Лабораторная работа. Определение ускорения свободного падения при помощи маятника

 

Цели работы:

1) определить ускорение свободного падения методом математического маятника,

2) сравнить результаты измерений с g₀.

 

Основные понятия и закономерности

 

Гармоническим колебанием физической величины a называется процесс изменения ее за время t по закону гармонической функции, например:

a = Asin(w t + j_o), (5.1)

где А – амплитуда колебаний – максимальное значение колеблющейся величины,

w – циклическая частота колебания, величина j = w t + j_o носит название фазы колебания,

j_o – начальная фаза колебаний.

(j_o = const). График такого колебания представлен на рисунке 5.1.

Периодом колебания называется промежуток времени, за который совершается одно полное колебание. При этом фаза колебания изменится на 2p, т.е. w (t + T) + j_o = w t + j_o + 2p,

откуда

w = . (5.2)

Рисунок 5.1

 

Величина w – круговая (циклическая) частота колебания, характеризует изменение фазы колебания за единицу времени.

Если начальная фаза j_o равна , то уравнение гармонического колебания записывается в виде:

a = Acosw t. (5.3)

Примерами гармонических колебаний являются колебания физического и математического маятников.

Физическим маятником называется тело, укрепленное на неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через его центр тяжести, и способное совершать колебания относительно этой оси (рисунок 5.2).

 

Рисунок 5.2

 

Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из материальной точки m, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити и колеблющейся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити (диаметр шарика во много раз меньше длины нити, масса которой во много раз меньше массы шарика), второй конец которой закреплен неподвижно.

Рисунок 5.3

Рисунок 5.4

 

Если груз маятника неподвижен и находится в положении равновесия (рисунок 5.3), на него действуют сила тяжести = и сила натяжения . Эти силы уравновешивают друг друга (направлены в противоположные стороны = – ).

Докажем, что маятник, отклоненный на малый угол a от положения равновесия, будет совершать гармонические колебания. При отклонении маятника на угол a от положения равновесия силу тяжести = можно разложить на две составляющие (рисунок 5.4)

ê ê = sina и ê ê = cosa. (5.4)

Сила уравновешивает силу натяжения Составляющая P₁ направлена вдоль касательной к траектории движения маятника (движение по дуге окружности АС к положению равновесия с ускорением).

В положении равновесия (×) С ê ê = 0, шарик по инерции проходит это положение, а затем его движение становится замедленным до положения (×) B. После максимального отклонения от положения равновесия на угол a шарик будет двигаться обратно и такие движения будут повторяться многократно – шарик будет колебаться.

На основании закона динамики вращательного движения – момент силы lP₁ равен произведению момента инерции шарика I на угловое ускорение e, имеем:

P₁ l = Ie, (5.5)

где e = a¹¹ = d²a/dt² – угловое ускорение (вторая производная угла поворота a по времени t),

I =ml² – момент инерции шарика, относительно оси, проходящей через точку 0 (момент инерции материальной точки),

l – длина маятника,

P₁ = – Psina = – mgsina – возвращающая сила (знак “–” обусловлен тем, что P₁ и a всегда противоположны).

sina» a при a £ 4⁰ – 6⁰. Поэтому

P₁ = – mga (5.6)

и уравнение (5.5) принимает вид:

– mgla = ml²a¹¹,

ga + la¹¹ = 0 (5.7)

или

a¹¹ + a = 0. (5.8)

Обозначив

= w₀², w₀ = , (5.9)

получим уравнение:

a¹¹ + w₀ ² = 0, (5.10)

где w_о – циклическая частота колебаний маятника.

Уравнение (5.10) – уравнение гармонического осциллятора. Решение этого уравнения имеет вид уравнения гармонического колебания

 

a = a_о cos (w_о t + j_о). (5.11)

 

Из соотношения (5.11) следует, что при малых углах отклонения математический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой w_о и периодом колебания Т.

Т = = 2p . (5.12)

 

Формулу (5.12) периода колебаний математического маятника можно использовать для определения ускорения свободного падения. Из формулы (5.12) следует, что период колебаний математического маятника не зависит от его массы.