И специальности 270102 «Промышленное и гражданское строительство»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

КИНЕМАТИКА

 

Основы теории и контрольные работы для студентов

по направлению подготовки 110300 «Агроинженерия»

И специальности 270102 «Промышленное и гражданское строительство»

Очной и заочной форм обучения

 

 

Кострома 2009

УДК

ББК

Т

 

Составители: д.т.н., профессор кафедры деталей машин ФГОУ ВПО

Костромская ГСХА С.Н. Разин и ассистент А.Е. Березкина

 

Рецензенты: доцент кафедры «Сопротивление материалов и графика» ФГОУ ВПО

Костромская ГСХА Яцюк И.А. и доцент кафедры «Сельскохозяйственные машины», к.т.н. Волхонов М.С.

 

Рекомендовано к изданию методической комиссией

факультета механизации сельского хозяйства

ФГОУ ВПО Костромская ГСХА, протокол № от 2006 г.

Т Теоретическая механика. Кинематика: основы теории и контрольные работы для студентов по направлению подготовки 110300 «Агроинженерия» и специальности 270102 «Промышленное и гражданское строительство» очной и заочной форм обучения / сост. С.Н. Разин и А.Е. Березкина. – Кострома: Изд-во КГСХА, 2006. – 35 с.

Пособие содержит изложение теоретического материала в виде кратких ответов на вопросы по кинематике, выносимые на экзамен, и примеры решения типовых задач. После изложения теоретического материала приведены 4 задания по основным разделам кинематики: кинематика точки, поступательное и вращательное движения твердого тела, плоскопараллельное движение твердого тела, сложное движение точки. В качестве прототипа выбраны методические указания и контрольные задания по “Теоретической механике”, под редакцией С.М. Тарга, издательство «Высшая школа», 1982.

Пособие предназначено для самостоятельной работы студентов по направлению подготовки 110300 «Агроинженерия» и специальности 270102 «Промышленное и гражданское строительство» очной и заочной форм обучения.

УДК

ББК

Костромская государственная

Сельскохозяйственная академия, 2009

Оглавление

Указания к решению задач и литература
Векторный способ задания движения точки.
Координатный способ задания движения точки.
Естественный способ задания движения точки.
Естественные оси координат.
Скорость при векторном способе задания движения.
Ускорение при векторном способе задания движения.
Скорость при координатном способе задания движения.
Ускорение при координатном способе задания движения.
Скорость при естественном способе задании движения.
Ускорение при естественном способе задания движения.
Поступательное движение твердого тела.
Вращательное движение. Угловая скорость и угловое ускорение
Скорость и ускорение точек тела при вращательном движении. Формула Эйлера.
Уравнение равнопеременного вращения.
Плоско - параллельное движение.
Теорема о сложении скоростей при плоском движении.
Определение скорости точек с помощью МЦС.
Теорема о сложении ускорений.
Сложное движение точки. Теорема о сложении скоростей.
Теорема о сложении ускорений при сложном движении.
Задача К1
Задача К2
Задача К3
Задача К4

 

 

Указания

Решение каждой из задач необходимо начинать на развороте тетради (на четной странице, начиная со второй). Сверху указывается номер задачи, выполняется чертеж в соответствующем масштабе и записывается условие задачи. Текст задачи не переписывается. Чертеж должен быть аккуратным и наглядным, с нанесением всех размеров и обозначений. Решение задачи необходимо сопровождать краткими пояснениями. На каждой странице следует оставлять поля для замечаний рецензента.

Работы, не отвечающие перечисленным требованиям, проверяться не будут, и будут возвращены для переделки

Естественные оси координат.

Естественные оси двигаются вместе с точкой и изменяют свое положение в пространстве. Этих осей три (рис.6):

касательная, главная нормаль, бинормаль.

Единичный вектор касательной - (тау) направлен по касательной к траектории в сторону положительного отсчета дуги.

