Лекция 1. Волны в упругих средах

В первой части курса были рассмотрены простейшие случаи механических колебаний. При этом мы не интересовались процессами, происходящими в среде, окружающей колебательную систему. Сейчас мы обратим на это внимание.

1.1. Упругие среды. Продольные и поперечные волны

Будем полагать, что имеем сплошную упругую среду, например, твердое тело, жидкости, газы. Для упругой среды характерно возникновение упругих деформаций при внешнем воздействии на нее. Эти деформации полностью исчезают после прекращения внешних воздействий.

Если в каком-либо месте упругой среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами эти колебания будут распространяться в среде с некоторой скоростью v.

Процесс распространения колебаний в среде называется волной; или - возмущение, распространяющееся в пространстве (среде), называется волной.

Механические возмущения (деформации), распространяющиеся в упругой среде, называются упругими или механическими волнами.

Звуковыми или акустическими волнами называются упругие волны, обладающие частотами в пределах 16-20000 Гц. Волны с частотами меньше 16 Гц (инфразвук) и больше 20000 Гц (ультразвук) органами слуха человека не воспринимаются.

Упругие волны бывают продольные и поперечные. В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны. В попречных - в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны.

Продольные волны могут возбуждаться в твердых, жидких и газообразных средах. Поперечные волны могут возникать только в твердых телах.

Отметим, что распространение упругих волн не связано с переносом вещества. Бегущие волны переносят энергию колебательного движения в направлении распространения волны.

1.2. Уравнение гармонической бегущей волны

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими. т.е. описываются по закону синуса или косинуса. Часто гармоническую волну называют синусоидальной.

На рис.1 представлена гармоническая поперечная волна, распространяющаяся со скоростью vвдоль оси x, т.е. приведена зависимость между смещением S частиц среды и расстоянием х этих частиц от источника колебаний О для фиксированного момента времени t. А

Расстояние между ближайшими частицами, 0 l х

колеблющимися в одинаковой фазе, называется l.

длиной волны l. Длина волны равна тому Рис.1

расстоянию, на которое распространится гармоническая волна за время, равное периоду колебаний Т, т.е.

l= v T. (1)

Учитывая, что частота v=1/T получаем

l= v / v. (2)

т.е. длина волны обратно пропорциональна частоте.

Уравнение такой волны в общем случае имеет вид

S=Acos[w(t- )+j_О], (3)

Для характеристики волн используется волновое число

, (4)

где w=2p/T=2pv - циклическая, (круговая) частота.

С учетом (4) получим уравнение бегущей гармонической волны

S=Acos(wt-kх+j_О), (5)

где А -амплитуда волны, Ф = wt- kх+j_О - фаза волны, j_О - начальная фаза.

Основываясь на формуле Эйлера (е^ia=соsa+isina, i=Ö-1), уравнение (5) можно записать в экспоненциальной (комплексной) форме

А_Oехр[i(wt- kх+j_О)], (6)

где физический смысл имеет лишь действительная часть выражения (6). Такая форма представления волны существенно облегчает математический действия.

1.3.Фронт волны, волновые поверхности, фазовая скорость

Волна, распространяясь от источника колебаний, охватывает все новые и новые области пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется волновым фронтом.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью (поверхностью постоянных фаз, фазовой поверхностью).

Волновых поверхностей можно провести бесчисленное множество, а волновой фронт в каждый момент времени - один.

Гармоническая бегущая волна (5) является плоской волной, т.к. ее волновые поверхности Ф = wt-kх+j_О = соnst представляет собой совокупности плоскостей, параллельных друг другу и перпендикулярных оси х.

Уравнение гармонической сферической волны имеет вид

S=A(r)cos(wt-kх+j_О), (7)

где r- радиальная координата. При распространении волны в непоглощающей среде A(r) ~ 1/r.

Скоростьvраспространения гармонической волны называется фазовой скоростью. Она равна скорости перемещения волновой поверхности. Например, в случае плоской гармонической волны из условия wt-kх+j_О = соnst следует, что

.(8)

1.4. Волновое уравнение

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением - дифференциальным уравнением в частных производных.

, (9)

 

где

(10)

-оператор Лапласа, v - фазовая скорость.

