Движение тела по наклонной плоскости

Динамика твердого тела

Тело, деформациями которого в условиях рассматриваемой задачи можно пренебречь, называется абсолютно твердым телом.

Всякое движение твердого тела можно разложить на два основных вида движения - поступательное и вращательное.

Поступательное движение - движение, при котором любая прямая, проведенная через тело, остается параллельной сама себе (все точки тела описывают одинаковые траектории). Вращательное движение - движение при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

В самом общем случае тело может вращаться вокруг неподвижной точки, при этом его движение можно свести к трем независимым вращениям вокруг трех

Момент инерции

Момент инерции I тела зависит:

а) от формы тела;

в) от того, относительно какой оси вращается тело;

б) от размеров тела;

г) от распределения массы по объему тела.

Наиболее простой случай, когда ось проходит через центр тяжести тела, тогда:

1. Момент инерции материальной точки массы m -

2. Момент инерции плоского тонкостенного цилиндра радиуса R массой m относительно его оси

3. Момент инерции сплошного цилиндра или диска .

4. Момент инерции шар с ось проходящей через его центр

5. Момент инерции тонкий стержня с осью проходящей перпендикулярно через его середину .

6. Момент инерции тонкий стержень, ось проходит через его конец

Теорема Штейнера: Момент инерции тела I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела I₀ относительно оси, проходящей через центр инерции тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями

взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку.

 

 

Пусть твердое тело имеет неподвижную ось вращения, и к ней приложена произвольная сила , лежащая в плоскости вращения.

Момент силы

Моментом силы F относительно точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора r, проведенного из точки О в точку приложения силы F. Направление M совпадает с направлением поступательного движения буравчика при его вращения от r к F.

,

где α – между векторами и , d – плече силы – кратчайшее расстояние от оси вращения до прямой вдоль которой действует сила.

IV. Законы динамики вращательного движения.

В основе динамики вращательного движения лежат законы Ньютона.

I закон

Тело вращается равномерно или находится в покое, если суммарный момент всех действующих на тело сил равен нулю:

II закон

Угловое ускорение, приобретаемое телом под действием силы , прямо пропорционально моменту силы и обратно пропорционально моменту инерции тела:

– основной закон динамики вращательного движения.

Опытной проверкой этого закона служит прибор – крестообразный маятник Обербека.

III закон

Моменты сил, с которыми два тела действуют друг на друга равны по величине и противоположны по направлению:

Согласно этому закону, два взаимодействующих тела всегда вращаются в разных направлениях относительно своих осей вращения.

Закон сохранения момента импульса.

В замкнутой системе момент внешних сил отсутствует т.е.

Закон сохранения момента импульса - момент импульса замкнутой системы относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени.

Закон сохранения момента импульса

Если суммарный момент всех внешних сил относительно произвольной неподвижной оси равен нулю, то момент импульса системы не изменяется с течением времени.

Пример:

Скамья Жуковского: скамья раскручена, и руки человека опущены. Человек расставляет руки с гантелями в стороны, скорость движения резко уменьшается.

(Jω = const = mr²ω) → увеличение r приводит к уменьшению ω, чтобы произведение mr²ω оставалось постоянным.

Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела.

Кинетическая энергия твердого тела конечных размеров равна сумме кинетических энергий элементов, на которые разбито тело. Рассмотрим частный случай вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Кинетическая энергия каждого элемента, движущегося с линейной скоростью:

V_i = ωr_i

равна:

Просуммировав по всем элементам, получим:

– момент инерции тела, относительно оси вращения.

(11)

Если твердое тело одновременно участвует в двух движениях: поступательном со скоростью и вращательном со скоростью , то

(12)

 

Полная кинетическая энергия твердого тела равна сумме кинетической энергии Еп поступательного движения центра масс тела и кинетической энергии вращения Ев.