Электроемкость уединенного проводника.

Конденсаторы

Проводник, удалённый от других тел, называется уединён- ным. При сообщении проводнику электрического заряда потенциал поля возрастает не только возле проводника, но и на его поверхности прямо пропорционально величине заряда.

Коэффициент пропорциональности между q и φ называется электрической емкостью проводника

. (4.40)

Электроемкость проводника численно равна величине заряда, который нужно сообщить данному проводнику для увеличения его потенциала на единицу.

В СИ за единицу электроемкости принимают ёмкость 1 фарада – это емкость такого проводника, потенциал кото- рого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл.

Электроемкость уединенного проводника зависит от его формы и размеров, а также от диэлектрической проницаемости окружающей среды. Емкость не зависит ни от заряда провод- ника, ни от его потенциала, так как с увеличением q во столько же раз увеличивается j.

Емкость проводника, имеющего форму шара радиуса R, погруженного в однородный диэлектрик с относительной диэлектрической проницаемостью e, равна

. (4.41)

При сообщении проводнику А заряда q окружающие его проводники заряжаются через влияние, причем ближайшими к наводящему заряду q оказываются заряды противоположного знака (рис.4.14). Эти заряды ослабляют поле, созданное заря- дом q. Таким образом они понижают потенциал проводника А, а следовательно повышают его емкость. Идя по этому пути можно создавать приборы большой емкости, называемые конденсаторами.

Конденсатор – система, состоящая из двух проводников (обкладок) c одинаковыми по модулю, но противоположными по знаку зарядами, форма и расположение которых таковы, что поле сосредоточено в узком зазоре между обкладками.

Ёмкость конденсатора численно равна заряду, который нужно перенести с одного проводника на другой для измене- ния разности потенциалов между ними на единицу,

. (4.42)

Она зависит от формы, размеров и взаимного располо- жения проводников, а также от диэлектрической проницае- мости среды.

В зависимости от формы обкладок конденсаторы делятся на плоские, сферические, цилиндрические.

Плоский конденсатор состоит из двух проводящих плоских пластин площадью S каждая, пространство между которыми заполнено диэлектриком с проницаемостью e. Если линейные размеры пластин велики по сравнению с расстоя- нием d между ними, то электростатическое поле между пластинами можно считать однородным. Емкость плоского конденсатора рассчитывается по формуле:

. (4.43)

Емкость цилиндрического конденсатора

, (4.44)

где l – длина обкладок конденсатора, и – радиусы коаксиальных цилиндров.

Для получения нужной емкости конденсаторы соединяют параллельно или последовательно в батареи. При парал- лельном соединении (рис.4.15) U = const, а q =q₁+q₂+…+q_n, поэтому

, (4.45)

где – емкость i – го конденсатора, n – число конденсаторов.

При последовательном соединении (рис.4.16) q = const,

U = U₁+ U₂ +……+U_n, тогда

+ - + - + -

С1 С2 С3

С1   + - С2   + -   С3 + -

. (4.46)

 

 

А

 

 

 

 

Рис. 4.14 Рис. 4.15 Рис. 4.16

Энергия электрического поля

 

Потенциальную энергию взаимодействия двух зарядов можно выразить через потенциалы полей этих зарядов

, (4.47)

где j₁ – потенциал, создаваемый вторым зарядом в точке расположения первого заряда; j₂ – потенциал, создаваемый первым зарядом в точке расположения второго.

Энергия взаимодействия точечных зарядов, в силу её аддитивности, равна сумме энергий каждой пары зарядов и определяется выражением

, (4.48)

где j_I - потенциал поля, создаваемого всеми зарядами, кроме q_{i ,} в точке нахождения заряда q_i.

