V.3. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля

 

Созданная Максвеллом единая макроскопическая теория электромагнитного поля позволила с единой точки зрения не только объяснить электрические и магнитные явления, но предсказать новые, существование
которых было впоследствии подтверждено на практике (например, открытие электромагнитных волн).

Обобщая рассмотренные выше положения, приведем уравнения, составляющие основу электромагнитной теории Максвелла.

1. Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля:

Это уравнение показывает, что магнитные поля могут создаваться либо движущимися зарядами (электрическими токами), либо переменными
электрическими полями.

2. Электрическое поле может быть как потенциальным (), так
и вихревым (), поэтому напряженность суммарного поля . Так как циркуляция вектора равна нулю, то циркуляция вектора напряженности суммарного электрического поля

Это уравнение показывает, что источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и меняющиеся во времени магнитные поля.

Для полного описания явлений в электрических и магнитных полях
к уравнениям Максвелла надо добавить теорему Гаусса, а также выражения, связывающие напряженности поля и индукции в однородных средах:

,

 

 

где – объемная плотность заряда внутри замкнутой поверхности; – удельная проводимость вещества.

Для стационарных полей (E= const, B= const) уравнения Максвелла принимают вид

то есть источниками магнитного поля в данном случае являются только
токи проводимости, а источниками электрического поля – только электрические заряды. В этом частном случае электрические и магнитные поля
независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно постоянные электрические и магнитные поля.

Используя известные из векторного анализа теоремы Стокса и Гаусса, можно представить полную систему уравнений Максвелла в дифферен-циальной форме (характеризующих поле в каждой точке пространства):

(5.7)

 

Очевидно, что уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе
существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.

Уравнения Максвелла – наиболее общие уравнения для электрических
и магнитных полей в покоящихся средах. Они играют в учении об электромагнетизме ту же роль, что и законы Ньютона в механике.

 

Краткие выводы

· Согласно гипотезе Максвелла, всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое
и является причиной возникновения индукционного тока в контуре. Электрическое поле , возбуждаемое переменным магнитным полем, как
и само магнитное поле, является вихревым.

· По Максвеллу, должна иметь место симметрия во взаимозависимости электрических и магнитных полей: всякое изменение электрического поля должно вызывать появление в окружающем пространстве вихревого
магнитного поля.

· Для установления количественных соотношений между изменяющимся электрическим полем и возбуждаемым им магнитным полем, Максвеллом введено понятие тока смещения. Току смещения Максвелл приписал способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле.

· Полная система уравнений Максвелла в интегральной форме

.

· Величины, входящие в эти уравнения, не являются независимыми
и связаны между собой соотношениями

· Полная система уравнений Максвелла в дифференциальной форме

· Уравнения Максвелла отражают тот факт, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля. Магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.

· Уравнения Максвелла не обладают симметрией относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.

· Электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом
и образуют единое электромагнитное поле.

 

Вопросы для самоконтроля и повторения

1. Что является причиной возникновения вихревого электрического
поля? Чем оно отличается от электростатического поля?

2. Чему равна циркуляция вектора напряженности вихревого электри-ческого поля?

3. Для чего введено понятие тока смещения? Что он собой по существу представляет?

4. Запишите обобщенную теорему о циркуляции вектора напряженности магнитного поля.

5. Запишите полную систему уравнений Максвелла в интегральной
и дифференциальной формах, объясните физический смысл каждого
из уравнений.

6. Запишите полную систему уравнений Максвелла для стационарных полей и объясните физический смысл каждого из уравнений.

7. Какие основные выводы можно сделать на основе электромагнитной теории Максвелла?

8. Полная система уравнений Максвелла для электромагнитного поля имеет вид

 

.

 

Для какого переменного электромагнитного поля справедлива приведенная ниже система уравнений?

.