Внутренняя энергия идеального газа.

Равномерное распределение энергии по степеням свободы молекул

Внутренняя энергия системы - энергия, зависящая
только от её внутреннего состояния; она складывается из
кинетической энергии хаотического движения атомов или
молекул, потенциальной энергии межмолекулярных взаимо-
действий и энергии внутриатомных движений и взаимодей-
ствий. Поскольку в модели идеального газа потенциаль-
ная энергия межмолекулярных взаимодействий полагается равной нулю, то внутренняя энергия идеального газа определя- ется кинетической энергией теплового движения его молекул. В свою очередь энергия теплового движения молекул зависит от числа степеней свободы.

Числом степеней свободы тела называется число независимых координат, полностью определяющих положение тела в пространстве. Если одноатомную молекулу рассмат- ривать как материальную точку, то для описания её положения в пространстве достаточно трёх независимых координат. Следовательно, одноатомная молекула имеет три степени свободы. Двухатомная молекула с жёсткой связью между атомами имеет пять степеней свободы. Три из них определяют поступательное движение молекулы, две - вращательное. Если в молекуле три (и более) атома, связанных жёсткой связью, то число степеней свободы равно 6. Во многих случаях необходи- мо принимать во внимание возможность относительных смещений атомов в молекуле, т.е. вводить в рассмотрение колебательные степени свободы молекул.

Согласно закону Больцмана о равномерном распределе- нии энергии по степеням свободы молекул все степени свободы равноправны и вносят одинаковый вклад в ее сред- нюю энергию. Учитывая, что средняя энергия поступатель- ного движения одноатомной молекулы по формуле (2.7), равна

,

получим кинетическую энергию, приходящуюся на одну степень свободы

. (3.1)

Если молекула имеет ί степеней свободы, то ее средняя кинетическая энергия

, (3.2)

где .

Колебательная степень обладает вдвое большей энергией поскольку на нее приходится не только кинетическая энергия, но и потенциальная, причем средние значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы.

С учетом (3.2), внутренняя энергия одного моля идеаль- ного газа равна

, (3.3)

а произвольной массы газа

. (3.4)

Таким образом, внутренняя энергия идеального газа зависит от числа степеней свободы молекул и абсолютной температуры. Внутренняя энергия – однозначная функция состояния системы, она не зависит от пути перехода в данное состояние.

Изменение внутренней энергии газа связано с изменением температуры

. (3.5)

 

Теплота и работа.

Первое начало термодинамики

 

Внутренняя энергия системы может быть изменена только в результате взаимодействия системы с внешней средой. Такое взаимодействие может происходить двумя способами: путём теплообмена и путём совершения механической работы.

Теплообмен - самопроизвольный необратимый процесс передачи энергии, происходящий в неоднородном темпера- турном поле.

Существуют следующие способы теплообмена:

а) теплопроводность - передача внутренней энергии от одних тел к другим при их соприкосновении, обусловленная тепловым движением атомов (молекул);

б) конвекция - перенос энергии, происходящий при перемешивании неодинаково нагретых слоев газа или жидкости под действием силы тяжести и выталкивающей силы;

в) излучение - передача внутренней энергии без участия промежуточной среды путём испускания и поглощения электро- магнитного излучения.

Мерой энергии, передаваемой системе при теплообмене, служит количество теплоты Q. Элементарное приращение количества теплоты dQ > 0, если оно передаётся системе, и dQ < 0, если система отдаёт энергию. Отношение элементарного количества теплоты dQ, сообщаемого системе при бесконечно малом изменении её состояния в каком-либо процессе, к соответствующему изменению dT её абсолютной температуры, называется теплоёмкостью системы:

;..

 

Таким образом, теплоёмкость системы численно равна количеству теплоты, которое необходимо сообщить системе, для её нагревания на 1 К. Удельная теплоёмкость - физическая величина, равная количеству теплоты, которое необходимо сообщить 1 кг вещества для нагревания на 1 К:

;.

Молярная теплоёмкость - теплоёмкость одного моля вещества:

.

 

Следует различать теплоёмкости c_р , С_Р и c_v, C_V. Первые характеризуют теплообмен при постоянном давлении, а вторые - при постоянном объёме.

Так как количество теплоты Q не является парамет- ром состояния термодинамической системы, то элементарное количество теплоты является не полным дифференциалом, поэтому его обозначают Q (сравните: внутренняя энергия системы - функция состояния; малое изменение внутренней энергии - полный дифференциал dU).

Но состояние системы можно изменить и другим способом, совершая над системой работу или давая ей возможность самой совершать работу, то есть путём изменения макроскопических параметров системы.

В качестве системы рассмотрим идеальный газ в сосуде с подвижным поршнем (рис 3.1). Если под действием силы , с которой газ действует на поршень, последний переместился на расстояние dx, то газ совершил работу

,

где P - давление газа, S - площадь поршня, dV = S dx приращение объёма газа.

Элементарная работа - не полный дифференциал, так как работа зависит не только от начального и конечного состояния системы, но и от формы пути, по которому система переходит из одного состояния в другое, а значит А не является функцией состояния. Если газ расширяется, то dV>0 и, совершаемая им работа А > 0, если сжимается - газ совершает отрицатель- ную работу, А < 0.

Рис.3.1

V1 V2 V Рис.3.2

 

 

 

При расширении (сжатии) газа может изменяться не только объём, но и его давление. Поэтому, чтобы найти работу при конечном изменении объёма, нужно знать зависимость р(V). Тогда работа определяется интегралом

, (3.6)

который численно равен площади заштрихованной фигуры (рис.3.2).

Закон сохранения энергии в области тепловых явлений называется первым началом термодинамики: теплота, сообщаемая системе, затрачивается на увеличение внутрен- ней энергии системы и на работу, которую система совершает над внешней средой

. (3.7)