Глава 12. Парадоксы и сложные иерархии

 

Однажды, когда я говорил о сложных иерархиях, одна слушательница сказала, что эта фраза привлекла ее интерес еще до того, как она узнала ее значение. Она сказала, что иерархии напоминают ей о патриархате и власти, но термин сложные иерархии имеет освобождающий оттенок[1]. Если у вас такая же интуиция, как у нее, вы должны быть готовы исследовать магический, озадачивающий мир парадоксов языка и парадоксов логики. Может ли логика быть парадоксальной? Разве сила логики не состоит в способности разрешать парадоксы?

Приближаясь к входу в пещеру парадоксов, вы встречаетесь с существом мифических пропорций. Вы сразу же узнаете в нем Сфинкса. У этого похожего на Сфинкса существа есть для вас вопрос, на который вы должны дать правильный ответ, чтобы получить право войти: какое создание утром ходит на четырех ногах, в полдень на двух, а вечером на трех? Вы на мгновение приходите в замешательство. Что это за вопрос? Возможно, ваше путешествие прервется в самом начале. Вы всего лишь новичок в этой игре головоломок и парадоксов. Готовы ли вы к тому, что кажется вам сложной загадкой?

К вашему огромному облегчению, на помощь вашему доктору Ватсону приходит Шерлок Холмс. «Меня зовут Эдип, — представляется он. — Вопрос Сфинкса представляет собой загадку потому, что он смешивает логические типы, верно?»

Это так, понимаете вы. Было полезно узнать о логических типах, прежде чем пускаться в это исследование. Но что теперь? К счастью, Эдип продолжает: «Некоторые из слов фразы имеют лексическое значение, но другие имеют контекстуальные значения более высокого логического типа. Вас приводит в смятение именно наложение этих двух типов, характерное для метафор». Он ободряюще улыбается.

Верно, верно. Слова «утро», «полдень» и «вечер» должны контекстуально относиться к нашей жизни — к нашему детству, юности и старости. Действительно, в детстве мы ходим на четвереньках, в юности — уже на двух ногах, а три ноги — это метафора для двух ног и палочки в старости. Подходит! Вы подходите к Сфинксу и отвечаете на его вопрос: «Человек». Дверь открывается.

Когда вы проходите через дверь, вам в голову приходит такая мысль: откуда Эдип — мифический персонаж из Древней Греции — знал столь современный термин, как логические типы? Но раздумывать нет времени: вашего внимания требует новая задача. Один человек, указывая на стоящего рядом с ним другого, спрашивает: «Этот человек Эпименид — критянин, который заявляет, что все критяне — лжецы. Говорит ли он правду или лжет?» Ладно, посмотрим, рассуждаете вы. Если он говорит правду, тогда все критяне — лжецы, и, значит, он лжет — это противоречие. Вернемся к началу. Если он лжет, тогда все критяне — не лжецы, и он, возможно, говорит правду — и это тоже противоречие. Если вы даете ответ «да», он отдается эхом «нет», и если вы даете ответ «нет», он отдается эхом «да», и так до бесконечности. Как можно решить подобную загадку?

«Ладно, если вы не можете решить загадку, то, по крайней мере, можете научиться ее анализировать». Как по волшебству, рядом с вами оказывается еще один помощник. «Я — Грегори Бэйтсон» — представляется он. «Вы имеете дело со знаменитым парадоксом лжеца: Эпименид — это критянин, который говорит: "все критяне лжецы". Первое условие создает контекст для второго условия. Оно его квалифицирует. Если бы второе условие было обычным, оно бы никак не влияло на свое первое условие, но нет! Оно переквалифицирует первое условие, свой собственный контекст».

Ваше лицо проясняется: «Теперь я понимаю — это смешение логических типов».

