Теорема о движении центра масс системы

 

Теорема Центр масс системы движется так же, как и материальная точка, масса которой равна массе всей системы, если на точку действуют все внешние силы, приложенные к рассматриваемой механической системе.

, следовательно

Выводы:

1. Механическую систему или твердое тело можно рассматривать как материальную точку в зависимости от характера ее движения, а не от ее размеров.

2. Внутренние силы не учитываются теоремой о движении центра масс.

3. Теорема о движении центра масс не характеризует вращательное движение механической системы, а только поступательное

 

 

Вопрос

Закон о сохранении движения центра масс системы:

1. Если сумма внешних сил (главный вектор) постоянно равен нулю, то центр масс механической системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.
2. Если сумма проекций всех внешних сил на какую-нибудь ось равняется нулю, то проекция скорости центра масс системы на эту же ось величина постоянная.

 

Вопрос

Кинетический момент системы

Кинетический момент системы равен векторной сумме момента количества движения материальной точки, находящейся в центре инерции системы и имеющей массу, равную массе системы, относительно центра О, и кинетического момента движения системы относительно ее центра инерции

 

 

Вопрос

Кинематический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

 

 

 

Вопрос

Теорема об изменении момента количества движения системы.

 

Теорема. Производная по времени от момента количества движения системы, взятого относительно какого-нибудь центра, равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на систему относительно того же центра.

(6.3)

Доказательство: Теорема об изменении момента количества движения для точки имеет вид:

,

Сложим все уравнений и получим:

или ,

что и требовалось доказать.

Теорема. Производная по времени от момента количества движения системы, взятого относительно какой-либо оси, равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на систему относительно той же оси.

Для доказательства достаточно спроектировать векторное уравнение (6.3) на эту ось. Для оси это будет выглядеть так:.

(6.4)

Теорема об изменении момента количества движения системы относительно центра масс. (без доказательства)

Для осей движущихся поступательно вместе с центром масс системы, теорема об изменении момента количества движения системы относительно центра масс сохраняет тот же вид, что и относительно неподвижного центра.

 

 

Вопрос

Законы сохранения кинематического момента системы

Вопрос

Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси

 

Дифференциальное уравнение имеет вид:

Интегрируя уравнение, можно определить закон вращения тела. Методика решения подобных задач:

– изображаем тело в произвольном положении; показываем внешние силы, действующие на тело; показываем ось , направленную по оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против часовой стрелки;

– находим сумму моментов внешних сил относительно оси ;

– вычисляем, если не задан, момент инерции тела ;

– составляем уравнение (2.6), интегрируя это уравнение, определяем закон вращения тела.

Вопрос

Теорема об изменении кинетической энергии системы

 

 

Вопрос

Работа внутренних сил. работа силы тяжести

Работа силы тяжести.

Пусть точка М, на которую действует сила тяжести Р, перемещается из положения в положение . Выберем оси координат так, чтобы ось была направлена вертикально вверх.

Тогда, , , и

 

Работа силы тяжести равна взятому со знаком плюс или минус произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения. Работа положительна, если начальная точка выше конечной, и отрицательна, если начальная точка ниже конечной.

 

Вопрос

Работа сил вращательного момента

 

Вопрос

Работа сил трения действующих на катящееся тело

 

Вопрос