Скорость при естественном способе задании движения.

Известно: = lim Δ /Δt ∙ Δs/ Δ s = lim Δ /Δs ∙ limΔs/ Δt.

Δt Δs Δt

 

Так как первый предел по модулю равен единице, а направлен по касательной, то он равен (тау), обозначим: ds/dt = v _τ, тогда: = v _τ ∙ .

10. Ускорение при естественном способе задания движения.

Известно, что: = d / dt = d v _τ / dt ∙ + v _τ ∙ d /dt. (1)
Можно показать, что: d /dt = v _τ /ρ ∙ . Тогда формула (1) примет вид:

= d v _τ / dt ∙ + v _τ / ρ ∙ (1')

с другой стороны: = a _τ ∙ + a_n ∙ + а_b ∙ . (2)
сравнивая (1') и (2) получим:

a _τ = d v _τ / dt; a_n = v _τ / ρ; а_b = 0.

здесь: ρ - радиус кривизны траектории - величина обратная кривизне (k):

ρ = 1/ k. По определению: k = lim ε / Δs, где: ε - угол смежности (угол

Δs

между касательными в двух точках кривой, лежащих на расстоянии Δs). Радиус кривизны - это радиус максимальной окружности, которую можно вписать в кривую в данной точке. Радиус кривизны окружности равен радиусу окружности, у прямой он равен ∞.

Поступательное движение твердого тела.

Поступательным движением называется такое движение тела, при котором любая прямая, жестко соединенная с телом остается параллельной своему начальному положению.

Теорема. При поступательном движении все точки тела описывают совпадающие при наложении траектории и имеют в данный момент времени одинаковые скорость и ускорение.

Пусть тело (рис.9), двигаясь поступательно, переместилось из положения АВ в положение А'В'. Фигура АВА'В' - параллелограмм, т.к. стороны АВ и А'В' равны и параллельны. Следовательно перемещения точек А и В будут так же равны и параллельны, т.е.: Δ = Δ . Из рисунка видно, что траектория т. В получается из траектории т. А смещением на , т.е. траектории совпадают при наложении. Взяв два раза производную, от равенства = , получим: = ; = . Что и требовалось доказать. То есть при изучении поступательного движения достаточно изучить движение хотя бы одной его точки, а для этого можно использовать теорию, полученную в кинематике точки.

Вращательное движение. Угловая скорость и угловое ускорение.

Вращательным движением называется такое движение твердого тела, при котором имеются две точки, остающиеся все время неподвижными.

Линия, проходящая через эти две точки, называется осью вращения. Все точки лежащие на оси вращения неподвижны. Положение вращающегося тела можно задать с помощью двугранного угла φ (рис.10) между неподвижной полуплоскостью (н.п.) и подвижной полуплоскостью (п.п.), жестко связанной с телом. Угол φ положителен, если для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси вращения, поворот виден происходящим против часовой стрелки. Для задания вращения надо задать функцию, описывающую изменение угла φ во времени: φ=φ(t). Это и есть закон вращательного движения. Основными кинематическими характеристиками вращательного движения являются угловая скорость – ω (рад/сек; 1/с) и угловое ускорение ε (рад/сек ; 1/с²). Эти величины вводятся по аналогии с понятиями скорости и ускорения точки.

Угловая скорость ω (омега) - есть предел, к которому стремится отношение приращения угла поворота Δφ к промежутку времени Δt, за которое оно произошло, при стремлении последнего к нулю. Угловое ускорение ε (ипсилон) - предел отношения приращения угловой скорости к промежутку времени, при стремлении последнего к нулю. Очевидно, эти пределы равны первым производным от угла и угловой скорости по времени, то есть:

ω = dφ/dt; ε = dω /dt = d²φ/dt².

В технике часто угловая скорость задается в оборотах в минуту. В этом случае она называется частотой вращения и обозначается буквой n. Связь между ω и n имеет вид: ω =π×n /30.

Угловые скорость и ускорение можно представить как векторы. Вектор направлен по оси вращения, в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против часовой стрелки. Вектор направлен в сторону вектора , если вращение ускоренное и в противоположную сторону, если замедленное (рис.10).

 

Скорость и ускорение точек тела при вращательном движении.

Формула Эйлера.

 

Пусть за время Δt тело повернулось на угол Δφ, тогда т. М опишет дугу окружности длиной Δs (рис.11а). Найдем скорость т.М:

v_M = lim Δs / Δt = lim (R ∙ Δφ)/ Δt = R∙ω.

Δt Δt

 

Ускорение касательное:

a _τ = d v_M /dt = d(R ∙ ω)/dt = R ∙ dω/dt = R ∙ ε.
Ускорение нормальное:

a_n = v_M /ρ = ω²R²/R = ω²R.

тогда полное ускорение:

а_М = = R .

Угол наклона полного ускорения к радиусу не зависит от R: tgα = a_τ / a_n = ε / ω².

Скорость т.М можно найти и с помощью векторного произведения: , это и есть формула Эйлера. Здесь - радиус вектор точки М (рис 11б). Взяв производную от этой формулы, получим:

=d /dt=d /dt× + ×d /dt = × + ×( × ).

Можно проверить, что первое слагаемое есть - a _τ, а второе - a_n.