Исследование упругих колебаний

 

Цель работы – ознакомление с характером собственных упругих колебаний, определение модуля Юнга металлов и логарифмического декремента затухания системы.

Приборы и принадлежности: лабораторный модуль ЛКМ–3, набор грузов, набор упругих стержней, пружина, нить с крючком, измерительная система ИСМ-1 (секундомер).

Введение

Установка для исследований упругих колебаний собрана на базе модуля ЛКМ-3 (рисунок). Упругий стержень (балка) 1 закреплен на стойке посредством цилиндрического кронштейна. К концу стержня прикреплен конец нити, перекинутой через блок. К другому концу нити прикреплен груз переменной массы, способный совершать колебания.

 

Рис. Установка для исследования упругих колебаний на модуле ЛКМ-3

 

При этом незакрепленный конец стержня колеблется в вертикальной плоскости.

В механике простейшими колебательными системами с одной степенью свободы являются пружинные маятники. Период колебаний Т системы, изображенной на рисунке, при малом затухании может быть рассчитан по формуле

(1)

где m – масса груза, k – коэффициент жесткости балки.

Для того чтобы не учитывать массу балки 1 и шкива при измерении жесткости балки, воспользуемся формулой

, (2)

где m ₁ и m ₂ – масса грузов, T ₁ и T ₂ – соответствующие им периоды колебаний.

Жесткость балки определяется ее размерами, формой, способом закрепления и модулем упругости (модулем Юнга) Е ее материала. Для круглого стержня имеем

(3)

где d – диаметр, L –- длина стержня.

Порядок выполнения работы

Задание I. Определение коэффициента упругости стержня

1. Соберите установку так, как это показано на рисунке. Закрепите на конце стержня 1 нить, перекиньте ее через блок и подвесьте к концу нити груз т. Стержень ориентируют перпендикулярно нити с погрешностью до 10°.

2. Измерьте линейкой 2 расстояние x ₁от основания стойки до нижнего края груза.

 

Таблица 1

№ п/п №	материал стержня	d, мм	m 1, кг	m 2, кг	Δ m = m1– m 2, кг	x 1, м	x 2, м	Δ x = x1 –x2, м	k, Н/м
	сталь 1	2,95
	сталь 2	3,99 3,99 3,99
	латунь 1	2,96
	латунь 2	3,95

3. Измените массу груза на величину Δ m и измерьте новое расстояние х ₂ . Рассчитайте коэффициент упругости стержня по формуле (4) и данные занесите в табл. 1.

. (4)

 

4. Проделайте аналогичные измерения для других стержней.

Задание II. Определение коэффициента упругости и модуля Юнга стержня методом колебаний

1. Подключите датчик угла поворота блока к разъему № 2 на задней стенке модуля ИСМ–1. Переключатель 10 переведите в положение К2. Переключатель 4 – в положение «:2», переключатель 5 – в положение «цикл», переключатель 8 - в положение «+» или «–», переключатель 9 – в среднее положение. Включите питание модуля.

2. Перекиньте нить через блок и закрепите на конце нити груз т. Поверните блок так, чтобы указатель блока совместился с нулевым делением шкалы, при этом щель диска блока должна находиться в зазоре фотодатчика так, чтобы светился индикатор 3.

3. Слегка нажав на балку, отпустите ее и измерьте период ее колебаний Т ₁ с грузом m ₁. Измените массу груза и измерьте период колебаний Т ₂с грузом т ₂.

4. Жесткость стержня рассчитайте по формуле (2), модуль Юнга по формуле (3). Данные занесите в табл. 2. Повторите измерения для других стержней.

 

 

Таблица 2

№ п/п	Материал стержня	d, мм	L, м	m 1, кг	m2, кг	Т 1, с	Т 2, с	k, Н/м	E, Н/м^2

Задание III. Определение логарифмического декремента и коэффициента затухания системы с пружиной

 

1. Зацепите один конец пружины за крючок у основания стойки. Ко второму концу пружины прикрепите нить, перекиньте ее через блок и подвесьте к другому концу нити груз массой т. Приведите систему в колебательное движение. Измерьте период Т колебания груза. Результат запишите в табл. 3.

2. Отключите датчик угла поворота блока и переведите переключатель 4 в положение «:1». Выводя маятник из положения равновесия, отметьте его начальное отклонение х₀.

3. Запустив маятник, измерьте время (с помощью кнопки 6 – «ручн»), в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в 2 раза: x(t) = х ₀/2. Измерения проведите при разных значениях отклонения х ₀ и массах груза т. Результаты измерений запишите в табл. 3.

4. Рассчитайте величину логарифмического декремента затухания по формуле

q (5)

 

5. Рассчитайте коэффициент затухания β по формуле (6) и заполните табл.3.

