Изучение прецессии гироскопа

Цель работы: а) ознакомление с особенностями движения гироскопа; б) определение угловой скорости прецессии и момента инерции гироскопа.

Приборы и принадлежности: гироскоп, электронный блок, в состав которого входят система измерения скорости вращения гироскопа, электронный таймер, фотоэлектрическая система отсчета угла поворота гироскопа вокруг вертикальной оси.

Краткая теория

 

Гироскопом называется быстро вращающееся твердое тело, ось которого может изменять свое направление в пространстве. Большие скорости вращения гироскопа требуют, чтобы ось гироскопа была осью симметрии. Подвижность оси гироскопа обеспечивается кардановым подвесом или каким-либо другим аналогичным устройством. При этом вращение оси гироскопа происходит таким образом, что некоторая точка O этой оси (например, центр масс гироскопа) остается неподвижной. При вращении оси соответствующая угловая скорость Ω (скорость прецессии) много меньше угловой скорости вращения гироскопа вокруг своей оси, которую будем обозначать ω.

Если на ось гироскопа действует некоторая сила, создающая момент M, то момент импульса относительно точки O (главный момент импульса) L изменяется в соответствии с уравнением моментов.

. (1)

Анализ уравнения (1) упрощается вследствие того, что угловая скорость вращения гироскопа очень большая. А это означает, что при относительно медленном изменении ориентации оси гироскопа главный момент импульса практически направлен по оси гироскопа. Момент внешних сил M направлен перпендикулярно оси гироскопа, т.е. практически перпендикулярно главному моменту импульса L. Приращение dL момента импульса должно быть направлено по моменту M, т.е. практически перпендикулярно моменту импульса L. Такое приращение вызовет изменение направления момента импульса L, т.е. изменение направления оси гироскопа. Если при этом ось поворачивается на угол Ω dt, то соответствующее изменение момента импульса

.(2)

Следовательно, под действием постоянного момента сил M возникнет вращение оси гироскопа с постоянной угловой скоростью Ω. При этом изменение момента импульса L в единицу времени, равное L Ω, будет определяться уравнением (1). Отсюда следует, что

L Ω = M. (3)

Учитывая, что для быстро вращающегося гироскопа

, (4)

где – момент инерции гироскопа относительно его оси, получим для угловой скорости

 

Вращение оси гироскопа с угловой скоростью Ω под действием постоянного момента сил M называется прецессией гироскопа.

Отметим две особенности прецессионного движения. Во-первых, прецессия не обладает «инертностью» (прецессия существует, пока действует момент). Во-вторых, ось вращения прецессии не совпадает с направлением момента силы M, а перпендикулярна ему (приращение параллельно вектору) .

Описание прибора

Прибор (рис.1) состоит из электрического моторчика A, укрепленного в обойме B. Обойма опирается на вертикальный стержень C и может вращаться вокруг горизонтальной оси, а вместе со стержнем – вокруг вертикальной оси.

Рис. 1 Прибор для изучения прецессии гироскопа

 

Собственно, гироскопом является ротор моторчика с массивным диском E. Момент внешних сил, приложенных к гироскопу, может изменяться при перемещении груза K по стержню обоймы. Прибор содержит также электронный блок G, в состав которого входят: система измерения скорости вращения моторчика, электронный таймер, фотоэлектрическая система измерения угла поворота гироскопа вокруг вертикальной оси.

Включение моторчика производится выведением ручки «скорость вращения» 1 из крайнего левого положения. Дальнейшее вращение этой ручки по часовой стрелке приводит к увеличению скорости вращения моторчика. Стрелочный прибор 2 на панели блока показывает скорость вращения моторчика.