«Да, но это — не обычное смешение. Смотрите, первое переопределяет второе. Если да, то нет, то да, то нет, до бесконечности. Норберт Винер говорил, что если ввести этот парадокс в компьютер, то это бы его добило. Компьютер печатал бы последовательность да...нет...да...нет,., пока бы не кончились чернила. Это хитроумная бесконечная петля, из которой невозможно выбраться с помощью логики».

«Разве нет никакого способа разрешить парадокс?» — спрашиваете вы огорченно.

«Конечно есть, так как вы — не кремниевый компьютер, — говорит Бэйтсон. — Я дам вам намек. Предположим, к вашей двери приходит торговец с таким предложением: "У меня есть для вас красивый веер за пятьдесят баксов — это почти даром. Вы заплатите наличными или чеком?" Что бы вы стали делать?»

«Я бы захлопнул перед ним дверь!» Вы знаете ответ на этот вопрос. (Вы вспоминаете приятеля, чьей любимой игрой был вопрос «Что бы ты выбрал?» — я отрублю тебе руку, или я откушу тебе ухо. Ваши отношения очень быстро закончились.)

«Совершенно верно, — улыбается Бэйтсон. — Выход из бесконечной петли парадокса состоит в том, чтобы захлопнуть дверь, выскочить из системы. Вон у того джентльмена есть хороший пример». Бейтсон указывает на человека, сидящего за столом с табличкой, на которой написано: «В эту игру могут играть только двое».

Джентльмен представляется как Дж. Спенсер Браун. Он утверждает, что действительно может показать, как выйти из игры. Однако для того чтобы это понять, вы должны взглянуть на парадокс лжеца в форме математического уравнения:

х = — 1 /х.

Если вы подставляете в правую сторону решение +1, то уравнение дает — 1; вы подставляете -1, и уравнение дает + 1. Решение колеблется между +1 и —1, в точности подобно колебанию да/нет парадокса лжеца.

Да, вы можете это понять. «Но каков выход из этого безумного бесконечного колебания?»

Браун говорит вам, что в математике существует хорошо известное решение этой проблемы. Определим величину, именуемую i, как √—1. Отметим, что i 2 = — 1. Деление обеих сторон выражения i2 = — 1 на i дает

i= —1/i.

Это альтернативное определение i. Теперь попробуем подставить решение x = i в левую сторону уравнения

x = —1/x.

Теперь правая сторона дает —1/i, что по определению равно i — никакого противоречия нет. Таким образом i, которое называют мнимым числом, превосходит парадокс.

«Это поразительно». У вас захватывает дыхание. «Вы — гений».

«Чтобы играть в игру, нужны двое», — подмигивает Браун.

Ваше внимание привлекает нечто отдаленное: шатер с большой надписью «Гёдель, Эшер, Бах». Когда вы приближаетесь к шатру, вам на глаза попадается мужчина с веселым лицом, который призывно машет вам. «Меня зовут д-р Геб, — говорит он. — Я распространяю идею Дугласа Хофштадтера. Я полагаю, что вы прочитали его книгу "Гёдель, Эшер, Бах"».

«Да, — бормочете вы в некотором смущении, — но я не все в ней понял».

«Послушайте, на самом деле все очень просто, — снисходительно говорит посланец Хофштадтера. — Все, что вам нужно понимать, — это сложные иерархии».

«Сложное что?»

«Не что, а иерархии, друг мой. В простой иерархии нижележащий уровень обеспечивает вышележащий, а вышележащий никак не реагирует. В простой обратной связи вышележащий уровень реагирует, но вы все равно можете сказать, что есть что. В сложных иерархиях эти два уровня настолько перемешаны, что вы не можете определять разные логические уровни».

«Но это всего лишь ярлык». Вы равнодушно пожимаете плечами, все еще не решаясь принимать идею Хофштадтера.

«Вы не хотите думать. Вы упустили очень важный аспект сложнойерархических систем. Ведь я следил за вашим продвижением».

«Я полагаю, что вы со своей мудростью объясните мне, что я упускаю», — говорите вы сухо.

