I.6. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

 

Вычисление напряженности поля большой системы электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно
существенно упростить, используя теорему Гаусса. Эта теорема определяет поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность.

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора напряжен-ности через эту поверхность определяется выражением

(1.23)

где проекция вектора на нормаль
к площадке dS (рис. 1.10); вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает
с направлением нормали к площадке ().

Рассмотрим сферическую поверхность радиуса r, охватывающую точечный заряд q, находящийся в ее центре (рис. 1.11). В соответствии с формулой (1.23) поток вектора напряженности сквозь эту поверхность равен

(1.24)

Этот результат справедлив для замкнутой
поверхности любой формы: если окружить рассматриваемую сферу произвольной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту
поверхность.

Рассмотрим теперь общий случай произвольной замкнутой поверхности, окружающей n зарядов. В соответствии с принципом суперпозиции напряженность поля, создаваемого всеми зарядами, равна векторной сумме напряженностей полей, обусловленных каждым зарядом в отдельности; поэтому поток вектора
напряженности результирующего поля равен

Согласно (1.24), каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы,
равен . Следовательно,

(1.25)

 

то есть поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на электрическую постоянную.

Применим теорему Гаусса для определения напряженности поля равномерно заряженной бесконечной плоскости. В этом случае ее поверхностная плотность заряда одинакова в любом месте плоскости. Это означает, что линии напряженности перпендикулярны плоскости в любой точке,
то есть поле заряженной плоскости однородно (рис. 1.12).

Мысленно выделим в пространстве цилиндр, ось которого перпендикулярна плоскости и одно из оснований проходит через интересующую нас точку. Согласно теореме Гаусса,

С другой стороны, так как линии
напряженности пересекают только
основания цилиндра, поток вектора можно выразить через напряженность электрического поля у обоих оснований цилиндра, то есть

Тогда

откуда

(1.26)

Приведем (без вывода) выражения для расчета напряженности электростатического поля, образованного некоторыми другими заряженными телами:

1. Напряженность поля, создаваемого разноименно заряженными параллельными бесконечно протяженными плоскостями (поле плоского конденсатора)

(1.27)

2. Напряженность поля, образованного заряженным шаром

(1.28)

где заряд шара радиуса ; расстояние от центра шара до точки поля ().

3. Напряженность поля равномерно заряженной бесконечно длинной
нити (цилиндра)

(1.29)

где линейная плотность заряда на нити (заряд, приходящийся
на единицу длины); расстояние от нити до точки поля.