Соприкасающаяся плоскость - предельное положение плоскости, проходящей через т. М₁, лежащую на кривой и касательную в

т. М, при стремлении т. М₁ к т. М. Единичный вектор главной нормали - перпендикулярен , лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости траектории. Плоскость перпендикулярная касательной называется нормальной. Единичный вектор бинормали - перпендикулярен соприкасающейся плоскости и направлен в ту сторону, откуда вращение от к , по кратчайшему пути, видно происходящим против часовой стрелки. Плоскость (, ) называется спрямляющей.

5. Скорость при векторном способе задания движения.

Пусть за время Δt точка переместилась из М в М (рис.7), вектор Δ - вектор перемещения. Средней скоростью точки за время Δt называется вектор _ср = Δ /Δt. Скоростью точки в данный момент времени называется предел, к которому стремится отношение вектора перемещения к промежутку времени, за которое оно произошло, при стремлении последнего к нулю:

= lim Δ /Δ t

Δt

Из рис. 7 видно, что: (t) + Δ = (t+Δt) тогда: Δ = (t+Δt) - (t), и

= lim Δ /Δ t = lim( (t+Δt) - (t)) / Δ t = d / dt.

Δt Δt

то есть, скорость точки в данный момент времени равна первой производной от радиуса вектора по времени. Из рисунка видно, что вектор скорости в данный момент времени занимает положение касательной. Скорость измеряется в м/с.

6. Ускорение при векторном способе задания движения.

Средним ускорением называется отношение вектора изменения скорости к промежутку времени, за которое оно произошло: _ср=Δ /Δt.

Ускорением точки в данный момент называется предел этого отношения при стремлении промежутка времени к нулю.

= lim Δ /Δt = lim( (t+ Δt) - (t))/ Δt.

Δt Δt

Ускорение равно первой производной от скорости или второй производной от радиуса вектора по времени:

= d /dt = d /dt .

Ускорение _ср, а значит и ускорение в данный момент времени - направлено в сторону вогнутости траектории (рис.8). Ускорение измеряется в м/с².

7. Скорость при координатном способе задания движения.

Известно, что: =d /dt,но =x· +y· +z· , тогда (т.к. , , - const):

= dx/dt· +dy/dt· +dz/dt· , (1)

С другой стороны: = v · +v · +v · . (2)

сравнивая (1) и (2) получим: v_х = dx/dt; v_у = dy/dt; v = dz/dt, т.е. проекция скорости на ось равна первой производной от соответствующей координаты по времени. Зная проекции можно найти модуль скорости:

= , а так же направляющие косинусы:

соs(; ) = v_x / | |; соs(; ) = v_y / | |; соs(; ) = v_z / | |.

8. Ускорение при координатном способе задания движения.

Известно, что: = d /dt, но = v_x· + v_y· + v_z· , тогда:

= dv _x /d t · +dv_y /d t · +dv_z /dz · , (1)

с другой стороны: = а_х · + а_у · + а_z· . (2)

сравнивая (1) и (2) получим:

а _x =dv _x /dt =d x / dt ; а_y=dv_y/ dt =d y / dt ; а =dv_z /dt =d z / dt . то есть: проекция ускорения на ось равна первой производной от проекции скорости на ту же ось, или второй производной от соответствующей координаты по времени.

Модуль ускорения: | | = , направляющие косинусы:

соs (; ) = а_x / | |; соs(; ) = а_y / | |; соs (; ) = а_z / | |.

Формула Эйлера.

 

Пусть за время Δt тело повернулось на угол Δφ, тогда т. М опишет дугу окружности длиной Δs (рис.11а). Найдем скорость т.М:

v_M = lim Δs / Δt = lim (R ∙ Δφ)/ Δt = R∙ω.

Δt Δt

 

Ускорение касательное:

a _τ = d v_M /dt = d(R ∙ ω)/dt = R ∙ dω/dt = R ∙ ε.
Ускорение нормальное:

a_n = v_M /ρ = ω²R²/R = ω²R.

тогда полное ускорение:

а_М = = R .

