Кинематика поступательного и вращательного движения абсолютно твёрдого тела

M

М

А`

B `

А

B

Рис.1.5

Поступательным движениемабсолютно твердого тела называется такое движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, сохраняет неизменным направление в пространстве, т.е. перемещается параллельно самой себе (рис.1.5). По форме траектории поступательное движение может быть как прямолинейным, так и криволинейным.

При поступательном движении все точки абсолютно твердого тела за один и тот же промежуток времени соверша- ют одинаковые перемещения, скорости и ускорения всех точек тела одинаковы. Поэтому, чтобы описать поступательное движение абсолютно твердого тела, достаточно определить движение одной из его точек М, например, центра масс.

При вращательном движении твердого тела все его точки движутся по окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения (рис.1.6). При этом радиус-векторы, проведенные из центров соответствующих окружностей к точкам тела за равные промежутки времени, поворачиваются на один и тот же угол. Угол поворота Dj любого из радиуc-векторов определяет угловой путь, пройден- ный телом за данный промежуток времени Dt. Очень малые углы поворота можно рассматривать как векторы , совпадающие с осью, направление которых связано с направле- нием вращения тела правилом правого винта. Такие векторы называются аксиальными.

Быстроту изменения углового перемещения с течением времени определяет угловая скорость

= . (1.16)

Угловая скорость является аксиальным вектором, кото- рый направлен вдоль оси вращения в соответствии с правилом правого винта.

Быстроту изменения угловой скорости характеризует вектор углового ускорения

= = . (1.17)

Направление вектора либо совпадает с направлением угловой скорости (при ускоренном вращении >0) либо противоположно ему (при замедленном вращении <0).

А`

B `

А

B

М

M

 

Рис.1.5

Рис.1.6

 

Угловой путь, угловая скорость и угловое ускорение при равноускоренном вращении связаны между собой формулами, аналогичными формулам равноускоренного прямолинейного движения

, (1.18)

, (1.19)

где w₀ – начальная угловая скорость.

Кроме угловых характеристик, движение каждой точки вращающегося тела характеризуют линейные величины u, a, a_n, a_t (рис.1.7).

Между угловыми и линейными характеристиками движения существуют следующие соотношения:

u = w R, a_t = e R, a_n = w ² R = , (1.20)

Рис.1.7

Примеры решения задач по кинематике

Пример 1. Движение частицы в плоскости ХУ описы- вается кинематическими уравнениями: ; , где А и В – константы. Определить: 1) уравнение траектории 2) векторы скорости, ускорения и их численные значения; 3) вектор средней скорости за первые t секунд движения и его модуль.

Решение

1) Для нахождения уравнения траектории движения частицы необходимо исключить параметр из кинематиче- ских уравнений:

.

Полученное уравнение представляет собой уравнение параболы.

2) Вектор скорости частицы в момент времени определяется выражением:

,

где - единичные векторы вдоль осей Х и У, а и - проекции вектора скорости на соответствующие оси.

Дифференцируя уравнения по времени, получим:

;

и, следовательно, .

Модуль вектора скорости равен

.

Вектор ускорения представляет собой первую производ- ную от вектора скорости

где

Следовательно, .

Знак «-» в полученном выражении свидетельствует о том, что ускорение направлено в сторону, противоположную оси У.

 

Модуль ускорения равен

.

3) Вектор средней скорости определяется выражением

где поскольку ,

.

Окончательно,

.

 

Пример 2. Камень брошен с вышки в горизонтальном направлении со скоростью υ = 30 м/c. Определить скорость, тангенциальное и нормальное ускорение камня в конце третьей секунды после начала движения.

Решение

Движение горизонтально брошенного тела под действием силы тяжести состоит из равномерного движения в горизон- тальном направлении со скоростью υ_x и свободного падения в вертикальном направлении со скоростью . Мгновенная скорость движения тела определяется сложением векторов и . Модуль скорости определим в соответ- ствии с теоремой Пифагора

. (1)

Вектор полного ускорения тела (ускорение свобод- ного падения) равен векторной сумме тангенциального и нормального ускорений.

.

x

y

φ

 

 

 

Как следует из рисунка, модуль нормального ускорения a_n тела равен: , где φ угол между векторами и , следовательно .

Тогда с учётом (1) получим

. (2)

Модуль тангенциального ускорения определим в соответствии с теоремой Пифагора:

. (3)

Выполняя вычисления, получим

 

Пример 3. Маховик, вращающийся с постоянной частотой , при торможении начал вращаться равно- замедленно. Когда торможение прекратилось, частота враще- ния оказалась равной . Определить угловое ускоре- ние e маховика и продолжительность торможения, если за время равнозамедленного движения маховик сделал .

Решение

При равнозамедленном вращательном движении уравнения угловой скорости и углового пути имеют вид:

, (1)

. (2)

Решение этой системы уравнений дает соотношение, связывающее угловое ускорение с начальной и конечной угловыми скоростями

,

или . (3)

Но так как и , то

. (4)

Подставив числовые значения в выражение (4), найдём

.

Угловое ускорение получилось отрицательным, так как маховик вращался замедленно. Продолжительность торможения определяем из уравнения (1):

.

С учетом (4) окончательно получим

.

Подставив числовые значения, найдем: