Определение кэффициента вязкости жидкости методом стокса

Цель работы - изучение явления вязкого трения и измерение коэффициента вязкости жидкости.

Приборы и принадлежности: стеклянный цилиндр с исследуемой жидкостью, металлический шарик, миллиметровая линейка, микрометр, измерительная система ИСМ-1 (секундомер).

 

Введение

Вязкость газа или жидкости проявляется в том, что возникшее в среде упорядоченное движение молекул после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно прекращается. Это происходит потому, что между слоями жидкости или газа, движущимися с различными скоростями, действуют силы внутреннего (вязкого) трения, которые стремятся уравнять скорости слоев жидкости.

Сила вязкого трения газов и большинства жидкостей подчиняется закону, установленному И.Ньютоном. Выделим мысленно в потоке жидкости участок Δ S плоскости, в пределах которой скорость упорядоченного движения молекул U(z), зависящая от координаты z, постоянна (рис.1). Сила вязкого трения F, действующая на слой, лежащий выше участка Δ S, будет направлена навстречу движению жидкости и пропорциональна быстроте изменения скорости вдоль оси z Рис. 1 Вязкое трение т.е.перпендикулярно направлению скорости) и также величине площадки Δ S. Количественно, это выражается формулой

(1)

 

где η – параметр, носящий название динамической вязкости.

С молекулярной точки зрения происхождение сил вязкого трения объясняется следующим образом. Молекулы жидкости или газа участвуют одновременно и в упорядоченном и в хаотическом (тепловом) движении, тепловое движение вызывает перемешивание слоев среды, движущихся с разными скоростями. При этом импульс упорядоченного движения молекул передается от слоев с большей скоростью к слоям с меньшей скоростью. Согласно второму закону Ньютона отличная от нуля скорость изменения импульса выделенного слоя среды означает наличие приложенной к нему силы. Эта сила и называется силой вязкого трения.

Рассмотрим упрощенный расчет коэффициента вязкости в газах. Будем считать скорости теплового движения всех молекул одинаковыми и равными средней тепловой скорости < v >. Само же тепловое движение представим схемой, где все молекулы разделены на шесть одинаковых потоков, параллельных координатным осям. Таким образом, в положительном и отрицательном направлении оси z одинаковое количество молекул, равное одной шестой их общего числа. За время Δ t площадку Δ S пересекут те молекулы газа, которые находились на расстояниях меньших, чем Δ z = <v> Δ t от поверхности. Поэтому число молекул, пересекающих площадку за время Δ t,

(2)

 

где п–- концентрация молекул, Δ t – промежуток времени, в течение которого происходит перенос молекул, число которых равно Δ N.

Молекулы газа участвуют кроме теплового движения в упорядоченном движении со скоростью U, которая является непрерывной функцией z. На рис. 1 вектору U соответствует положительное направление оси у. Каждая молекула, пересекая за счет теплового движения поверхность Δ S, переносит импульс упорядоченного движения mU. Поэтому импульс, перенесенный всеми молекулами за время Δ t через площадку Δ S в положительном направлении оси z,

Δ Р₊ = mU₊ Δ N,

где U₊– характерное значение скорости упорядоченного движения молекул вблизи нижней границы выделенного слоя, т – масса одной молекулы, a Δ N определяется формулой (2). Аналогично импульс, переносимый в отрицательном направлении оси z,

Δ Р_{–_}= mU_{–_} Δ N.

Результирующая у – компонента импульса, перенесенная за время Δ t через площадку Δ S, равна

Δ Р = Δ Р₊– Δ Р_– = m (U₊ – U_–) Δ N= 1/6 п m<v> (U₊ – U^_) Δ S Δ t, (3)

Для нахождения U ₊и U_– учтем, что те молекулы газа, которые находятся дальше от площадки Δ S, чем длина свободного пробега, испытывают столкновение с другими молекулами раньше, чем достигнут площадки. Вследствие этого они приобретут скорость упорядоченного движения того слоя газа, где они испытывают столкновение. Таким образом, можно считать, что скорость упорядоченного движения молекул, пересекающих поверхность Δ S в положительном направлении оси z, равна скорости упорядоченного движения U на расстоянии от поверхности Δ S:

U₊ = U _{( z- λ).}

Скорость упорядоченного движения молекул, пересекающих Δ S в отрицательном направлении оси z, есть

U_– = U _{( z+ λ)}.