Угол наклона полного ускорения к радиусу не зависит от R: tgα = a_τ / a_n = ε / ω².

Скорость т.М можно найти и с помощью векторного произведения: , это и есть формула Эйлера. Здесь - радиус вектор точки М (рис 11б). Взяв производную от этой формулы, получим:

=d /dt=d /dt× + ×d /dt = × + ×( × ).

Можно проверить, что первое слагаемое есть - a _τ, а второе - a_n.

Задача К1

По заданным уравнениям движения точки в плоскости xy: (табл. К1) требуется найти уравнение траектории и для момента времени t₁ = π/6 c определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорение и радиус кривизны в соответствующей точке траектории. Построить на рисунке все найденные скорости и ускорения в соответствующих масштабах.

Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки. В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t₁ = π/6 c. В некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует применить известные из тригонометрии формулы:

При выборе масштабов построения траектории, скоростей и ускорений следует учитывать, что они должны быть стандартными, то есть из ряда: 1, 2, 25, 4, 5. При этом изображаемые вектора должны быть достаточно крупными (50 - 100 мм).

Таблица К1

Последняя цифра шифра	Предпоследняя цифра шифра
	3sin(2t) + 1		2 - 2cos(2t)
	2sin^2(2t) -2		3cos^2(2t)-1
	4sin(2t) - 1		2cos(4t) +2
	3 -4 cos(2t)		3sin(2t) - 1
	4cos^2(2t)-2		2sin^2(2t) + 1
	cos(4t) +1		2sin(2t) - 3
	2sin^2(2t) -1		3 - 2cos(2t)
	2cos(4t) + 1		2cos(4t) +1
	3cos^2(2t)-2		2sin^2(2t)+1
	2+3cos(4t)		2 – 2cos(4t)

 

Пример К1. Даны уравнения движения точки в плоскости xy:

, (x, y – в сантиметрах, t - в секундах).

Определить уравнение траектории точки; для момента времени t₁=1c найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорение и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение. 1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу.

или

Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (1). Получим:

следовательно:

Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (рис. К1):

2. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:

и при t = 1c:

3. Аналогично найдем ускорение точки:

.

и при t = 1c: a_x = 0,87 см/с², a_y = - 0,12 см/с², a = 0,88 см/с².

4. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство: . Получим:

Подставив полученные ранее значения, найдем, что при t = 1c: a_τ = 0,66 см/с².

5. Нормальное ускорение точки: Подставляя сюда найденные числовые значения a₁ и a_1τ, получим, что при t = 1 c: a_n = 0,58 см/с².

6. Радиус кривизны траектории: Подставляя сюда числовые значения υ ₁ и a _{1 n}, найдем, что при t = 1 c: ρ = 3,05 см.

При построении скоростей следует в данном случае выбрать масштаб:

μ _v = 0,02 , тогда:

l _vx = │v_x │ / μ _v = 1,11/0,02 ≈ 56 мм, l _vy = │v_y │ / μ _v = 0,73/0,02 ≈ 37 мм; или

μ _v = 0,01 , тогда:

l _vx = │v_x │ / μ _v = 1,11/0,01 = 111 мм, l _vy = │v_y │ / μ _v = 0,73/0,01 = 73 мм.

При построении ускорений следует выбрать масштаб:

μ _a = 0,01 , тогда:

l _ax = │ a _x │ / μ _a = 0,87/0,01 = 87 мм, l _ay = │ a _y │ / μ _a = 0,12/0,01 = 12 мм;

l _aτ = │ a_τ │ / μ _a = 0,66/0,01 = 66 мм, l _an = │ a_n │ / μ _a = 0,58/0,01 = 58 мм.

Найденные длины отрезков откладываем из точки с координатами:

при t = 1c:

Замечание: при построении следует учесть, что l _ay необходимо отложить вниз, так как: a_y < 0, а a_τ – по направлению скорости, так как a_τ > 0.

