Вынужденные колебания в колебательном

Контуре

 

Рассмотрим электрическую цепь, содержащую соленоид, кон-денсатор, резистор и источник переменной эдс, изменяющейся по гармоническому закону .

В соответствии со вторым правилом Кирхгофа, сумма разностей потенциалов на элементах контура равна сумме эдс, дей-ствующих в рассматриваемом кон-туре.

В рассматриваемом колебательном контуре два источника эдс – это источ-ник переменной эдс e и соленоид (в нём возникает эдс самоиндукции e_L).

На обкладках заряженного конденсатора имеется разность потенциалов. Обозначим её U_C.

Разность потенциалов на концах резистора, в соответствии с законом Ома, равна IR.

Тогда уравнение, описывающее колебательный контур, имеет следующий вид:

.

Поскольку разность потенциалов на обкладках конденсатора , а эдс самоиндукции ,

или

;

учитывая, что , получаем

и после деления на L

.

Вводя обозначения и , получаем

.

Мы вновь получили неоднородное дифференциальное уравне-ние второго порядка.

Полученное дифференциальное уравнение ничем не отличается от того, которое получено для пружинного маятника в предыдущем разделе. Следовательно, его решение имеет такой же вид: .

Это означает, что в колебательном контуре, содержащем источник переменной эдс, изменяющейся по гармоническому закону, будут происходить вынужденные колебания с частотой, равной частоте колебаний вынуждающей эдс.

 

Зависимость амплитуды вынужденных

Колебаний от частоты внешнего воздействия.

Явление резонанса

 

Рассмотрим зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешнего воздействия и параметров осциллятора более подробно.

Из выражения видно, что

амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты внешнего воздействия w. Можно показать, что эта функция имеет экстремум, т. е. при определённой частоте амплитуда вынуж-денных колебаний будет максимальной.

Это явление называют резонансом, а частоту вынужденных колебаний, при которой амплитуда максимальна – резонансной частотой.

При резонансной частоте амплитуда максимальна, а знаменатель выражения, показывающего величину амплитуды, минимален. Найдём эту частоту.

Знаменатель имеет экстремум при частоте внешнего воздействия, на которой производная от знаменателя по частоте w равна нулю:

.

Полученное выражение будет равно нулю при двух значениях частоты внешнего воздействия: w = 0 и .

Если w = 0, то колебаний нет, поэтому первый корень уравнения отбрасываем.

Второй же корень и есть резонансная частота w_рез. Именно при частоте внешнего воздействия амплитуда вынужденных колебаний максимальна. Её значение

.

При слабом затухании () резонансную амплитуду можно считать равной

.

Обратите внимание на то, что значение b достаточно сильно влияет на амплитуду при резо-нансе (см. рисунок): чем больше потери, тем меньше резонансная амплитуда.

При отклонении частоты внешнего воздействия от резо-нансной амплитуда вынужден-ных колебаний уменьшается (см. рисунок).

Теперь найдём амплитуду вынужденных колебаний для низких (w<<w_о) и высоких (w>>w_о) частот внешнего воз-действия.

При w<<w_о амплитуда вы-нужденных колебаний будет приблизительно равна:

;

если затухание мало (), то

,

где k – коэффициент упругости пружины.

В полученном выражении отсутствует частота внешнего воздействия. Это значит, что при малых частотах внешнего воздействия колебательная система реагирует на гармоническую внешнюю силу практически как на статическую, т. е. не изменяющуюся с течением времени. Амплитуда вынужденных колебаний определяется величиной внешнего воздействия и упругими свойствами осциллятора.

При высоких частотах (w>>w_о). и при амплитуда вынужденных колебаний приблизительно равна

.

Таким образом, при высокой частоте внешнего воздействия максимальное отклонение от положения равновесия А опре-деляется величиной внешнего воздействия, инертностью осцил-лятора и частотой воздействия. Упругие свойства колебательной системы не имеют никакого значения (поскольку в выражении отсутствует w_о).

 

Добротность

 

Добротность используется для характеристики колебательных систем.

Добротность определяют как отношение амплитуды вынуж-денных колебаний при резонансе А _рез к амплитуде при низкой частоте А _стат

.

Используя полученные в разд. 8.3 выражения для А _рез и А _стат, получаем

.

Добротность показывает, во сколько раз амплитуда при резонансе больше амплитуды вынужденных колебаний при низких частотах.

Следовательно, чем больше добротность, тем сильнее проявляет себя резонанс при вынужденных колебаниях.

Можно сказать и иначе: чем меньше потери энергии, тем сильнее резонанс.