Используя формулу (4.48), определим энергию заряжен- ного проводника и конденсатора. Так как проводник является эквипотенциальным, то

. (4.49)

С учётом (4.40) можно получить и другие выражения для энергии заряженного проводника

. (4.50)

Аналогичным образом, для энергии заряженного конденсатора в соответствии с (4.48) будем иметь

,

а, следовательно, и другие выражения

. (4.51)

Электрическая энергия, определяемая формулой (4.51), может рассматриваться как энергия электростатического поля, существующего в конденсаторе. Поэтому есть смысл выразить эту энергию через напряжённость , характеризующую это поле. На основании соотношений

и ,

получим

Поскольку поле плоского конденсатора однородно, то его объёмная плотность энергии определяется следующими выражениями

. (4.52)

Зная плотность энергии поля в каждой точке, можно путём интегрирования найти энергию поля, заключённого в любом объёме V:

. (4.53)

 

 

Примеры решения задач по электростатике

Пример 1. Три одинаковых положительных заряда нКл расположены в вершинах равносторон- него треугольника. Какой отрицательный заряд нужно поместить в центре треугольника, чтобы сила притяжения с его стороны уравновесила силы взаимного отталкивания зарядов, находящихся в вершинах?

Решение

Все три заряда, расположенные в вершинах треуголь- ника, находятся в одинаковых условиях, поэтому достаточно рассмотреть условие равновесия одного из трех зарядов, например .

В соответствии с принципом суперпозиции на заряд действует каждый заряд независимо от остальных. Поэтому заряд будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю:

, (1)

где , , – силы, с которыми соответственно действуют на заряд заряды , и ; – равнодействующая сил и .

 

 

 

Так как силы и направлены по одной прямой, то вектор- ное равенство (1) можно заменить скалярной суммой:

или .

Выразив F через и и учитывая, что = , получим

.

Применяя закон Кулона и имея в виду, что , найдем

,

откуда

. (2)

Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что

, .

С учетом этого формула (2) примет вид

.

После подстановки числовых значений получим

нКл.

 

Пример 2. На тонком стержне длиной l =20 находится равномерно распределённый электрический заряд. На продолжении оси стержня на расстоянии a =10cм от ближай- шего конца находится точечный заряд Q₁ = 40 нКл, который взаимодействует со стержнем с силой F = 6 мкН. Определить линейную плотность τ заряда на стержне.

Решение

Сила взаимодействия F заряженного стержня с точечным зарядом Q₁ зависит от линейной плотности заряда τ на стержне. Зная эту зависимость, можно определить τ.

При вычислении силы следует иметь в виду, что заряд на стержне не является точечным, поэтому закон Кулона непосредственно применять нельзя. В этом случае можно поступить следующим образом. Выделим на стержне малый участок dr с зарядом dQ = τdr (см рисунок).

dr r

l a

Q1

 

 

Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда, согласно закону Кулона,

.

Интегрируя это выражение в пределах от a до a+l, получаем

,

откуда

.

Произведём вычисления:

.

 

Пример 3. Два точечных электрических заряда Q₁= 1 нКл и Q₂ =-2 нКл находятся в воздухе на расстоянии d =10 см друг от друга. Определить напряжённость Е и потенциал φ поля, создаваемого этими зарядами в точке А, удалённой от заряда Q₁ на расстоянии r₁ = 9 см и от заряда Q₂ на r₂ = 7 см.

Решение

Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каждый заряд создаёт поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Напряжённость электростати- ческого поля в искомой точке может быть найдена как геометрическая сумма напряжённостей и полей, создава- емых каждым зарядом в отдельности: .

Напряжённости электростатического поля, создаваемого в воздухе (ε = 1) зарядами Q₁ и Q₂,

, (1)

. (2)

Вектор направлен по силовой линии от заряда Q_1, так как этот заряд положителен, вектор направлен также по силовой линии, но к заряду Q₂, так как этот заряд отрицателен.

Модуль вектора найдём по теореме косинусов:

, (3)

где α – угол между векторами и , который может быть найден из треугольника со сторонами r₁, r₂ и d

.

+

_

α

π-α

А

r1

r2

d

Q1

Q2

 

 

 

Подставляя выражение Е₁ из (1) и Е₂ из (2) в (3), получим

. (4)

В соответствии с принципом суперпозиции электри- ческих полей потенциал φ результирующего поля, равен алгебраической сумме потенциалов

. (5)

Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом Q на расстоянии r от него, выражается формулой

. (6)

 

Согласно формулам (5) и (6) получим

,

или

.

Произведём вычисления:

Е = 3,58 В/м, φ = - 157 В.

 

Пример 4. Электрическое поле создано двумя парал- лельными бесконечными заряженными плоскостями споверх- ностными плотностями заряда σ ₁=0,4 мкКл/м² и σ ₂=0,1 мкКл/м². Определить напряжённость электрического поля, созданного этими заряженными плоскостями.

