Момент инерции ненагруженного стола

Определите момент инерции ненагруженного стола методом «эталонного» тела. Используйте малые цилиндры. Радиус цилиндров R ₀ = 24.0 мм масса m = m ₁+ m ₂= 1011 г.

Определите сначала период колебаний стола, не нагружая его (угол отклонения выбираем в пределах 20-30 градусов):

T ₀ = мс.

Установите два цилиндра симметрично на расстоянии r = 100 мм от оси стола. Период колебаний стола с грузами:

Т = мс.

П р и м е ч а н и е. При проведении расчетов массы цилиндров и всех ниже предложенных тел удобно брать в граммах, но все остальные величины следует переводить в единицы системы СИ, т.е. миллисекунды в секунды, миллиметры в метры и т.д. Тогда получаемые значения моментов инерции будут получаться в г·м ², что намного удобнее, ввиду того, что моменты инерции всех тел в настоящей работе достаточно малы.

Момент инерции цилиндров («эталон»)

I ₁ = (m ₁ +m ₂)·(r ² + R ₀²/2) = г м².

Из соотношений:

I = Т ² k_парR ²/(4p²);

I ₀ = Т ₀² k_парR ²/(4p²);

I = I ₀ + I ₁;

Находим момент инерции I стола вместе с грузами

I = I ₁ T ²/(T ² - ²) = г м²,

Момент инерции ненагруженного стола,

I ₀ = I ₁ T ₀²/(T ² - ²) = г м².

Значение жесткости пружин (при вычислении перевести I ₁ в кг м²)

k_пар = 4p² I ₁/(R ²(T ² – T ₀²)) = Н/м.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ РАЗЛИЧНЫХ ТЕЛ

Положите одно из предложенных тел на центр поворотного стола масса тела m = г, характерный размер (длина, радиус) R = мм (или l = мм). Значения масс тел указаны на них, характерные размеры измеряются линейкой.

Измерить момент инерции всех предложенных тел (стержень, полушар, диск, кольцо) и сделать вывод по полученным результатам.

1) Стержень:

масса стержня m = г, характерный размер (длина) l = мм.

Период колебаний стола со стержнем: Т = мс.

Момент инерции стержня:

= г м².

Расчетное значение момента инерции:

= г м².

2) Полушар:

масса полушара m = г, характерный размер (радиус) R = мм.

Период колебаний стола с полушаром: Т = мс.

Момент инерции полушара:

= г м².

Расчетное значение момента инерции:

= г м².

3) Диск:

масса диска m = г, характерный размер (радиус) R = мм.

Период колебаний стола с диском: Т = мс.

Момент инерции диска:

= г м².

Расчетное значение момента инерции:

= г м².

4) Кольцо:

масса кольца m = г, радиусы R_внутр =, R_внешн = мм, R_ср = мм.

Период колебаний стола с кольцом: Т = мс.

Момент инерции кольца:

= г м².

Расчетное значение момента инерции:

= г м², или более точно

= г м².

ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА

Любое из тел может быть расположено на различных расстояниях от оси вращения стола (фиксация расстояний с шагом 20 мм). Для проверки теоремы Штейнера измерить моменты инерции стола с двумя цилиндрами массой m = 1011 г на различных расстояниях от оси вращения стола. Результаты записать в предложенную таблицу.

Таблица 6.1

Расстояние цилиндров от оси r, см
Период колебаний стола Т, мс
Момент инерции I = I 0 T ^2/ T 0^2, г м^2
Контроль: D I /D r ^2, г

; ; j = 1,2,3.

r ₁ = 4 см; r ₂ = 6 см; r ₃ = 8 см; r ₄ = 10 см.

ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ С ПОМОЩЬЮ

ПРУЖИН ИЗВЕСТНОЙ ЖЕСТКОСТИ

(эксперименты на шкиве стойки стола)

Для получения колебательной системы через шкив радиуса R стойки перекидывается длинная нить, концы которой посредством двух пружин прикрепляются к зацепам на основании стойки.

k_пар = Н/м.

Момент инерции не нагруженного шкива

Период колебаний шкива Т_шк = мс при R = мм;

Момент инерции шкива I_шк = k_парR ² /(4p²) = г м².

Момент инерции стержня

L =мм, m = г

Период колебаний шкива со стержнем

Т = мс.