Скорость U(z) обычно медленно меняется на расстояниях порядка средней длины свободного пробега λ. Поэтому функцию U _{( z± λ)} можно разложить в ряд по малой величине λ, ограничившись только линейными членами:

,

откуда

Подставляя это выражение в формулу (3), получим

(4)

 

Знак минус в этой формуле указывает на направление переноса импульса.

Если > 0, то Δ Р < 0, и это означает, что импульс упорядоченного движения переносится в отрицательном направлении оси z, т. е. от быстрых слоев газа к медленным.

Величина силы, действующей на слой газа в пределах поверхности Δ S, равна

 

Произведение концентрации п на массу одной молекулы т равно плотности газа ρ, так что окончательное выражение приобретает вид

(5)

Сравнение формулы (5) с законом вязкости Ньютона (1), во-первых, подтверждает справедливость последнего на примере газа. Во-вторых, раскрывает связь коэффициента динамической вязкости

(6)

с молекулярными параметрами системы. Вспоминая, что средняя длина свободного пробега молекул газа равна

⁽⁷⁾

где d – эффективный диаметр молекул, убеждаемся, что произведение не зависит от температуры.

 

\

где k – постоянная Больцмана, а T - температура. Комбинируя два последних выражения, получаем

 

Отсюда следует, что коэффициент вязкости газов не зависит от давления и растет с температурой пропорционально

Коэффициент трения жидкости зависит от ее природы (вида молекул), температуры, давления. В отличие от газов, с ростом температуры вязкость жидкости уменьшается. Эта зависимость вязкости жидкости от температуры связана с характером теплового движения молекул.

В жидкости молекулы находятся на расстояниях, соизмеримых с размером молекул, и совершают малые колебания в пределах, ограниченных межмолекулярными расстояниями. Время от времени центр этих колебаний (положения равновесия) совершает случайные скачки, и молекулы перемещаются в новое положение равновесия. За счет этих скачков и происходит передача импульса упорядоченного движения молекул от слоя к слою. С ростом температуры скачки происходит чаще, и жидкость становится более текучей (менее вязкой). Частота скачков пропорциональна exp (–W/kT), где W - энергия, необходимая для скачка.

Коэффициент вязкости жидкости при постоянном давлении зависит от температуры согласно формуле Френкеля – Андраде может быть записан в виде

η = С exp(-W/kT), (8)

где С – слабая функция от Т.

На твердое тело, движущееся в жидкости, действует сила сопротивления, которая при малых скоростях тела обусловлена силами вязкого трения. Малыми считаются скорости движения, при которых движение жидкости около этого тела имеет ламинарный (не турбулентный) характер. Количественным критерием малости скорости тела является число Рейнольдса

где v – скорость тела, r – характерный размер (например, радиус шара), ρ –плотность жидкости.

Движущееся в жидкости тело увлекает за собой часть жидкости. Очень тонкий слой жидкости «прилипает» к поверхности тела и движется с ним как одно целое, увлекая за собой из-за вязкого трения последующие слои. По мере удаления от тела скорость слоев уменьшается (рис. 2).

Рис. 2. Сопротивление среды

При изучении сопротивления среды (жидкости) движению тела необходимо учитывать вязкое трение отдельных слоев жидкости друг о друга.

Если в неограниченной жидкости движется шарик, то, как показал Стокс, при Re«1 сила сопротивления

Рассмотрим падение шарика в наполненный жидкостью сосуд с небольшой высоты h (рис. 3).На шарик действуют три силы: сила тяжести mg = ρ_o Vg, сила Архимеда F_A = ρ Vg и сила вязкого трения .Здесь m - масса шарика, ρ₀ – плотность материала шарика, v – скорость шарика, V – его объем, ρ – плотность жидкости, g – ускорение свободного падения.