Задача К2

Механизм состоит из ступенчатых колес 2-3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 1, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. К2.0-К2.9, табл. К2). Радиусы ступеней равны соответственно: у колеса 2 – r₂=6 см, R₂=8 см, у колеса 3 – r₃=12 см, R₃ = 16 см. На ободьях колес расположены точки А и В.

В столбце «Дано» таблицы указан закон движения или закон изменения скорости ведущего звена механизма, где: - закон вращения колеса 2, s₄(t) – закон движения рейки 4, ω₂(t) – закон изменения угловой скорости колеса 2, υ₁(t) – закон изменения скорости груза 1 и т.д. (везде φ - выражено в радианах, s - в сантиметрах, t – в секундах). Положительное направление для φ и ω против хода часовой стрелки, для s₁, s₄ и υ₁, υ₄ – вниз.

Определить в момент времени t ₁ = 2 c указанные в таблице в столбцах «Найти» скорости (υ – линейные, ω – угловые) и ускорения (а – линейные, ε – угловые) соответствующих точек или тел (υ₁ – скорость груза 1 и т.д.).

Указания. Задача К2 – на исследование вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что когда два колеса находятся в зацеплении, скорость точки зацепления каждого колеса одна и та же, а когда два колеса связаны ременной передачей, то скорости всех точек ремня и, следовательно, точек, лежащих на ободе каждого из этих колес, в данный момент времени численно одинаковы; при этом считается, что ремень по ободу колеса не скользит.

Таблица К2

Номер условия	Дано	Найти
скорости	ускорения
		υ B, υ1
		υ A, υ4
		υ4, ω3
		υ1, ω3
		υ4, ω2
		υ1, υB
		υ4, ω3
		υA, ω3
		υB, ω2
		υ1, υB

 

 

 

 

 

Пример К2. Рейка 1, ступенчатое колеса 2 с радиусами R₂ и r₂ и колесо 3 радиуса R₃, скрепленное с валом радиуса r₃, находятся в зацеплении; на вал намотана нить с грузом 4 на конце (рис. К2). Рейка движется по закону s₁=f(t).

Дано: R₂=6 см, r₂=4 см, R₃=8 см, r₃=3 см, s₁=3t³ (s- в сантиметрах, t – в секундах), А – точка обода колеса 3, t₁ = 3 c. Определить: ω₃, υ₄, ε₃, α_A в момент времени t = t₁.

Решение. Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ободах колес (радиуса R_i), через υ_i, а точек, лежащих на внутренних ободах (радиуса r_i), - через u_i.

1. Определим сначала угловые скорости всех колес как функции времени t. Зная закон движения рейки 1, находим ее скорость (1)

Так как рейка и колесо 2 находятся в зацеплении, то υ₂= υ₁ или ω₂R₂= υ₁. Но колеса 2 и 3 тоже находятся в зацеплении, следовательно, u₂= υ₃ или ω₂r₂= ω₃R₃. Из этих равенств находим:

Тогда для момента времени t₁ = 3 c получим: ω₃ =6,75c^-1.

2. Определим υ₄. Так как υ₄ = υ_B = ω₃r₃, то при t₁=3 c: υ₄ =20,25 см/с.

3. Определяем ε₃. Учитывая, что ε₃= = 1,5 t. Тогда при t ₁=3 с получим:

ε₃=4,5 с^-2.

4. Определяем a_A. Для точки А: , где численно Тогда, для момента времени t₁=3 с, имеем:

Все скорости и ускорения точек, а также направления угловых скоростей показаны на рис. К2.

Задача К3

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В или Е (рис. К3.0 – К3.7) или из стержней 1, 2, 3 и ползунов В и Е (рис. К3.8, К3.9), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁, О₂ шарнирами; точка D находится в середине стержня АВ. Длина стержней: l ₁ = 0,4 м, l ₂ = 1,2 м, l ₃ = 1,4 м, l ₄ = 0,6 м. Положение механизма определяется углами α, β, γ, φ, θ. Значения этих углов и других заданных величин указаны в табл. К3а (для рис. 0-4) или в табл. К3б (для рис. 5-9); при этом в табл. К3а ω₁ и ω₄ – величины постоянные.