Момент инерции шкива со стержнем

I = k_парR ² Т ²/(4p²) = г м².

Момент инерции стержня:

Расчётное значение:

I_ст = mL ²/12 = г м².

По результатам измерений

I_cт = I – I_шк = г м².

Сделать сравнительный анализ с методом п. 2.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ С_р/С_v ДЛЯ ВОЗДУХА ПО КЛЕМАНУ-ДЕЗОРМУ

Цель работы: познакомиться с одним из методов определения С_р / С_v.

Приборы и принадлежности: установка ЛКТ-5, шланг с грушей-помпой, переходной шланг, мембранный манометр, емкость с водой.

Краткие теоретические сведения

Состояние газа характеризуется тремя величинами – параметрами состояния: давлением Р, объемом V, и температурой Т. Уравнение связывающее эти величины, называется уравнением состояния газа. Для идеального газа уравнением состояния является уравнение Менделеева – Клапейрона:

, (7.1)

где m – масса газа, m - масса одного моля, R – универсальная газовая постоянная. Для одного моля:

. (7.2)

Теплоёмкостью тела называется количество теплоты, которое нужно сообщить телу, чтобы изменить его температуру на один градус:

(Дж/К).

Здесь dТ – изменение температуры тела при сообщении ему количества теплоты dQ.

Теплоёмкость единицы массы тела называется удельной теплоёмкостью:

(Дж/кг К).

Теплоёмкость одного моля вещества называется молярной теплоёмкостью:

(Дж/моль К). (7.3)

Величина теплоёмкости газа зависит от условий его нагревания, т.е. от того, нагревается ли газ при постоянном объёме (обозначим молярную теплоёмкость в этом случае через С_v) или процесс нагревания происходит при постоянном давлении (С_р). С_v и С_р связаны между собой. Эту связь можно получить, пользуясь уравнением состояния (7.2), написанным для одного моля газа, и первым началом термодинамики, которое можно сформулировать следующим образом: количество теплоты dQ, переданное системе, затрачивается на увеличение её внутренней энергии dU и на работу dA, совершаемую системой над внешними телами:

dQ = dU + dA. (7.4)

Элементарная работа

dA = P dV. (7.5)

Исходя из определения молярной теплоёмкости (7.3):

.

При изохорическом процессе V = const, следовательно, dV = 0 и dA = 0 (см. формулу (7.5)), и поэтому

С_v = . (7.6)

При изобарическом процессе Р = const, следовательно,

. (7.7)

Из уравнения состояния газа (7.2) получаем

Р dV + V dP = R dT.

Но dP = 0 (т.к. Р = const), а поэтому P dV = R dT.

Учитывая это равенство и заменяя dU через С_v dT, из выражения (7.7) получим

С_р = С_v + R.

Таким образом С_р > C_v: при нагревании при постоянном давлении тепло, сообщённое газу, идёт не только на изменение его внутренней энергии, но и на совершение газом работы.

Важную роль в термодинамике играет величина g = С_р / С_v, в частности, gвходит в уравнение Пуассона, описывающее адиабатический процесс, т.е. процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой (dQ = 0). Уравнение Пуассона в переменных (Р, V) имеет вид:

РV ^g = const.

Из первого начала термодинамики (7.4) для адиабатического процесса следует:

dU + dA = 0,

откуда

dA = - dU = - C_v dT,

т.е. работа в этом случае совершается за счёт изменения запаса внутренней энергии газа.

Описание метода определения С_р / С_v

Создадим в баллоне давление воздуха р ₁, превышающее атмосферное давление р ₀, затем на короткое время откроем кран в атмосферу. Давление в баллоне упадёт до атмосферного, а оставшийся в баллоне воздух вследствие адиабатического расширения охладится от начальной температуры Т ₁ (комнатная) до температуры Т ₀, определяемой уравнением адиабаты:

р ₁^1-g Т ₁^g = р ₀^1-g Т ₀^g. (7.8)

После закрытия крана температура воздуха в баллоне постепенно вернётся к комнатной, и давление возрастёт до значения р ₂

. (7.9)

Из этих соотношений находим g = С_р / С_v:

. (7.10)

Если избыточное давление D р ₁ = р ₁ – р ₀ значительно меньше атмосферного давления р ₀, то приблизительно

. (7.11)

Порядок выполнения работы

1. К штуцеру Ш1 подключите шланг груши – помпы.

