Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Электроемкость уединенного проводника.Содержание книги
Поиск на нашем сайте
Конденсаторы Проводник, удалённый от других тел, называется уединён- ным. При сообщении проводнику электрического заряда потенциал поля возрастает не только возле проводника, но и на его поверхности прямо пропорционально величине заряда. Коэффициент пропорциональности между q и φ называется электрической емкостью проводника . (4.40) Электроемкость проводника численно равна величине заряда, который нужно сообщить данному проводнику для увеличения его потенциала на единицу. В СИ за единицу электроемкости принимают ёмкость 1 фарада – это емкость такого проводника, потенциал кото- рого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл. Электроемкость уединенного проводника зависит от его формы и размеров, а также от диэлектрической проницаемости окружающей среды. Емкость не зависит ни от заряда провод- ника, ни от его потенциала, так как с увеличением q во столько же раз увеличивается j. Емкость проводника, имеющего форму шара радиуса R, погруженного в однородный диэлектрик с относительной диэлектрической проницаемостью e, равна . (4.41) При сообщении проводнику А заряда q окружающие его проводники заряжаются через влияние, причем ближайшими к наводящему заряду q оказываются заряды противоположного знака (рис.4.14). Эти заряды ослабляют поле, созданное заря- дом q. Таким образом они понижают потенциал проводника А, а следовательно повышают его емкость. Идя по этому пути можно создавать приборы большой емкости, называемые конденсаторами. Конденсатор – система, состоящая из двух проводников (обкладок) c одинаковыми по модулю, но противоположными по знаку зарядами, форма и расположение которых таковы, что поле сосредоточено в узком зазоре между обкладками. Ёмкость конденсатора численно равна заряду, который нужно перенести с одного проводника на другой для измене- ния разности потенциалов между ними на единицу, . (4.42) Она зависит от формы, размеров и взаимного располо- жения проводников, а также от диэлектрической проницае- мости среды. В зависимости от формы обкладок конденсаторы делятся на плоские, сферические, цилиндрические. Плоский конденсатор состоит из двух проводящих плоских пластин площадью S каждая, пространство между которыми заполнено диэлектриком с проницаемостью e. Если линейные размеры пластин велики по сравнению с расстоя- нием d между ними, то электростатическое поле между пластинами можно считать однородным. Емкость плоского конденсатора рассчитывается по формуле: . (4.43) Емкость цилиндрического конденсатора , (4.44) где l – длина обкладок конденсатора, и – радиусы коаксиальных цилиндров. Для получения нужной емкости конденсаторы соединяют параллельно или последовательно в батареи. При парал- лельном соединении (рис.4.15) U = const, а q =q1+q2+…+qn, поэтому , (4.45) где – емкость i – го конденсатора, n – число конденсаторов. При последовательном соединении (рис.4.16) q = const, U = U1+ U2 +……+Un, тогда
Рис. 4.14 Рис. 4.15 Рис. 4.16 Энергия электрического поля
Потенциальную энергию взаимодействия двух зарядов можно выразить через потенциалы полей этих зарядов , (4.47) где j1 – потенциал, создаваемый вторым зарядом в точке расположения первого заряда; j2 – потенциал, создаваемый первым зарядом в точке расположения второго. Энергия взаимодействия точечных зарядов, в силу её аддитивности, равна сумме энергий каждой пары зарядов и определяется выражением , (4.48) где jI - потенциал поля, создаваемого всеми зарядами, кроме qi , в точке нахождения заряда qi. Используя формулу (4.48), определим энергию заряжен- ного проводника и конденсатора. Так как проводник является эквипотенциальным, то . (4.49) С учётом (4.40) можно получить и другие выражения для энергии заряженного проводника . (4.50) Аналогичным образом, для энергии заряженного конденсатора в соответствии с (4.48) будем иметь , а, следовательно, и другие выражения . (4.51) Электрическая энергия, определяемая формулой (4.51), может рассматриваться как энергия электростатического поля, существующего в конденсаторе. Поэтому есть смысл выразить эту энергию через напряжённость , характеризующую это поле. На основании соотношений и , получим Поскольку поле плоского конденсатора однородно, то его объёмная плотность энергии определяется следующими выражениями . (4.52) Зная плотность энергии поля в каждой точке, можно путём интегрирования найти энергию поля, заключённого в любом объёме V: . (4.53)
Примеры решения задач по электростатике Пример 1. Три одинаковых положительных заряда нКл расположены в вершинах равносторон- него треугольника. Какой отрицательный заряд нужно поместить в центре треугольника, чтобы сила притяжения с его стороны уравновесила силы взаимного отталкивания зарядов, находящихся в вершинах? Решение Все три заряда, расположенные в вершинах треуголь- ника, находятся в одинаковых условиях, поэтому достаточно рассмотреть условие равновесия одного из трех зарядов, например . В соответствии с принципом суперпозиции на заряд действует каждый заряд независимо от остальных. Поэтому заряд будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю: , (1) где , , – силы, с которыми соответственно действуют на заряд заряды , и ; – равнодействующая сил и .
Так как силы и направлены по одной прямой, то вектор- ное равенство (1) можно заменить скалярной суммой: или . Выразив F через и и учитывая, что = , получим . Применяя закон Кулона и имея в виду, что , найдем , откуда . (2) Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что , . С учетом этого формула (2) примет вид . После подстановки числовых значений получим нКл.
Пример 2. На тонком стержне длиной l =20 находится равномерно распределённый электрический заряд. На продолжении оси стержня на расстоянии a =10cм от ближай- шего конца находится точечный заряд Q1 = 40 нКл, который взаимодействует со стержнем с силой F = 6 мкН. Определить линейную плотность τ заряда на стержне. Решение Сила взаимодействия F заряженного стержня с точечным зарядом Q1 зависит от линейной плотности заряда τ на стержне. Зная эту зависимость, можно определить τ. При вычислении силы следует иметь в виду, что заряд на стержне не является точечным, поэтому закон Кулона непосредственно применять нельзя. В этом случае можно поступить следующим образом. Выделим на стержне малый участок dr с зарядом dQ = τdr (см рисунок).
Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда, согласно закону Кулона, . Интегрируя это выражение в пределах от a до a+l, получаем , откуда . Произведём вычисления: .
Пример 3. Два точечных электрических заряда Q1= 1 нКл и Q2 =-2 нКл находятся в воздухе на расстоянии d =10 см друг от друга. Определить напряжённость Е и потенциал φ поля, создаваемого этими зарядами в точке А, удалённой от заряда Q1 на расстоянии r1 = 9 см и от заряда Q2 на r2 = 7 см. Решение Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каждый заряд создаёт поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Напряжённость электростати- ческого поля в искомой точке может быть найдена как геометрическая сумма напряжённостей и полей, создава- емых каждым зарядом в отдельности: . Напряжённости электростатического поля, создаваемого в воздухе (ε = 1) зарядами Q1 и Q2, , (1) . (2) Вектор направлен по силовой линии от заряда Q1, так как этот заряд положителен, вектор направлен также по силовой линии, но к заряду Q2, так как этот заряд отрицателен. Модуль вектора найдём по теореме косинусов: , (3) где α – угол между векторами и , который может быть найден из треугольника со сторонами r1, r2 и d .
Подставляя выражение Е1 из (1) и Е2 из (2) в (3), получим . (4) В соответствии с принципом суперпозиции электри- ческих полей потенциал φ результирующего поля, равен алгебраической сумме потенциалов . (5) Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом Q на расстоянии r от него, выражается формулой . (6)
Согласно формулам (5) и (6) получим , или . Произведём вычисления: Е = 3,58 В/м, φ = - 157 В.
Пример 4. Электрическое поле создано двумя парал- лельными бесконечными заряженными плоскостями споверх- ностными плотностями заряда σ 1=0,4 мкКл/м2 и σ 2=0,1 мкКл/м2. Определить напряжённость электрического поля, созданного этими заряженными плоскостями. Решение
, где, - напряженности электростатиче- ских полей, создаваемых первой и второй плоскостями соответст- венно. Плоскости делят всё прост- ранство на три области: I, II, III. Как видно из рисунка, в первой и третьей областях электрические силовые линии обоих полей направлены в одну сторону и следовательно, напряжённости суммарных полей Е(I) и Е(III) в первой и третьей областях равны между собой, противо- положно направлены и равны сумме напряжённостей полей, создаваемых первой и второй плоскостями: или . Во второй области (между плоскостями) электрические силовые линии направлены в противоположные стороны и, следовательно, напряжённость поля Е(II) равна разности напряжённостей полей, создаваемых первой и второй плоскостями: , или . Подставив данные и произведя вычисления, получим , .
Пример 5. Две концентрические проводящие сферы радиусами R1 =6 см и R2 =10 см несут соответственно заряды Q1 = 1 нКл и Q2 = -0,5 нКл. Найти напряжённость Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях r1 =5 см, r2 =9 см, r3 = 15 см. Построить график Е(r).
Рис.1
Решение Точки в которых требуется найти напряжённости электрического поля, лежат в трёх областях (см. рис.1): область I (r1<R1), область II (R1< r2<R2), область III (r3>R2). 1. Для определения напряжённости Е1 в I области, проведём сферическую поверхность S1 радиусом r1 и восполь- зуемся теоремой Гаусса. Так как внутри области I зарядов нет, то получим (1) где En – нормальная составляющая напряжённости электри- ческого поля. Из соображения симметрии нормальная составляю- щая En должна быть равна самой напряжённости и постоянная для всех точек сферы, т.е. En =E1=const. Поэтому её можно вынести за знак интеграла: . Так как , то Е1 =0, т.е. напряжённость электрического поля внутри первой сферы равна нулю. 2. В области II проведём сферическую поверхность радиусом r2. Так как внутри этой поверхности находится заряд Q1, то для неё, согласно теореме Гаусса, можно записать равенство . Так как En =E2=const, то из условий симметрии следует , или , откуда . Подставив сюда выражение для площади сферы, получим . (3) 3. В области III проведём сферическую поверхность радиусом r3. Эта поверхность охватывает суммарный заряд Q1+Q2. Cледовательно для неё теорема Гаусса имеет вид . Так как En =E3=const, то из условий симметрии следует . (4) Выразив все величины в системе СИ и произведя вычисле- ния, получим , . 4. Построим график Е(r). В области I (r1<R1) напряжён- ность Е = 0. В области II (R 1< r1<R2) напряжённость Е2(r) изменяется по закону 1/ r2. В точке r = R1 напряжённость . В точке r = R2 (r стремится к R2 слева) . В области III (r>R2) Е3(r) изменяется по закону 1/ r2, причём в точке r=R2 (r стремится к R2 cправа) . Таким образом, функция Е(r) в точках r = R1 и r = R2 терпит разрыв. График зависимости Е(r) представлен на рис.2.
Пример 6. По тонкой нити, изогнутой по дуге окруж- ности, равномерно распределен заряд с линейной плотностью t =10 нКл/м. Определить напряженность Е и потенциал j электрического поля, создаваемого таким распределенным зарядом в точке, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина l нити составляет 1/3 длины окружности и равна 15 см. Решение Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпало с центром кривизны дуги, а ось Oy была бы симметрично расположена относительно концов дуги. На нити выделим элемент длины dl. Заряд dQ=t d l, находящийся на выделен- ном участке, можно считать точечным. Определим напряжен- ность электрического поля в точке О. Для этого найдем сначала напряженность dE поля, создаваемого зарядом dQ: Выразим вектор черезпроекции d E x и d E y на оси координат: , где и – единичные векторы направлений (орты). Напряженность Е найдем интегрированием. Интегриро- вание ведется вдоль дуги длиной l. В силу симметрии . Тогда , (1) где , так как r=R = const, . Подставим в выражение (1) и, приняв во внимание симметричное расположение дуги относительно оси Оу, пределы интегрирования возьмем от 0 до p/3, а результат удвоим:
Выразив радиус R через длину l нити (3 l =2p R), получим (2)
Из этой формулы видно, что напряженность поля по направлению совпадает с осью Оу. Найдем потенциал электрического поля в точке О. Сначала найдем потенциал dj, поля создаваемого точечным зарядом dQ в точке О: dj =t dl /(4pe0 r). Так как l = 2p R /3, то j =t /(6e0). (3) Произведя вычисления по формулам (2) и (3), получим
Пример 7. На тонком стержне длиной l равномерно распределен заряд с линейной плотностью t =10 нКл/м. Найти потенциал j, созданный распределенным зарядом в точке А, расположенной на оси стержня и удаленной от его ближай- шего конца на расстояние l. Решение В задаче рассматри- вается поле, создаваемое распределенным зарядом. В этом случае поступают следующим образом. На стержне выделяют малый участок длиной dx. Тогда на этом участке будет сосредоточен заряд dQ = t dx, который можно считать точечным. Потенциал dj, создаваемый этим точечным зарядом в точке А, можно определить по формуле j = 62,4 В. Пример 8. Электрическое поле создаётся двумя зарядами Q1 = 4 мкКл и Q2 = -2 мкКл, находящиеся на расстоянии a =0,1 м друг от друга. Определить работу А12 сил поля по перемещению заряда Q = 50 нКл из точки 1 в точку 2 (см. рис.).
Решение
Для определения работы А12 сил поля воспользуемся соотно- шением Применяя принцип супер- позиции электрических полей, определим потенциалы точек 1 и 2 поля:
; . Тогда , или . После подстановки численных значений, получим .
Пример 9. С поверхностибесконечного равномерно заряженного (τ = 50 нКл/м) прямого цилиндра вылетает α – частица (υ0 = 0). Определить кинетическую энергию Т2 α - частицы в точке 2 на расстоянии 8 R от поверхности цилиндра.