Определить величины, указанные в таблицах в столбцах «Найти».

Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол γ на рис. 8 следует отложить от DB по ходу часовой стрелки, а на рис. 9 – против хода часовой стрелки и т.д.). Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом α; ползун с направляющими для большей наглядности изобразить так, как в примере К3 (см. рис. К3, б). Заданные угловую скорость и угловое ускорение считать направленными против хода часовой стрелки, а заданные скорость и ускорение - от точки В к b (на рис. 5-9).

Указания. Задача К3 – на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности. При определении ускорений точек механизма исходить из векторного равенства , где А – точка, ускорение которой или задано, или непосредственно определяется по условиям задачи (если точка А движется по дуге окружности, то ; В – точка, ускорение которой нужно определить (если точка В движется по дуге окружности радиуса l, то , где численно ; входящая сюда скорость υ_B определяется так же, как и скорости других точек механизма).

Таблица К3а (к рис. К3.0 – К3.4)

Номер условия	Углы, град	Дано	Найти
α	β	γ	φ	θ	ω1, 1/с	ω4, 1/с	υ точек	ω звена	a точки	ε звена
							-	B, E	DE	B	AB
						-		A, E	AB	A	AB
							-	B, E	AB	B	AB
						-		A, E	DE	A	AB
							-	D, E	AB	B	AB
						-		A, E	AB	A	AB
							-	B, E	DE	B	AB
						-		A, E	DE	A	AB
							-	D, E	AB	B	AB
						-		A, E	DE	A	AB

 

Таблица К3б (к рис. К3.5 – К3.9)

Номер условия

Углы, град

Дано

Найти

α

β

γ

φ

θ

ω1, 1/с

ε1, 1/с^2

υВ, м/с

a В, м/с^2

v точек

ω звена

a точки

ε звена

-

-

B, E

AB

B

AB

-

-

A,E

DE

A

AB

-

-

B, E

AB

B

AB

-

-

A,E

AB

A

AB

-

-

B, E

DE

B

AB

-

-

D,E

DE

A

AB

-

-

B, E

DE

B

AB

-

-

A,E

AB

A

AB

-

-

B, E

DE

B

AB

-

-

D,E

AB

A

AB

Пример К3. Механизм (рис. К3, а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁ и О₂ шарнирами.

Дано: a=60º, b=150º, g=90º, j=30º, q=30º, AD = DB, l ₁ = 0,4 м, l ₂ = 1,2 м, l ₃ = 1,4 м, w₁ = 2 с^-1, e₁ = 7 с^-2 (направление w₁ и e₁ – против хода часовой стрелки). Определить: u_B, u_E, w₂, a_B, e₃.

Решение.

1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. К3, б).

2. Определяем u_В. Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти u_В, надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление . По данным задачи, учитывая направление w₁, можем определить ; численно

 

(1)

Направление найдем, учтя, что точка В принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня АВ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

(2)

3. Определяем . Точка Е принадлежит стержню DE. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню АВ. Для этого, зная и , строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня AB; это точка С₃, лежащая на пересечении перпендикуляров к и , восстановленных из точек А и В (к перпендикулярен стержень 1). По направлению вектора определяем направление поворота стержня АВ вокруг МЦС С₃. Вектор перпендикулярен отрезку С₃D, соединяющему точки D и C₃, и направлен в сторону поворота. Величину u_D найдем из пропорции

(3)

Чтобы вычислить С₃D и C₃B, заметим, что прямоугольный, так как острые углы в нем равны 30 и 60º, и что C₃B=АВsin30º=0,5AB=BD. Тогда является равносторонним и C₃B= С₃D. В результате равенство (3) дает

(4)

Так как точка Е принадлежит одновременно стержню О₂Е, вращающемуся вокруг О₂, то . Тогда, восставляя из точек Е и D перпендикуляры к скоростям и