 

 

Рис. 3. Падение шарика в вязкой жидкости

Второй закон Ньютона для рассматриваемого случая принимает вид

. (11)

При движении шарика в воздухе с небольшой скоростью силой вязкого трения шарика о воздух можно пренебречь и определить скорость v₀ у поверхности жидкости, как скорость при свободном падении с некоторой высоты h. Как только шарик погрузится в жидкость, силы вязкого трения и Архимеда возрастут, их сумма окажется больше силы тяжести, и падение будет замедляться (так будет, если высота падения шарика в воздухе достаточно большая). В конечном счете, сумма сил Архимеда и вязкого трения окажется равной силе тяжести. В этом случае ускорение шарика будет равно нулю, скорость движения v = v_s будет постоянна и уравнение (11) примет вид

(ρ – ρ_о) Vg –6πη rv_s = 0. (12)

Решая уравнение (3) относительно коэффициента ηс учетом того, что V = 4/3π r ³ и d = 2 r, получаем

(13)

Скорость равномерного движения шарика v _s можно определить, если измерить время прохождения t, пройденное расстояние l и провести расчетпо формуле

(14)

Тогда формула (13) для вычисления коэффициента вязкости преобразуется к виду

. (15)

Таким образом, для определения коэффициента вязкости жидкости необходимо знать плотность жидкости и материала шарика, диаметр шарика и скорость установившегося движения шарика в жидкости, которая может быть измерена экспериментально.

 

Описание установки

Экспериментальная установка состоит из стеклянного цилиндра, наполненного исследуемой жидкостью (см. рис. 3).

На стенке цилиндра нанесены две метки так, что шарик при свободном падении движется между ними заведомо равномерно.

 

Порядок выполнения работы

1. Измерьте миллиметровой линейкой расстояние l между метками на стенке цилиндра и запишите результат.

2. Измерьте диаметр шарика d с помощью микрометра.

3. Опустив шарик в цилиндр с жидкостью, измерьте время прохождения t шариком расстояния между метками.

4. Повторите измерения с тем же или с другим шариком 5–7 раз. Рассчитайте коэффициент вязкости по формуле (15). Данные занесите в таблицу.

Таблица

№ п/п

d

d– < d >

(d– < d >)^2

Δ d

t

t– < t >

(t– < t >)^2

Δ t

l

l –< l >

(l – < l >) ^2

Δ l

η

Δ η

 

 

5. Произведите обработку результатов измерений по методу Стьюдента. Результат представьте в стандартном виде.

 

Контрольные вопросы

1. В чем состоит суть явления вязкости в жидкостях и в газах с молекулярно-кинетической точки зрения?

2. Перечислите силы, действующие на шарик при его движении в вязкой жидкости. Запишите закон Ньютона для силы вязкого трения.

3. Как зависит коэффициент вязкости жидкости от температуры?

4. Дайте определение ламинарного и турбулентного течения жидкости. Число Рейнольдса. Сила Стокса. Какова зависимость силы вязкого трения от скорости движения шарика?

5. Вывод рабочей формулы для нахождения коэффициента вязкости жидкости методом Стокса.

6. Как зависит скорость установившегося движения шарика в вязкой жидкости от радиуса шарика (при постоянной плотности)?

7. Чем отличаются силы вязкого трения в газах и жидкостях? Вывод коэффициента вязкого трения для газов. От чего зависит коэффициент вязкого трения в газообразной среде?

 

Задания для отчета по лабораторной работе

1. Одинаково ли быстро будет падать на землю целый камень и порошок, полученный из этого камня при его растирании?

2. Почему у гоночных велосипедов руль опущен низко?

3. Почему лыжник, прыгая с трамплина., наклоняет тело вперед?

4. Растительное масло в жару легко выливается из горлышка бутылки, а постоявшее на морозе – значительно труднее. Почему?

5. Шарик всплывает с постоянной скоростью v в жидкости, плотность ρ₁ которой в 4 раза больше плотности ρ₂ материала шарика. Во сколько раз сила трения, действующая на всплывающий шарик, больше силы тяжести mg, действующей на этот шарик?

6. Стальной шарик диаметром d = 1 мм падает с постоянной скоростью v = 0,185 см /с в большом сосуде, наполненном касторовым маслом. Найти динамическую вязкость η касторового масла. Плотность стали 7800 кг /м3, плотность касторового масла

900 кг/м3.