Решение
Так как Е1= Т1+U1 и Е2= Т2+U2 (Т1 и Т2 – кинетические энергии α - частицы; а U1 и U2 – потенциальные), то, учитывая, что Т1 = 0 (υ1 =0), можно записать U1= Т2+U2, откуда: Т2= U1 - U2 = Q(φ1 - φ2), (1) где Q – заряд α - частицы, φ1 и φ2 – потенциалы точек 1 и 2. Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряжённостью поля и изменением потенциала: . Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде , или . Интегрируя это выражение, найдём разность потенциалов двух точек, отстоящих на расстояниях r1 и r2 от оси цилиндра: . (2) Так как цилиндр бесконечный, то для вычисления напряжённости поля можно воспользоваться формулой напряжённости поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром:
Подставив выражение для Е в уравнение (1), получим , или . (3) Тогда, подставив выражение (3) в уравнение (1), получим Проведём вычисления: Пример 10. Электрон влетает в плоский горизонталь- ный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью . Напряженность поля в конденсаторе , длина конденсатора l=5см. Найти модуль и направление скорости электрона в момент вылета из конденсатора. На сколько отклонится электрон от первоначального направле-ния? Решение Совместим начало координат с точкой, где находился электрон в момент его попадания в поле конденсатора. Движение электрона в конденсаторе можно представить как результат сложения двух прямолинейных движений: равно- мерного движения со скоростью в горизонтальном направлении и равноускоренного движения с некоторым ускорением вдоль оси ОУ. Ускорение вдоль оси ОУ создает электростатическая сила (силой тяжести по сравнению с электростатической пренебрегаем) ,
Тогда уравнения, определяющие зависимость координат х и у и проекций скорости и от времени, будут иметь вид: , , (1) , . (2) В момент вылета из конденсатора , y=h, . Тогда получим ; ; . (3) В момент вылета модуль скорости равен . (4) Направление вектора определяется углом a, для которого, как видно из рисунка, . (5) Подставляя числовые значения, получим м, ; tga=0,9; a» . Пример 11. Конденсатор емкостью С1 =3 мкФ был заряжен до разности потенциалов U1 =40 В. После отключения от источника тока конденсатор соединили параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью С2 =5 мкФ. Какая энергия W’ израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора? Решение Энергия, израсходованная на образование искры, W’=W1-W2, (1) где W1 – энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора; W2 – энергия, которую имеет батарея, составленная из двух конденсаторов. Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле W= CU2/2, (2) где С – емкость конденсатора или батареи конденсаторов. Выразив в формуле (1) энергии W1 и W2 по формуле (2) и приняв во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим (3) где U2 – разность потенциалов на зажимах батареи конденса- торов. Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежним, выразим разность потенциа- лов U2 следующим образом: (4)
или Произведем вычисления: .
Пример 12. Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин S равной 500 см2, подключён к источнику тока, ЭДС которого равна ξ = 300 В. Определить работу А внешних сил по раздвижению пластин от расстояния d1 = 1 см до d2 =3 см в двух случаях: 1) пластины перед раздвижением отключались от источника тока; 2) пластины в процессе раздвижения остаются подключёнными к нему. Решение 1-й случай. Систему двух заряженных и отключённых от источника тока пластин можно рассматривать как изолиро- ванную систему, по отношению к которой справедлив закон сохранения энергии. В этом случае работа внешних сил равна изменению энергии системы: , (1) где W1 – энергия поля конденсатора в начальном состоянии (пластины находились на расстоянии d1); W2 – энергия поля конденсатора в конечном состоянии (пластины находились на расстоянии d2). Энергию в данном случае удобно выразить через заряд Q на пластинах, так как заряд пластин, отключённых от источника при раздвижении не изменяется. Подставив в равенство (1) выражения и , получим . Выразив в этой формуле заряд через ЭДС источника тока и начальную электроёмкость С1 , найдём . (2) Подставляя в формулу (2) выражения электроёмкости ( и ) плоского конденсатора, получим . (3) Произведя вычисления по формуле (3), найдём .
2-й случай. Пластины остаются подключёнными к источнику тока и система двух пластин уже не является изолированной. Воспользоваться законом сохранения энергии в этом случае нельзя. При раздвижении пластин конденсатора разность их потенциалов не изменяется (U=ξ), а ёмкость будет уменьшаться (). Будут уменьшаться также заряд на пластинах конденсатора (Q=CU) и напряжённость электри- ческого поля (Е=U/d). Так как величины E и Q, необходи- мые для вычисления работы, изменяются, то работу следует вычислять путём интегрирования. (4) где Е1 – напряжённость поля, создаваемого зарядом одной пластины. Выразим напряжённость поля E1 и заряд Q через расстоя- ние x между пластинами: и , или . Подставив эти выражения E1 и Q в равенство (4), получим .
Проинтегрировав это равенство в пределах от d1 до d2, найдём выражение для искомой работы: . После упр
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-19; просмотров: 1230; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.227.46.87 (0.011 с.) |