Включение электронного таймера и фотоэлектрической системы измерения угла j поворота гироскопа вокруг горизонтальной оси производится одновременно нажатием клавиши «сеть» 3. При нажатии на клавишу «сброс» 4 происходит обнуление табло электронного блока 6, 7. После нажатия на клавишу "сброс" происходит запуск фотоэлектрической системы измерения угла j и электронного таймера в момент, когда световой пучок попадает на фотоэлемент системы через одну из прорезей на цилиндрической диафрагме D, поворачивающейся вместе с гироскопом вокруг вертикальной оси. После нажатия на клавишу «стоп» 5 происходит остановка измерений времени t и угла j при очередном попадании светового пучка на фотоэлемент системы. Угловую скорость прецессии получают путем деления зафиксированного на табло 7 электронного блока значения угла j на соответствующее время t.

 

Порядок выполнения работы

1. Закрепите груз K на стержне обоймы так, чтобы весь прибор находился в безразличном положении равновесия, ось гироскопа установите горизонтально.

2. Включите моторчик и подождите 2–3 минуты, пока ротор не начнет вращаться с номинальным числом оборотов. Смещением груза K создайте момент силы тяжести M. Величина этого момента сил определяется по формуле M = Ph, где P – заданный вес груза, h – расстояние этого груза от его начального положения, измеряемого по шкале на стержне. Данные занесите в таблицу.

 

Р = m g =… (Н)

 

ω об/мин	Номер измерения i	hi	Mi = Phi	ji	ti	Ω=ji/ ti	Li = Mi /Ω i	=< L >/ω i
…
среднее	-	-	-	-	-
…
среднее	-	-	-	-	-
…
среднее	-	-	-	-	-

 

3. Измерьте величину угловой скорости прецессии Ω при различных значениях момента M (при различных значениях плеча h). Необходимо сделать 3 – 4 измерения для каждого значения скорости вращения ротора (рекомендуемые значения скорости вращения: 2000, 4000 и 6000 об/мин). При устойчивой работе моторчика (ω = const) в пределах ошибок измерений должно соблюдаться следующее условие

. (6)

4. Определите величину < L > – среднее арифметическое значение величины L для каждого значения скорости вращения ротора ω. Результаты занесите в таблицу.

5. Вычислите момент инерции гироскопа по формуле

= L /ω. В пределах ошибок измерений значения I для всех ω должны совпадать. Результат измерения запишите в стандартном виде:

=(< > ± Δ ) кг∙м², ε = …% при α = 0,95.

 

Контрольные вопросы и задания

1. Почему знание массы тела является недостаточным для описания его инерционных свойств?

2. Где должна быть приложена и как направлена внешняя сила, чтобы ее момент вызвал максимальное угловое ускорение тела?

3. В чем состоит физическая суть гироскопического эффекта и возникающих при этом гироскопических сил? Как они согласуются с законами вращательного движения?

4. Назовите факторы, которые влияют на скорость регулярной прецессии гироскопа с неподвижной точкой опоры.

5. Объясните поведение быстро вращающегося китайского волчка, исходя из гироскопического эффекта.

Задания для отчета по лабораторной работе

 

1. Проведите оценку порядка величины момента импульса колеса взрослого велосипеда, если скорость велосипеда 30 км/ч.

2. Чему должен быть равен момент силы, который следует приложить к рулю, чтобы повернуть велосипед на угол 1 рад за 0,1 с?

3. Два маленьких шарика массами m ₁ = 40 г и m ₂ = 120 г соединены стержнем длиной l = 20 см, масса которого ничтожно мала. Система вращается вокруг оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс системы. Определите импульс и момент импульса системы. Частота вращения равна 3 с^-1.

4. Двигатель равномерно вращает маховик. После отключения двигателя маховик в течение времени t = 30 с после

N = 120 оборотов останавливается. Момент инерции маховика

= 0,3 кг/м². Принимая, что угловое ускорение маховика после отключения двигателя постоянно, определить мощность двигателя при равномерном вращении маховика.

5. Однородный сплошной цилиндр радиусом R раскрутили вокруг его оси до угловой скорости ω₀ и затем поместили в угол (рис. 2). Коэффициент трения между цилиндром и стенками равен µ. Сколько времени цилиндр будет вращаться в этом положении?

6. Чему равно отношение кинетических энергий вращательного и поступательного движения твердого цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения?