(6)

 

Таблица 3

№ п/п	m, кг	Т 1, с	t, с	x 0, м	x, м	θ	β, с^-^1

 

Контрольные вопросы

1. Вывод уравнения гармонических колебаний для случая малых горизонтальных колебаний груза на пружине.

2. Запишите законы изменения во времени следующих параметров колебательного движения: смещения из положения равновесия, скорости и ускорения материальной частицы.

3. Как изменяется во времени энергия колеблющейся частицы? Как в этих зависимостях находит отражение закон сохранения полной механической энергии?

4. Вывод уравнения затухающих колебаний. Как соотносятся между собой периоды собственных затухающих и незатухающих колебаний? Почему затухающие колебания материальной частицы не являются гармоническими?

5. Дайте определение коэффициента затухания, логарифмического декремента затухания и добротности колебательной системы.

6. Дайте определение параметров напряженного состояния твердого тела: относительной деформации, модуля Юнга и коэффициента упругости. Сформулируйте закон Гука для твердого тела, находящегося в напряженном состоянии.

 

Задания для отчета по лабораторной работе

 

1. К вертикальной проволоке длиной L = 5 м и площадью поперечного сечения S = 2 мм² подвешен груз массой m = 5,1 кг. В результате проволока удлинилась на x = 0,6 мм. Найти модуль упругости (модуль Юнга) материала проволоки.

2. К стальному стержню длиной L = 3 м и диаметром

d = 2 см подвешен груз массой m = 2,5 10³ кг. Определить напряжение σ в стержне. Модуль Юнга стали E = 220 ГПа

(ГПа – ГигаПаскаль).

3. По условиям предыдущей задачи определить относительное ε и абсолютное удлинение x стержня.

4. Проволока длиной l = 2 м и диаметром d = 1 мм натянута практически горизонтально. Когда к середине проволоки подвесили груз массой m = 1 кг, проволока растянулась настолько, что точка подвеса опустилась на h = 4 см. Определить модуль Юнга E материала проволоки.

5. Тонкий стержень одним концом закреплен, к другому концу приложен момент силы M = 1 кН м. Определить угол φ закручивания стержня, если постоянная кручения

C = 120 кН м /рад.

6. Коэффициент линейного теплового расширения стали равен 12 10^-6 К^-1, модуль Юнга E =220 ГПа (ГигаПаскаль). Какое давление p необходимо приложить к торцам стального цилиндра, чтобы длина его оставалась неизменной при повышении температуры на 100° С.

7. Стальной канат диаметром 9 мм может выдержать вес неподвижной кабины лифта. Какой диаметр должен иметь канат, если кабина лифта может иметь ускорение до 8 g.

8. Насколько вытягивается стержень из железа (модуль

Юнга Е =220 ГПа), подвешенный за один конец под действием собственного веса?

9. По условиям предыдущей задачи определить, насколько меняется объем стержня.

10. Какую работу A надо совершить, чтобы растянуть на x = 1 мм стальной стержень (E = 220 ГПа) длиной l = 1 м и площадью поперечного сечения S = 1 см².

11. Точка совершает колебания с частотой ω и коэффициентом затухания β. Найти амплитуду скорости точки как функцию времени, если в момент t = 0 амплитуда ее смещения равна a ₀.

12. По условиям предыдущей задачи найти амплитуду скорости точки как функцию времени, если в момент t = 0 смещение x(0) = 0 и проекция скорости v_x = v₀.

13. Математический маятник совершает колебания в среде, для которой логарифмический декремент затухания θ₀ = 1,5. Каким будет значение θ, если сопротивление среды увеличить в

n = 2 раза?

 

14. По условиям предыдущей задачи определить, во сколько раз следует увеличить сопротивление среды, чтобы колебания стали невозможны?

15. К пружине подвесили груз, и она растянулась на

Δ x = 9,8 см. Логарифмический декремент затухания θ = 3,1.С каким периодом будет колебаться груз в вертикальном направлении?

16. Амплитуда затухающих колебаний маятника за время

t ₁ = 5 мин уменьшилась в два раза. За какое время t ₂, считая от начального момента, амплитуда уменьшится в восемь раз?

17. За время t = 8 мин амплитуда затухающих колебаний маятника уменьшилась в три раза. Определить коэффициент затухания β.

18. Логарифмический декремент затухания колебаний маятника равен 0,003. Определить число N полных колебаний, которые должен сделать маятник, чтобы амплитуда уменьшилась в два раза?

19. Амплитуда колебаний маятника длиной l = 1 м за время t = 10 мин уменьшилась в два раза. Определить логарифмический декремент затухания β.

20. Определить период T затухающих колебаний, если период T ₀ собственных колебаний системы равен 1 с и логарифмический декремент θ = 0,628.

 

 

Приложение I

Коэффициенты Стьюдента (при α= 0,95)

 

п											∞
τ(α, n)	12,7	4,3	3,2	2,8	2,6	2,4	2,4	2,3	2,3	2,1

Приложение II