Решение

I II III σ1 σ2

Согласно принципа супер- позиции электростатических полей,

,

где, - напряженности электростатиче- ских полей, создаваемых первой и второй плоскостями соответст- венно.

Плоскости делят всё прост- ранство на три области: I, II, III. Как видно из рисунка, в первой и третьей областях электрические силовые линии обоих полей направлены в одну сторону и следовательно, напряжённости суммарных полей Е^(I) и Е^(III) в первой и третьей областях равны между собой, противо- положно направлены и равны сумме напряжённостей полей, создаваемых первой и второй плоскостями:

или

.

Во второй области (между плоскостями) электрические силовые линии направлены в противоположные стороны и, следовательно, напряжённость поля Е^(II) равна разности напряжённостей полей, создаваемых первой и второй плоскостями: , или

.

Подставив данные и произведя вычисления, получим

, .

 

Пример 5. Две концентрические проводящие сферы радиусами R₁ =6 см и R₂ =10 см несут соответственно заряды Q₁ = 1 нКл и Q₂ = -0,5 нКл. Найти напряжённость Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях r₁ =5 см, r₂ =9 см, r₃ = 15 см. Построить график Е(r).

R1

r1 r2 r3

R2

III II I

Q2 Q1

Рис.1

 

Решение

Точки в которых требуется найти напряжённости электрического поля, лежат в трёх областях (см. рис.1): область I (r₁<R₁), область II (R₁< r₂<R₂), область III (r₃>R₂).

1. Для определения напряжённости Е₁ в I области, проведём сферическую поверхность S₁ радиусом r₁ и восполь- зуемся теоремой Гаусса. Так как внутри области I зарядов нет, то получим

(1)

где E_n – нормальная составляющая напряжённости электри- ческого поля.

Из соображения симметрии нормальная составляю- щая E_n должна быть равна самой напряжённости и постоянная для всех точек сферы, т.е. E_n =E₁=const. Поэтому её можно вынести за знак интеграла:

.

Так как , то Е₁ =0, т.е. напряжённость электрического поля внутри первой сферы равна нулю.

2. В области II проведём сферическую поверхность радиусом r₂. Так как внутри этой поверхности находится заряд Q₁, то для неё, согласно теореме Гаусса, можно записать равенство

.

Так как E_n =E₂=const, то из условий симметрии следует

, или ,

откуда

.

Подставив сюда выражение для площади сферы, получим

. (3)

3. В области III проведём сферическую поверхность радиусом r₃. Эта поверхность охватывает суммарный заряд Q₁+Q₂. Cледовательно для неё теорема Гаусса имеет вид

.

Так как E_n =E₃=const, то из условий симметрии следует

. (4)

Выразив все величины в системе СИ и произведя вычисле- ния, получим

, .

4. Построим график Е(r). В области I (r₁<R₁) напряжён- ность Е = 0. В области II (R ₁< r₁<R₂) напряжённость Е₂(r) изменяется по закону 1/ r². В точке r = R₁ напряжённость

.

В точке r = R₂ (r стремится к R₂ слева)

.

В области III (r>R₂) Е₃(r) изменяется по закону 1/ r², причём в точке r=R₂ (r стремится к R₂ cправа)

.

Таким образом, функция Е(r) в точках r = R₁ и r = R₂ терпит разрыв. График зависимости Е(r) представлен на рис.2.

R1 R2r r

E,В/м

I II

III

Рис.2

 

 

 

Пример 6. По тонкой нити, изогнутой по дуге окруж- ности, равномерно распределен заряд с линейной плотностью t =10 нКл/м. Определить напряженность Е и потенциал j электрического поля, создаваемого таким распределенным зарядом в точке, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина l нити составляет 1/3 длины окружности и равна 15 см.

Решение

Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпало с центром кривизны дуги, а ось Oy была бы симметрично расположена относительно концов дуги. На нити выделим элемент длины dl. Заряд dQ=t d l, находящийся на выделен- ном участке, можно считать точечным.

Определим напряжен- ность электрического поля в точке О. Для этого найдем сначала напряженность dE поля, создаваемого зарядом dQ:

где – радиус-вектор, направленный от элемента dl к точке, в которой вычисляется напряженность.

