Коливання в системі з багатьма ступенями вільності. Нелінійні коливання. Параметричний резонанс

У системах з багатьма ступенями вільності на відміну від систем з одним та півтора ступенями вільності, з’являються принципово нові ефекти, пов’язані з обміном енергією між ступенями вільності. Для появи цих ефектів потрібно щонайменше два ступеня вільності. Подальше зростання числа ступенів вільності нічого якісно нового не дає. Тому в цьому розділі розглядатимуться, як правило, саме системи з двома ступенями вільності. Нелінійні коливання - kоливання в фізич. системах, що описуються нелінійними системами звичайних диференціальних рівнянь де містить члени не нижче 2-го ступеня за компонентами вектора - вектор-функція часу - малий параметр (або і). Можливі узагальнення пов'язані з розглядом розривних систем, впливів з розривними характеристиками (напр., типу гістерезису), запізнювання і випадкових впливів, інтегро-диференціальних та диференціально-операторних рівнянь, коливальних систем з розподіленими параметрами, описуваними диференціальними рівняннями з приватними похідними, а також з використанням методів оптимального управління нелінійними коливальними системами. Параметричний резонанс - резонансне збільшення амплітуди коливань гармонічного осцилятора при зміні його параметрів із певною частотою. Усім знайомий приклад параметричного резонансу – гойдалкa.

 

16. Основні поняття аналітичної механіки (поняття узагальнених сил, імпульсів, координат; канонічні змінні і канонічні перетворення, дужки Пуассона).

Величины , стоящие при соответствующих вариациях обобщенных координат в формуле для вычисления суммы виртуальных работ активных сил, действующих на точки данной механической системы, называются обобщенными силами.

Если механическая система консервативная, то обобщенная сила равна частной производной от потенциальной энергии по соответствующей обобщенной координате, взятой со знаком минус

.

Обобщенными координатами ( обозначаются ) называются независимые параметры любой размерности, которые определяют положение механической системы.

В аналітичній механіці поняття імпульсу узагальнюється згідно з означенням ,де — функція Лагранжа, — узагальнена координата, а — узагальнена швидкість.

Канонічні перетворення - заміна узагальнених координат та узагальнених імпульсів класичної механічної системи на інші, при якій зберігається вигляд основних рівняньгамільтонової механіки - рівнянь Гамільтона.

У гамільтоновій механіці стан механічної системи задається узагальненими координатами та імпульсами , які вважаються незалежними змінними, та функцією Гамільтона . Рівняння Гамільтона мають вигляд

Канонічні змінні або змінні дія-кут - пара канонічно спряжених змінних класичної механічної системи, в якій роль імпульсу відіграє змінна дії - адіабатичний інваріант.

Твірною функцією для канонічного перетворення до нових змінних є функція

,

де E - енергія, однозначно зв'язана з адіабатичним інваріантом I.

Канонічно спряжена до змінної дії кутова змінна w визначається, як

Рівняння руху в змінних дія-кут мають дуже простий вигляд:

Таким чином, адіабатичний інваріант I є інтегралом руху, а кутова змінна зростає з часом за лінійним законом. За один період кутова змінна збільшується на . Вихідні змінні координата q та імпульса p є періодичними функціями кутової змінної.

 

Дужками Пуассона в класичній механіці називається вираз

де й — будь які функції узагальнених координат та узагальнених імпульсів , — кількість ступенів свободи системи.

 

17. рівняння лагранжа першого роду. Рівняння Лагранжа другого роду

Рівняння Лагранжа другого роду - це диференціальні рівняння руху механічної системи в узагальнених координатах. Як і раніше, вважаємо, що зв'язки, накладені на систему, - голономні, стаціонарні та ідеальні. Для отримання рівнянь руху скористаємося загальним рівнянням динаміки: - · )δ =0. Для системи із стаціонарними зв'язками віртуальне переміщення k-ї точки виражається, як було показано раніше, через узагальнені координати співвідношенням δ = .

рівняння лагранжа першого роду. В такому випадку еволюція системи задається наступною системою 3N диференційних рівнянь та s рівнянь зв'язку

,де — s невизначених множників Лагранжа.

Дану систему рівнянь необхідно розв'язувати разом із системою рівнянь для зв'язків. Усього вона має невідомих: та . Рівннянь теж . Система рівнянь Лагранжа дозволяє визначити сили реакції .

 

18. рівняння Гамільтона-Якобі. Рівняння Гамільтона

Рівняння Гамільтона (також звані канонічними рівняннями) в фізиці та математики - система диференціальних рівнянь: =- = , де точкою над p і q позначена похідна по часу. Система складається з 2 N диференціальних рівнянь першого порядку (j = 1, 2,..., N) для динамічної системи, описуваної N (узагальненими) координатами, які є рівняннями руху (однією з форм таких рівнянь, нарівні з рівняннями Лагранжа, яка є узагальненням ньютонівських рівнянь руху) системи, де H=H(q,p,t)=H(q₁,q₂,…q_n,p₁,p₂,…p_n,t)- так звана функція Гамільтона, також іноді іменована гамільтоніаном, t - Час, q_i- (Узагальнені) координати (q₁,q₂,….q_n) i p_i- узагальнені імпульси (p₁,p₂,…p_n), що визначають стан системи (точку фазового простору). Рівняння Гамільтона широко використовуються в гамильтоновой механіці та інших галузях теоретичної фізики та математики.

Рівня́ння Гамільто́на—Я́кобі — рівняння у часткових похідних, яке повністю визначає еволюцію гамільтонової системи класичної механіки.

Рівняння має наступне формулювання: .

Тут — функція Гамільтона для системи із узагальненими координатами і узагальненими імпульсами , де пробігає значення від одиниці до кількості ступенів свободи гамільтонової системи .