7. Твердый цилиндр массой m скатывается без скольжения по плоскости длиной l, наклоненной под углом α к горизонту (трением пренебречь). Чему равна скорость центра масс цилиндра в нижней части плоскости? Чему равна конечная скорость цилиндра, если он соскальзывает по плоскости без вращения?

8. Какую работу нужно совершить, чтобы увеличить частоту вращения маховика массой 0,5 т от 0 до 120 мин^-1? Массу маховика можно считать распределенной по ободу диаметром d =1,5 м. Трением пренебречь.

9. Вертикальный столб высотой h = 5 м подпиливается у основания и падает на землю. Определите линейную скорость его верхнего конца в момент удара о землю.

10. По условиям предыдущей задачи определить, какая точка столба будет в любой момент падения иметь такую же скорость, какую имело бы тело, падая с такой же высоты, как и данная точка?

11. Однородный круглый диск массой m= 5 10⁴ кг и радиусом R = 2 м является стабилизатором корабля массой M = 10⁷ кг. Угловая скорость вращения корабля равна 15 об/с. Чему равен момент импульса стабилизатора?

12. В предыдущей задаче ширина корабля D = 20 м, эффективный радиус поперечного сечения корабля R = 10 м. Время свободного поворота при крене (считая крен от –20⁰ до +20⁰) составляет 12 с. Оцените величину момента импульса корабля при таком крене. Каким путем гироскопический стабилизатор может помочь уменьшить угол крена?

13. Волчок массой m = 0.5 кг, ось которого наклонена под углом α = 30⁰ к вертикали, прецессирует под действием силы тяжести. Момент инерции волчка относительно его оси симметрии = 2 г∙м² , угловая скорость вращения вокруг этой оси

ω = 350 рад/с, расстояние от точки опоры до центра масс волчка l = 10 см. Найти угловую скорость прецессии волчка.

14. Гироскопические эффекты используются в дисковых мельницах. Массивный цилиндрический каток (бегун) вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью Ω и одновременно катится по горизонтальной опорной плите. Такое вращение можно рассматривать как вынужденную прецессию гироскопа (бегуна). При этом возрастает сила давления бегуна на горизонтальную плиту, по которой он катится. Эта сила растирает и измельчает материал, подсыпаемый под каток на плиту. Вычислить силу давления катка на плиту, если радиус бегуна

r = 50 см, а скорость 1 об/с.

15. Диск радиусом r, вращающийся вокруг собственной оси с угловой скоростью ω, катится без скольжения в наклонном положении по горизонтальной плоскости, описывая окружность за время T. Определить T и радиус окружности R, если R > r, а угол между горизонтальной плоскостью и плоскостью диска равен α.

16. Гироскоп в виде однородного диска радиусом R = 8 см вращается вокруг своей оси с угловой скоростью ω = 300 рад/с. Угловая скорость прецессии гироскопа Ω = 1 рад/с. Определить расстояние l от точки опоры до центра масс гироскопа.

17. Гироскоп массой m = 1 кг, имеющий момент инерции
I = 4,905 10^-3 кг м², вращается с угловой скоростью

ω = 100 рад/с. Расстояние от точки опоры до центра масс l = 5 см. Угол между вертикалью и осью гироскопа α = 30^о. Найти модуль угловой скорости прецессии Ω.

18. Симметричный волчок, ось которого наклонена под углом α к вертикали (рис.3), совершает регулярную прецессию под действием силы тяжести. Точка опоры волчка О неподвижна. Определить, под каким углом β к вертикали направлена сила, с которой волчок действует на плоскость опоры.

19. Какова физическая природа подъема центра масс быстро вращающегося китайского волчка с последующим его опрокидыванием? Качественно объясните поведение этой детской игрушки, исходя из теории простого гироскопа.

20. Найти угловую скорость прецессии наклоненного волчка, прецессирующего под действием силы тяжести. Волчок имеет момент инерции I, угловую скорость вращения ω, расстояние от точки опоры до центра масс волчка равно l. В каком направлении будет прецессировать волчок?

 

Лабораторная работа № 8