Выразим вектор черезпроекции d E _x и d E _y на оси координат:

,

где и – единичные векторы направлений (орты).

Напряженность Е найдем интегрированием. Интегриро- вание ведется вдоль дуги длиной l.

В силу симметрии . Тогда , (1)

где ,

так как r=R = const, .

Подставим в выражение (1) и, приняв во внимание симметричное расположение дуги относительно оси Оу, пределы интегрирования возьмем от 0 до p/3, а результат удвоим:

 

Выразив радиус R через длину l нити (3 l =2p R), получим

(2)

 

Из этой формулы видно, что напряженность поля по направлению совпадает с осью Оу.

Найдем потенциал электрического поля в точке О. Сначала найдем потенциал dj, поля создаваемого точечным зарядом dQ в точке О:

dj =t dl /(4pe₀ r).

Заменим r на R и проведем интегрирование:

Так как l = 2p R /3, то

j =t /(6e₀). (3)

Произведя вычисления по формулам (2) и (3), получим

 

Пример 7. На тонком стержне длиной l равномерно распределен заряд с линейной плотностью t =10 нКл/м. Найти потенциал j, созданный распределенным зарядом в точке А, расположенной на оси стержня и удаленной от его ближай- шего конца на расстояние l.

Решение

В задаче рассматри- вается поле, создаваемое распределенным зарядом. В этом случае поступают следующим образом. На стержне выделяют малый участок длиной dx. Тогда на этом участке будет сосредоточен заряд dQ = t dx, который можно считать точечным.

Потенциал dj, создаваемый этим точечным зарядом в точке А, можно определить по формуле

Потенциал электрического поля, создаваемого заряженным стержнем в точке А, найдем интегрированием этого выраже- ния:

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

j = 62,4 В.

Пример 8. Электрическое поле создаётся двумя зарядами Q₁ = 4 мкКл и Q₂ = -2 мкКл, находящиеся на расстоянии a =0,1 м друг от друга. Определить работу А₁₂ сил поля по перемещению заряда Q = 50 нКл из точки 1 в точку 2 (см. рис.).

 

Решение

a/2 Q1 1 а Q2 a

+

-

Для определения работы А₁₂ сил поля воспользуемся соотно- шением

Применяя принцип супер- позиции электрических полей, определим потенциалы точек 1 и 2 поля:

 

;

.

Тогда

,

или

.

После подстановки численных значений, получим

.

 

 

Пример 9. С поверхностибесконечного равномерно заряженного (τ = 50 нКл/м) прямого цилиндра вылетает α – частица (υ₀ = 0). Определить кинетическую энергию Т₂ α - частицы в точке 2 на расстоянии 8 R от поверхности цилиндра.

 

Решение

1 2 R 8R

τ

Так как силы электростатического поля являются консервативными, то для определения кинетической энергии α - частицы в точке 2 воспользуемся законом сохранения энергии, записанном в виде Е₁ = Е_{2 ,} где Е₁ и Е₂ полные энергии α - частицы в точках 1 и 2.

Так как Е₁= Т₁+U₁ и Е₂= Т₂+U₂ (Т₁ и Т₂ – кинетические энергии α - частицы; а U₁ и U₂ – потенциальные), то, учитывая, что Т₁ = 0 (υ₁ =0), можно записать U₁= Т₂+U₂, откуда:

Т₂= U₁ - U₂ = Q(φ₁ - φ₂), (1)

где Q – заряд α - частицы, φ₁ и φ₂ – потенциалы точек 1 и 2.

Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряжённостью поля и изменением потенциала: . Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде

, или .

Интегрируя это выражение, найдём разность потенциалов двух точек, отстоящих на расстояниях r₁ и r₂ от оси цилиндра:

. (2)

Так как цилиндр бесконечный, то для вычисления напряжённости поля можно воспользоваться формулой напряжённости поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром:

 

Подставив выражение для Е в уравнение (1), получим

,

или

. (3)

Тогда, подставив выражение (3) в уравнение (1), получим

Проведём вычисления:

Пример 10. Электрон влетает в плоский горизонталь- ный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью . Напряженность поля в конденсаторе , длина конденсатора l=5см. Найти модуль и направление скорости электрона в момент вылета из конденсатора. На сколько отклонится электрон от первоначального направле-ния?