«Эти системы — важнейшим примером которых является парадокс лжеца — носят автономный характер. Они говорят о самих себе. Сравните их с обычной фразой, например "у вас красное лицо". Обычная фраза отсылает к чему-то вне самой себя. Но сложная фраза парадокса лжеца относится к самой себе. Вот как вы попадаете в плен ее бесконечного обмана».

Вы неохотно признаете это, но это стоящая догадка.

«Иными словами, — продолжает посланец Хофштадтера, — мы имеем дело с самореферентными системами. Сложная иерархия — это способ достижения самоотнесения».

Вы сдаетесь: «Д-р Геб, это чрезвычайно интересно. У меня действительно имеется определенный интерес к тому, что касается самости, так что, пожалуйста, расскажите мне больше». Человека, распространяющего идеи Хофштадтера, нет нужды упрашивать.

«Самость возникает вследствие завесы — явного препятствия нашей попытке разгадывать систему логически. Именно отсутствие непрерывности — в парадоксе лжеца, это бесконечное колебание — не дает нам видеть через завесу».

«Я не уверен, что понимаю это».

Вместо того чтобы объяснять еще раз, сторонник Хофштадтера уговаривает вас посмотреть картину голландского художника М. К. Эшера. «В музее Эшера, вон в том шатре», — говорит он, ведя вас к нему. «Картина называется "Галерея гравюр". Она весьма странная, но точно соответствует сути нашего обсуждения».

 

Рис. 32. Картина Эшера «Галерея гравюр» — сложная иерархия. Белое пятно посередине показывает разрывность

 

Внутри шатра вы изучаете картину (рис. 32). На ней молодой человек в художественной галерее смотрит на картину, изображающую корабль, который стоит на якоре в гавани города. Но что это? В городе имеется художественная галерея, в которой молодой человек смотрит на корабль, стоящий на якоре...

Бог мой, это сложная иерархия, восклицаете вы. Пройдя через все эти строения города, картина возвращается к исходной точке, где она начинается, чтобы снова начать свое циклическое движение, таким образом продлевая внимание зрителя к себе.

Вы с восторгом поворачиваетесь к своему гиду.

«Вы понимаете суть». Ваш гид широко улыбается.

«Да, спасибо».

«Заметили ли вы белое пятно посреди картины?» — внезапно спрашивает д-р Геб. Вы признаетесь, что видели его, но не придали ему большого значения.

«Белое пятно, в котором имеется подпись Эшера, показывает, как ясно он понимал сложные иерархии. Понимаете, Эшер не мог, так сказать, свертывать картину обратно в нее саму, не нарушая общепринятые правила рисунка, так что в ней должна быть разрывность. Белое пятно напоминает наблюдателю о разрывности, присущей всем сложным иерархиям».

«От разрывности происходят завеса и самоотнесение», — кричите вы.

«Верно. — Д-р Геб доволен. — Но есть еще одна вещь, один другой аспект, который лучше всего виден при рассмотрении одноступенной самореферентной фразы "Я — лжец". Эта фраза говорит, что она лжет. Это та же самая система, как парадокс лжеца, с которым вы сталкивались ранее, — только из нее устранена несущественная форма условия в условии. Понимаете?»

«Да».

«Но в этой форме начинает становиться ясным кое-что еще. Самоотнесение фразы — тот факт, что фраза говорит о себе, — не обязательно бывает самоочевидным. Например, если вы показываете эту фразу ребенку или иностранцу, не слишком хорошо владеющему английским языком, вас могли бы спросить: "Почему вы — лжец?" Поначалу он или она могут не видеть, что фраза отсылает к самой себе. Таким образом, самоотнесение фразы возникает из нашего неявного, а не точно определенного знания английского языка. Как будто фраза — это верхушка айсберга. Мы называем это ненарушенным уровнем. Разумеется, он является ненарушенным с системной точки зрения. Взгляните на еще одну картину Эшера — она называется "Рисующие руки"» (рис. 33).