2. Соедините баллон (штуцер Ш3) с мембранным манометром для создания высоких давлений.

3. Закройте краны К2 и К3.

4. Откройте кран К1 и накачайте воздух до избыточного давления D р ₁ = 200 мм Нg (мм рт. ст.), после чего закройте кран К1.

5. Подождите 1 – 2 минуты, пока установится температура воздуха в баллоне и давление перестанет изменяться.

6. Включите часы в режим «секундомер» кнопкой «mode».

7. На короткое время t = 0…5 с откройте кран К3 баллона и закройте его. Время открытого состояния крана автоматически измерит таймер.

П р и м е ч а н и е. Необходимо получить 8 различных значений моментов времени в указанном интервале, для построения графиков (см. пп. 9, 11 и табл. 7.1 и 7.2). Примерные значения времени открытия крана (для построения «удачного» графика) лучше всего стремиться получить близкими к: t ₁ ~ 0,50; t ₂ ~ 1,00; t ₃ ~ 1,50; t ₄ ~ 2,00; t ₅ ~ 2,50; t ₆ ~ 3,00; t ₇ ~ 3,50; t ₈ ~ 4,00 сек., т.е. отстоящими друг от друга на несколько десятых долей секунды.

8. Подождите 1 – 2 минуты до установления температуры и давления в баллоне. Запишите установившееся избыточное давление D р ₂ в таблицу 7.1.

9. Для фиксированного давления D р ₁ повторите опыт с различными значениями t (см. примечание к п. 7), заполняя таблицу 7.1.

10. Подключите к штуцеру Ш3 вместо мембранного манометра водяной (штуцер М ), для создания низких давлений, при помощи переходного шланга и повторите пункты 3 – 9, заполняя таблицу 7.2.

11. Постройте графики зависимости ln (D р ₂) = F (t) для обоих случаев. Эти графики покажут, какие значения t слишком малы (воздух не успевает выйти из баллона), а какие слишком велики (воздух успевает частично подогреться, пока кран ещё открыт). Экстраполируя графики из области больших t к значению t = 0, найдите «идеальные» значения избыточного давления D р ₂ и р ₂, нужные для расчёта показателя адиабаты g.

Указание. Графики следует строить на одной координатной сетке. Рекомендуемый масштаб по оси «t»: 1 сек в 2-х см, по оси «ln(D p ₂)»: 0,1 ед. в 1-м см.

12. Результаты представить в виде:

Контрольные результаты

Высокие давления: D р ₁ = 200 мм.рт.ст = 27,2 кПа, р ₁ = р ₀ + D р ₁ = кПа.

Таблица 7.1

№ изм.
t, c
D р 2, мм.рт.ст
ln (D р 2)

 

Экстраполяция: D р ₂ =мм.рт.ст = кПа.

По формуле (7.10): g =.

 

Низкие давления: D р ₁ = 200 мм.вод.ст.) = 2,00 кПа.

Таблица 7.2

№ изм.
t, c
D р 2, мм.вод.ст.
ln (D р 2)

 

Экстраполяция: D р ₂ =мм.вод.ст. = кПа.

По формуле (7.11): g =.

 

13. Сделайте вывод по полученным значениям постоянной адиабаты.

14. Ответьте на следующие контрольные вопросы:

1 Что называется теплоёмкостью тела, удельной теплоёмкостью вещества, молярной теплоёмкостью вещества? В каких единицах измеряются эти величины?

2 Что такое молярная теплоёмкость при постоянном объёме (С_V), при постоянном давлении (С_р)?

3 Какова связь между С_V и С_р?

4 В чём состоит первое начало термодинамики?

5 Какой процесс называется изохорическим?

6 Какой процесс называется изобарическим?

7 Какой процесс называется адиабатическим?

8 Запишите уравнение Пуассона в переменных P и V, P и Т.

9 Опишите устройство прибора и процессы, происходящие с газом в ходе выполнения работы?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЯЗКОСТИ ВОЗДУХА
ПО ИСТЕЧЕНИЮ ИЗ КАПИЛЛЯРА

Цель работы: измерить коэффициент динамической вязкости воздуха.

Приборы и принадлежности: ЛКТ-9: электрочайник, соединительные шланги, груша-помпа с зажимом, капилляр; термометр, баллон с двумя штуцерами.