Решение

Совместим начало координат с точкой, где находился электрон в момент его попадания в поле конденсатора. Движение электрона в конденсаторе можно представить как результат сложения двух прямолинейных движений: равно- мерного движения со скоростью в горизонтальном направлении и равноускоренного движения с некоторым ускорением вдоль оси ОУ.

Ускорение вдоль оси ОУ создает электростатическая сила (силой тяжести по сравнению с электростатической пренебрегаем)

,

αα

Vy V

где е – заряд электрона, Е – напряженность поля.

 

 

 

Тогда уравнения, определяющие зависимость координат х и у и проекций скорости и от времени, будут иметь вид:

, , (1)

, . (2)

В момент вылета из конденсатора , y=h, . Тогда получим

; ; . (3)

В момент вылета модуль скорости равен

. (4)

Направление вектора определяется углом a, для которого, как видно из рисунка,

. (5)

Подставляя числовые значения, получим

м, ; tga=0,9; a» .

Пример 11. Конденсатор емкостью С₁ =3 мкФ был заряжен до разности потенциалов U₁ =40 В. После отключения от источника тока конденсатор соединили параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью С₂ =5 мкФ. Какая энергия W’ израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

Решение

Энергия, израсходованная на образование искры,

W’=W₁-W₂, (1)

где W₁ – энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора; W₂ – энергия, которую имеет батарея, составленная из двух конденсаторов.

Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле

W= CU²/2, (2)

где С – емкость конденсатора или батареи конденсаторов.

Выразив в формуле (1) энергии W₁ и W₂ по формуле (2) и приняв во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим

(3)

где U₂ – разность потенциалов на зажимах батареи конденса- торов.

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежним, выразим разность потенциа- лов U₂ следующим образом:

(4)

 

Подставив выражение U₂ в (3), найдем

или

Произведем вычисления:

.

 

Пример 12. Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин S равной 500 см², подключён к источнику тока, ЭДС которого равна ξ = 300 В. Определить работу А внешних сил по раздвижению пластин от расстояния d₁ = 1 см до d₂ =3 см в двух случаях: 1) пластины перед раздвижением отключались от источника тока; 2) пластины в процессе раздвижения остаются подключёнными к нему.

Решение

1-й случай. Систему двух заряженных и отключённых от источника тока пластин можно рассматривать как изолиро- ванную систему, по отношению к которой справедлив закон сохранения энергии. В этом случае работа внешних сил равна изменению энергии системы:

, (1)

где W₁ – энергия поля конденсатора в начальном состоянии (пластины находились на расстоянии d₁); W₂ – энергия поля конденсатора в конечном состоянии (пластины находились на расстоянии d₂).

Энергию в данном случае удобно выразить через заряд Q на пластинах, так как заряд пластин, отключённых от источника при раздвижении не изменяется. Подставив в равенство (1) выражения и , получим

.

Выразив в этой формуле заряд через ЭДС источника тока и начальную электроёмкость С₁ , найдём

. (2)

Подставляя в формулу (2) выражения электроёмкости ( и ) плоского конденсатора, получим

. (3)

Произведя вычисления по формуле (3), найдём

.

 

2-й случай. Пластины остаются подключёнными к источнику тока и система двух пластин уже не является изолированной. Воспользоваться законом сохранения энергии в этом случае нельзя.

При раздвижении пластин конденсатора разность их потенциалов не изменяется (U=ξ), а ёмкость будет уменьшаться (). Будут уменьшаться также заряд на пластинах конденсатора (Q=CU) и напряжённость электри- ческого поля (Е=U/d). Так как величины E и Q, необходи- мые для вычисления работы, изменяются, то работу следует вычислять путём интегрирования.

(4)

где Е₁ – напряжённость поля, создаваемого зарядом одной пластины.

Выразим напряжённость поля E₁ и заряд Q через расстоя- ние x между пластинами:

и , или .

Подставив эти выражения E₁ и Q в равенство (4), получим

.

 

Проинтегрировав это равенство в пределах от d₁ до d₂, найдём выражение для искомой работы:

.