Задача двох тіл. Закони Кеплера.

Задачей двух тел наз. задача о движении двух взаимодействующих частиц. Система, образованная частицами, предполагается замкнутой. Центр масс замкнутой системы либо покоится, либо движется прямолинейно и равномерно. Будем решать задачу в системе центра масс (в ц-сист.), поместив начало координат в точку С. В этом случае r_C=(m₁r₁+m₂r₂)/(m₁+m₂)=0, т. е. m₁r₁=–m₂r₂ (1) (р.a). Введем вектор r =r₂–r₁(2) определяющий, положение второй частицы относительно первой (р.б). Решая совместно (1) и (2), легко найти,что (3) F₁₂=—F₂₁=f(r)е_r, где f(r)—ф-ция расстояния между частицами,.положительная для сил притяжения (р.в)и отрицательная для сил отталкивания. Напишем уравнения движения частиц: Разделим первое уравнение на m₁, а второе—на m₂ и вычтем затем из второго уравнения первое. В результате получим:

Согласно (2) левая часть есть . Таким образом, (4)

Ур-ние (4) можно формально рассматривать как ур-ние движения воображаемой частицы в центральном поле сил. Положение частицы относительно центра сил определяется радиу­сом-вектором r. Согласно (4) воображаемой частице нужно приписать массу μ, определяемую условием (5). Отсюда (6). Величина (6) наз. приведенной массой частиц. Таким образом, задача двух тел сводится к задаче о движении одной частицы в центральном поле сил. Найдя из (4) r как функцию t, можно определить по формулам (3) r₁(t) и r₂(t). Векторы r₁ и r₂ откладываются из центра масс системы С. Поэтому, чтобы можно было воспользоваться формулами (3), радиус-вектор r воображаемой частицы нужно откладывать также из точки С (для реальных частиц вектор (2) проводится от первой частицы ко второй). Из формул (3) и р. видно, что обе частицы движутся относительно центра масс по геометрически подобным траекториям), причем прямая, соединяющая частицы, все время проходит через центр масс. Закони Кеплера - три емпіричні залежності, що описують рух планет навколо Сонця. 1 закон: Всі планети обертаються навколо Сонця еліптичними орбітами, в одному з фокусів яких перебуває Сонце (всі орбіти планет і тіл Сонячної системи мають один спільний фокус, в якому, власне, і розташовано Сонце). Найближча до Сонця точка орбіти називається перигелієм, а найдальша від нього точка — афелієм. 2 закон: Радіус-вектор планети (тіла Сонячної системи) за рівні проміжки часу описує рівновеликі площі. Лінійна швидкість руху планети неоднакова в різних точках її орбіти: що ближча планета до Сонця, то більша її швидкість. Швидкість руху планети у перигелії найбільша, а в афелії — найменша. Другий закон Кеплера кількісно визначає зміну швидкості руху планети орбітою. З погляду класичної механіки, другий закон Кеплера є проявом закону збереження моменту імпульсу. 3 закон: Квадрати зоряних періодів обертання планет відносяться, як куби великих півосей їхніх орбіт. Третій закон пов'язує властивості орбіт різних планет між собою. Якщо періоди обертання двох планет Т₁та Т₂, а довжини великих півосей їхніх орбіт, відповідно, а₁ та а₂, то виконується співвідношення: . Цей закон Кеплера пов'язує середні відстані планет від Сонця з їхніми зоряними періодами обертання і надає змогу встановити відносні відстані планет від Сонця, інакше кажучи, дає змогу подати великі півосі всіх планетних орбіт в одиницях великої півосі земної орбіти. Велику піввісь земної орбіти взято за астрономічну одиницю відстаней, але її абсолютне значення було визначено пізніше, лише у XVIII столітті. Відношення кубу півосі до квадрата періоду обертання є сталою для всіх планет Сонячної системи і залежить лише від маси Сонця і гравітаційної сталої, як довів пізніше Ньютон: = .

8. Динаміка обертального руху. Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі. Момент сили відносно осі. Момент інерції тіла. Момент імпульсу твердого тіла. Основне рівняння динаміки обертального руху. Теорема Штейнера рівняння моментів

Основними кінематичними характеристиками обертального руху тіла в цілому є його кутова швидкість і кутове пришвидшення. Алгебраїчне значення кутової швидкості тіла у даний момент часу дорівнює похідній за часом від кута повороту тіла. Вектор кутової швидкості тіла спрямовується уздовж осі обертання у бік звідки обертання тіла видно проти ходу стрілки годинника. У технічній літературі кутову швидкість часто визначають як чиcло оборотів за хвилину, позначаючи цю величину через n (об/хв) і називається вона частотою обертання. Моментом сили відносно осі називається момент проекції сили на площину, перпендикулярну осі, відносно точки перетину осі з цією площиною. Моментом інерції механічної системи відносно нерухомої осі ("осьовий момент інерції") називається величина J_a, рівна сумі творів мас всіх n матеріальних точок системи на квадрати їх відстаней до осі: J_a= , маса i-ї точки, - відстань від i-ї точки до осі. Момент імпульсу твердого тіла відносно осі дорівнює сумі моментів імпульсів окремих частинок: L_z= . Основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла: При повороті тіла під дією сили F а нескінченно малий кут d𝛗 точка прикладання сили проходить шлях ds=rd𝛗 і робота дорівнює: dA=Fsinαrd𝛗= M _zd𝛗. Оскільки dA=dE_k=d()= .. Тоді M_zd𝛗= M_{z = .} Звідси рівняння динаміки обертального руху твердого тіла_: M_z= . Теорема Гюйгенса-Штейнера: момент інерції тіла J_z відносно довільної осі дорівнює сумі моменту інерції цього тіла I_cm відносно осі, що проходить через центр маси тіла m паралельно до осі, що розглядається і добутку маси тіла на квадрат відстані d між осями: J_z= J_c+md². Момент інерції досягає свого мінімального значення, коли вісь проходить через центр мас. Наприклад, момент інерції стрижня відносно осі, що проходить через його кінець, становить: J=J₀+md²= m +m( = m .