 

Ряс. 33. Картина Эшера «Рисующие руки»

 

На этой картине левая рука рисует правую руку, которая рисует левую руку; они рисуют друг друга. Это самосоздание, или аутопоэз. Кроме того, это сложная иерархия. А как система создает саму себя? Эта иллюзия создается, только если вы остаетесь в системе. Находясь вне системы, там, откуда вы на нее смотрите, вы можете видеть, что художник Эшер нарисовал обе руки с ненарушенного уровня.

Вы взволнованно рассказываете д-ру Гебу о том, что вы видите в картине Эшера. Он одобрительно кивает и убежденно говорит: «Д-р Хофштадтер интересуется сложными иерархиями, так как полагает, что программы нашего мозгового компьютера — те, что мы называем умом, — образуют сложную иерархию, и из этой сложности происходит наша достославная самость».

«Но ведь это только смелая гипотеза, не так ли?» Вы всегда с подозрением относились к смелым гипотезам. Приходится быть осмотрительным, когда ученые начинают высказывать безумные идеи.

«Ну, вы знаете, он много думал об этой проблеме, — мечтательно говорит сторонник Хофштадтера. — И я уверен, что когда-нибудь он это докажет, построив кремниевый компьютер с сознательной самостью».

Вас впечатляет мечта Хофштадтера — нашему обществу нужны мечтатели, — но вы чувствуете потребность защитить логику. «Я должен признаться, что немного остерегаюсь сложных иерархий, — говорите вы. — Когда я изучал логические типы, мне говорили, что их придумали для сохранения чистоты логики. Но вы, то есть д-р Хофштадтер, причудливо смешиваете их не только в языке, но и в реальных естественных системах. Откуда мы знаем, что природа дает нам такое право? В конце концов, парадоксы языка имеют оттенок произвольности и искусственности». Вы очень довольны, что можете спорить если не с Хофштадтером, то, по крайней мере, с его сторонником, используя то, что вам кажется неопровержимой логикой.

Но сторонник Хофштадтера готов к спору.

«Кто говорит, что мы можем сохранять чистоту логики? — возражает он. — Или вы ничего не слышали о теореме Гёделя. Я думал, вы читали книгу д-ра Хофштадтера».

«Я говорил вам, что не понимал ее. И именно теорема Гёделя стала для меня окончательным камнем преткновения».

«На самом деле это очень просто. Теорию логических типов придумали два математика — Бертран Рассел и Альфред Уайтхед, — чтобы, как вы говорите, сохранять чистоту логики. Однако еще один математик — Курт Гёдель — доказал, что любая попытка создания математической системы, свободной от парадоксов, обречена на неудачу, если эта система достаточно сложна. Он доказал это, продемонстрировав, что любая достаточно богатая система обречена быть неполной. В ней всегда можно найти утверждение, которое система не способна доказать[1]. По существу, система может быть либо полной, но противоречивой, либо непротиворечивой, но неполной, но никогда не может быть и непротиворечивой, и полной. Гёдель доказал эту теорему, используя так называемую смешанную логику сложных иерархий. Тем самым он отправил на свалку несколько концепций, включая возможность полной и непротиворечивой математической системы, наподобие теории логических типов Рассела и Уайтхеда. Вам все понятно?»

Вы не осмеливаетесь задавать какие-либо дальнейшие вопросы. Математика кажется вам похожей на осиное гнездо. Чем больше вы около него задерживаетесь, тем больше рискуете быть ужаленным. Вы поспешно благодарите своего собеседника и направляетесь к ближайшему выходу.

Но, разумеется, по пути к нему вас останавливаю я. Видя меня, вы удивлены. «А вы что тут делаете?» — спрашиваете вы.

