Теорема об изменении количества движения материальной точки

1. Теорема в дифференциальной форме.

Производная по времени от количества движения материальной точки равна геометрической сумме сил, действующих на точку.

Доказательство.

Запишем основной закон динамики в виде , ;

(3.17)

2. Теорема в интегральной (конечной) форме.

Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов сил, действующих на точку, за тот же промежуток времени.

Доказательство.

(3.18)

Векторные равенства (3.17) и (3.18) можно записать в проекциях на оси декартовых координат:

, , (3.19)

, (3.20)

Прирешении задач уравнения (3.19) следует применять в тех случаях, когда на точку кроме постоянных сил действуют переменные силы, зависящие от скорости точки.

Пример 4.

Точка массы движется горизонтально под действием силы в среде, сопротивление которой определяется силой , где . Какую скорость приобретет точка за время , если движение началось без начальной скорости?

Решение. Применим теорему об изменении материальной точки в дифференциальной форме в проекции на ось . Покажем силы и (рис. 6).

;

. Ответ.

Уравнения (3.20) позволяют косвенным путем определить импульс сил, не зная ни сил, ни времени их действия, если при этом начальная и конечная скорости точки известны.

Пример 5.

Материальная точка массы движется по окружности с постоянной скоростью из точки (рис. 7, а). Определить импульс сил, действующих на точку, за время, в течение которого точка пройдет — длины окружности.

Решение. Применим теорему об изменении количества движения материальной точки в интегральной форме . Найдем проекции импульса на оси координат (рис. 7, б):

; .

Импульс сил . Ответ. .

Теорема об изменении главного вектора количества движения механической системы

1. Теорема в дифференциальной форме

Производная по времени от главного вектора количеств движения механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на эту систему.

Доказательство. На любую точку механической системы действуют силы и . Для этой точки в соответствии с (3.17) .

Для всей системы

, (3.21)

где ; .

В проекциях на оси декартовых координат (3.21) имеет вид

; , . (3.22)

Следствия из теоремы:

1. Если , то .

2. Если проекция главного вектора на какую-либо ось равна нулю, то проекция количества движения на эту ось есть величина постоянная. Например, , то .

2. Теорема в интегральной (конечной) форме.

Изменение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов всех внешних сил, действующих на точки механической системы, за тот же промежуток времени.

Доказательство.

(3.23)

где — импульс главного вектора внешних сил.

Векторному равенству (3.23) соответствуют три равенства в скалярной форме

, , (3.24)

Следствия из теоремы.

1. Если , то .

2. Если , то

Пример 6.

Лодка массы , на корме которой стоял человек массы , двигалась соскоростью . Затем человек спрыгнул с лодки со скоростью против ее движения. С какой скоростью после этого будет двигаться лодка?

Решение. Внешними силами являются вес лодки , вес человека и выталкивающая сила , (рис. 8). Силой сопротивления движению пренебрегаем. Все силы перпендикулярны оси . Поэтому

.

. Ответ.

3.6. Момент количества движения материальной точки относительно центра и оси

1. Алгебраический момент количества движения относительно центра.

, .

Правило знаков: — при движении точки против хода часовой стрелки; — то же по ходу часовой стрелки.

Алгебраический момент количества движения материальной точки относительно некоторого центра — скалярная величина, взятая со знаком или и равная произведению модуля количества движения на расстояние (перпендикуляр) от этого центра до линии, вдоль которой направлен вектор :

(3.25)

2. Векторный момент количества движения относительно центра (рис. 9).

Рисунок 9

Векторный момент количества движения материальной точки относительно некоторого центра — вектор, приложенный в этом центре и направленный перпендикулярно плоскости векторов и в ту сторону, откуда движение точки видно против хода часовой стрелки.

Это определение удовлетворяет векторному равенству

(3.26)