Решением уравнения (9) является уравнение любой волны (плоской, сферической и т.д.). В частности, для анализируемой здесь плоской гармонической волны (5), которая не зависит от координат y и z волновое уравнение принимает вид

. (11)

Cоответствующей подстановкой можно убедится, что уравнению (11) удовлетворяет уравнение (5).

1.5. Принцип суперпозиции волн. Групповая скорость

Предполагается, что гармоническая волна вида (5) не имеет ни начала ни конца во времени и пространстве.

Реальная волна ограничена во времени и в пространстве, поэтому является негармонической, оказывается такую волну можно заменить эквивалентной ей системой гармонических волн, которые распространяются в линейной среде независимо друг от друга.

Это утверждение справедливо для волн любой природы и носит название принципа суперпозиции.

Негармоническую волнузаменяют системой гармонических волн, частоты которых мало отличаются друг от друга, т.е. негармоническую волну представляют в виде группы волн или волнового пакета.

Интерес представляет скорость распространения огибающей этой группы волн (по существу, скорость распространения энергии волнового пакета или скорость передачи сигнала). Эту скорость называют групповой скоростью. Можно показать, что групповая скорость

u=dw /dk (12)

и она связана с фазовой скоростью соотношением

(13)

Для гармонической волны =0 и скорость переноса энергии (групповая скорость) равна фазовой скорости, т.е. u =v. (14)

1.6. Энергия бегущей волны. Вектор плотности потока энергии

Упругая среда, в которой распространяется волна, обладает как кинетической энергией колебательного движения частиц так и потенциальной энергией, обусловленной деформацией среды. Можно показать, что объемная плотность энергии для плоской бегущей гармонической волны (5)

(14)

где r=dm/dV - плотность среды, т.е. периодически изменяется от 0 до rА²w² за время p/w=Т/2.

Среднее значение плотности энергии за промежуток времени p/w=Т/2

. (16)

Для характеристики переноса энергии вводят понятие вектора плотности потока энергии - вектор Умова.

Выведем выражение для него.

Если через площадку DS_^, перпендикулярную u

к направлению распространения волны, переносится за uDt

время Dt энергия DW, то плотность потока энергии Рис. 2

, (17)

где DV=DS_^ uDt - объем элементарного цилиндра, выделенного в среде.

Поскольку скорость переноса энергии или групповая скорость есть вектор, то и плотность потока энергии можно представить в виде вектора

, Вт/м² (18)

Этот вектор ввел профессор Московского университета Н.А. Умов в 1874 г.

Среднее значение его модуля называют интенсивностью волны

(19)

Для гармонической волны u =v[cм.(14)], поэтому для такой волны в формулах (17)-(19) u можно заменить на v.

1.7. Стоячие волны

Если навстречу друг другу распространяются две гармонические волны

S₁=Acos(wt- kх) и S₂=Acos(wt+ kх), то образуется стоячая волна

S=S₁+S₂=2Аcoskx coswt. (20)

Исследуем сначала множитель coskx= cos2px/ l. В точках x=±(1+2n)l/4, где n=0,1,2..., coskx=0 и, следовательно, S=0. Эти точки не колеблются и поэтому называются узлами стоячей волны (см. рис.3). S пучности

Расстояние между соседними узлами равно 2А

l/2 . Точки максимальной амплитуды х

стоячей волны называются пучностями. - 2А l узлы

Их координаты x=±nl/2. Расстояние Рис. 3.

между соседними пучностями равно l/2.

На рис.3 сплошной линией изображена зависимость S=2Аcoskx×coswt от х, соответствующая моменту времени t (например, t=0), при котором coswt= cos2pt/T=1. Через четверть периода cos =0 и S=0. Еще через время, равное T/4, cos = -1, и соответствующая зависимость S от х изображена штриховой линией (см.рис. 3). Спустя t=3T/4 S=0 и через t=T все повторится.

В случае стоячей волны переноса энергии нет, т.к. падающая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут энергию в противоположных направлениях. Т.о. стоячая волна характеризует колебательное состояние среды.

В заключении отметим, что несмотря на разнообразие волновых явлений, они описываются одинаковыми законами (математичеcкими уравнениями). Это позволяет, например, перенести полученные в данной лекции закономерности для упругих волн на электромагнитные волны.