«Это же моя книга. Я могу вмешиваться, когда захочу, — поддразниваю я вас. — Скажите, поверили ли вы обещанию Хофштадтера построить самоосознающий кремниевый компьютер?»

«Не совсем, но это показалось мне интересной идеей», — отвечаете вы.

«Я знаю. Идея сложной иерархии восхищает. Но объяснил ли кто-нибудь, каким образом Хофштадтер собирается порождать разрывность в программах классического кремниевого компьютера, которые по самой своей природе непрерывны? Дело не столько в том, что программы связаны друг с другом обратными связями и становятся настолько переплетенными, что вы практически не можете прослеживать их причинную цепь. Дело вовсе не в этом. Действительно должна существовать разрывность, настоящий скачок за пределы системы — ненарушенный уровень. Иными словами, вопрос в том, каким образом наш мозг, рассматриваемый как классическая система, может иметь ненарушенный уровень? В философии материального реализма, на которой основываются классические системы, существует только один уровень реальности — материальный уровень. Поэтому где же в ней место для ненарушенного уровня?»

«Не спрашивайте, — просите вы. — А что предлагаете вы?»

«Позвольте рассказать вам историю. Однажды кто-то увидел, как суфийский учитель мулла Насреддин, стоя на коленях, добавляет йогурт к воде в пруду. "Что ты делаешь, Насреддин?" — спросил этот прохожий.

"Я пытаюсь делать йогурт", — отвечал мулла.

"Но так же невозможно делать йогурт!"

"А вдруг получится", — с оптимизмом сказал мулла».

Вы смеетесь. «Забавная история. Но истории ничего не доказывают», — возражаете вы.

«Слышали ли вы о кошке Шрёдингера?» — спрашиваю я в ответ.

«Да», — говорите вы, немного светлея.

«Согласно квантовой механике, по прошествии часа кошка наполовину жива и наполовину мертва. Теперь предположим, что мы установили машину, чтобы наблюдать за тем, жива кошка или мертва».

Вы не можете сдержаться: «Мне все это известно; машина принимает дихотомию кошки. Она не способна давать определенные показания, пока ее не выручает сознательный наблюдатель».

«Ладно. Но предположим, что мы создаем целую иерархию неодушевленных машин, последовательно наблюдающих показания каждой предыдущей машины. Разве не логично считать, что все они будут приобретать квантовую дихотомию состояния кошки?»

Вы согласно киваете. Это кажется вполне логичным.

«Поэтому имея волновую функцию кошки в виде квантовой суперпозиции, мы, в действительности, открываем возможность того, что все материальные объекты во вселенной могут заразиться квантовой суперпозицией. Квантовая суперпозиция стала универсальной. Но это достигается определенной ценой. Вы понимаете?»

«Нет, не понимаю».

«Система не замкнута».

«Аа».

«Эта открытость или неполнота становится логической необходимостью, если вы, вслед за Шрёдингером, даете квантовое описание макроскопическим системам. Вот это — подлинная дилемма Гёделя».

«На что вы намекаете?» — спрашиваете вы озадаченно.

«Чтобы разрешить дилемму, мы должны быть способны действительно выходить за пределы системы, а это означает существование квантового механизма в нашем мозгу и коллапсирующего его нелокального сознания. Поэтому для того чтобы иметь подлинную сложную иерархию — разрывность, ненарушенный уровень и все прочее, — в наших головах должна быть квантовая система».

«В самом деле?»

Но я заканчиваю нашу беседу (скачком, используя ненарушенный уровень). Все, что имеет начало, должно в свое время где-то заканчиваться — даже волнующие идеи, вроде существования квантовой системы у нас в мозгу.

Ладно, теперь вы знаете, что такое сложная иерархия, вы согласны с тем, что она работает только для квантовой системы в рамках общей идеалистической схемы, и вы интуитивно догадываетесь, что это может объяснять наше собственное самоотнесение. Давайте посмотрим, так ли это.