 1, а).

Решение. Покажем внешние силы — вес барабана , вес груза ,реакцию оси (рис. 1, б). Запишем теорему о движении центра масс механической системы: . Выберем начало оси в точке и направим ее вниз. Спроектируем векторное равенство на эту ось: . Отсюда . Запишем координату центра масс: , т.к. , а . Продифференцируем дважды, определим ускорение центра масс: . Тогда . Ответ.

Пример 2.

Призма массы покоится на гладкой горизонтальной плоскости. По наклонной плоскости призмы из состояния покоя начинает перемещаться груз массы . Пренебрегая размерами груза, определить перемещение призмы, когда он переместится на расстояние ; (рис. 2, а).

Решение. Внешние силы, действующие на систему: вес призмы, вес груза и нормальная реакция плоскости (рис. 2, б).

Теорема о движении центра масс . Так как (все силы перпендикулярны оси ), то на основании формулы (3.4) , где . .

Ответ: призма переместится влево на .

Количество движения материальной точки и механической системы

Количество движения материальной точки — векторная мера ее движения, равная произведению массы точки на вектор ее скорости:

(3.5)

Количество движения механической системы или главный вектор количества движения — геометрическая сумма количеств движения всех материальных точек системы:

(3.6)

Преобразуем (3.6):

(3.7)

где — скорость центра масс.

Если механическая система состоит из твердых тел, то по формуле (3.7) определяется количество движения каждого тела, а затем

(3.8)

где — скорость центра масс тела.

Модуль главного вектора количества движения системы определяется через его проекции на оси декартовых координат

, , , (3.9)

Например, определить количество движения системы:

1. Вращение тела вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс (рис. 3). Так как , то .

2. Качение тела по плоскости — плоскопараллельное движение — поступательное вместе с центром масс, и вращательное относительно оси, проходящей через центр масс — (рис. 4). Итак, .

3. Система из двух ползунов, соединенных невесомым стержнем (рис. 5):

, , , .

Пусть ; , .

Из кинематики известно, что…. .

Тогда .

Импульс силы

Импульс силы — векторнаямера действия силы в течение некоторого времени.

Элементарный импульс силы — векторная величина, равная произведению вектора силы на элементарный промежуток времени , т. е,

(3.10)

Импульс силы за конечный промежуток времени равен интегральной сумме соответствующих элементарных импульсов, т. е.

(3.11)

Выражение (3.11) в проекциях на оси декартовых координат;

, , , (3.12)

Пример 3.

На материальную точку действует сила . Определить импульс силы за время .

Решение. Проекции силы на оси координат , F_y = 6; . Проекции импульса силы на оси , ,

Модуль импульса силы. . Ответ.

Если на точку действует несколько сил, то они заменяются равнодействующей , импульс которой равен геометрической сумме импульсов всех сил. Поясним это: .

. (3.13)

Действие внешних сил, приложенных к механической системе за некоторый промежуток времени , характеризуется импульсом главного вектора внешних сил:

. (3.14)

Векторному равенству (3.14) соответствуют три скалярных

, , (3.15)

где Rx и т. д. — проекции главного вектора на оси координат. Модуль импульса внешних сил

. (3.16)

Пример 5.

Материальная точка массы движется по окружности с постоянной скоростью из точки (рис. 7, а). Определить импульс сил, действующих на точку, за время, в течение которого точка пройдет — длины окружности.

Решение. Применим теорему об изменении количества движения материальной точки в интегральной форме . Найдем проекции импульса на оси координат (рис. 7, б):

; .

Импульс сил . Ответ. .

Пример 9.

Используя условие примера 7, определить угловую скорость вращения конуса в момент, когда материальная точка будет находиться на основании конуса, если в начальный момент она находилась в вершине конуса, а его угловая скорость . Масса точки , масса конуса .

Решение. Внешними силами, действующими на механическую систему (конус + материальная точка), являются силы тяжести конуса и точки, реакции подпятника — , , и подшипника — и (рис.18). Применим теорему об изменении кинетического момента относительно оси : . Так как внешние силы либо параллельны оси , либо пересекают ее, то , т. е. . — кинетический момент конуса. . Тогда . Ответ. .

РАЗДЕЛ 3. ДИНАМИКА.

ТЕМА 3. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

И МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ (часть 1)