7. Какой наибольшей скорости v может достичь дождевая капля диаметром d = 0,3 мм, если динамическая вязкость воздуха η = 1,2 10^-5 Па с?

8. Смесь свинцовых дробинок с диаметрами d ₁ = 3 мм и

d ₂ = 1 мм опустили в бак с глицерином высотой h = 1 м. На сколько позже упадут на дно дробинки меньшего диаметра по сравнению с дробинками большего диаметра? Динамическая вязкость глицерина η =1,47 Па с, плотность свинца 11300 кг/м3.

9. Пробковый шарик радиусом r = 5 мм всплывает в сосуде, наполненном касторовым маслом. Найти динамическую вязкость и кинематическую вязкость касторового масла, если шарик всплывает с постоянной скоростью v = 3,5 см/с.

10. Над нагретым участком поверхности Земли установился стационарный поток воздуха, направленный вертикально вверх. Скорость u = 20 см/с. В потоке находится шаровидная пылинка, которая движется вверх с установившейся скоростью v = 4 см/с.. Плотность пылинки ρ = 5 10³ кг/м3, плотность воздуха

ρ₀ = 1,29 кг/м³. Вязкость воздуха η = 1,72 10^-5 Па с. Определить радиус пылинки. Показать, что обтекание пылинки воздухом носит ламинарный характер. Для шарика критическое значение числа Рейнольдса Re = 0,25, если в качестве характерного размера принять радиус шарика.

11. При движении шарика радиусом r ₁ = 1,2 мм в глицерине ламинарное обтекание наблюдается при скорости шарика, не превышающей v ₁ = 23 см/с. При какой минимальной скорости v ₂ шара радиусом r ₂ = 5,5 см/с в воде обтекание станет турбулентным? Вязкости глицерина и воды равны соответственно

η₁ = 1,39 Па с и η₂ = 1,1 мПа с.

12. Стальной шарик диаметром d = 3 мм опускается с нулевой начальной скоростью в прованском масле, вязкость которого η = 90 мПа с.Через какое время после начала движения скорость шарика будет отличаться от установившегося значения на n = 1%?

 

13. В высокий широкий сосуд налит глицерин (плотность

ρ₀ = 1,21 10³ кг/м³, вязкость η = 0,350 Па с). В глицерин погружают вдалеке от стенок сосуда и отпускают без толчка шарик радиусом r =1мм. Плотность шарика ρ = 10 10³ = кг/м³. Начальная высота шарика над дном сосуда h = 0,5 м. Найти зависимость пути s, пройденного шариком, от времени t.

14. По условию предыдущей задачи найти время, за которое шарик достигнет дна сосуда, а также время, по истечении которого скорость шарика будет отличаться от предельного значения более чем на 1%.

15. Медный шарик диаметром d = 1 см падает с постоянной скоростью в касторовом масле. Является ли движение масла, вызванное падением в нем шарика, ламинарным? Критическое значение числа Рейнольдса Re = 0,5.

16. Латунный шарик диаметром d = 0,5 мм падает в глицерине. Определить скорость v установившегося движения шарика. Является ли при этой скорости обтекание шарика ламинарным?

17. При движении шарика радиусом r ₁ = 2,4 мм в касторовом масле ламинарное обтекание наблюдается при скорости v ₁ шарика, не превышающей 10 см/с. При какой минимальной скорости v ₂ шарика радиусом r ₂ = 1 мм в глицерине обтекание станет турбулентным?

18. В высокий широкий сосуд налит глицерин (плотность

ρ₀ = 1,21 103 кг/м3, вязкость η = 0,35 Па с). В глицерин погружают вдалеке от стенок сосуда и отпускают без толчка шарик радиуса r = 1 мм. Плотность шарика ρ = 10 103 кг/м3. Первоначальная высота шарика над дном сосуда h = 0,5 м. Найти зависимость пути s, пройденного шариком, от времени t.

19. По данным предыдущей задачи определить время τ, за которое шарик достигнет дна сосуда.

 

Лабораторная работа № 9