Статистична теорія квантових ідеальних газів. Розподіли Фермі – Дірака та Бозе – Ейнштейна.

Частина статистичної фізики, яка вивчається в шкільному курсі, зветься молекулярною фізикою і є, по суті, більш-менш докладним викладом властивостей ідеального газу. Статистична фізика к в а н т о в а – розділ статистичної фізики, в якому на основі законів квантової механіки вивчають фізичні властивості тіл, що складаються з великої кількості мікроскопічних систем (атомів, молекул, їх аґреґатів). Статистична фізика описує явища надпровідності, надтекучості, турбулентності, колективні явища у твердих тілах і плазмі, структурні особливості рідин, рідких кристалів, дозволила побудувати теорію фазових переходів і критичних явищ. Статистичний а н с а м б л ь – сукупність великої кількості однакових фізичних систем.

Статистика Фермі — Дірака — особливий вид розподілу частинок за енергією, характерний для ферміонів. Оскільки ферміони — це частинки, які не можуть перебувати в квантовомеханічному стані з одинаковими кватновими числами, ця заборона накладає обмеження на їхній розподіл за енергією. Ймовірність знайти ферміон у певному стані із енергією задається формулою

. Тут — хімічний потенціал, — стала Больцмана, T — температура.

Характерною особливістю цього розподілу є одиниця в знаменнику. Вона визначає особливий вигляд розподілу Фермі - Дірака. Хімічний потенціал визначається із умови нормування розподілу й залежить від повного числа часток в системі N. .

Властивості

В основному стані ферміони займають якомога нижчі енергетичні рівні. Накладена принципом виключення Паулі заборона призводить до того, що при нульовій тепературі, коли реалізується основний стан, усі найнижчі одноферміонні рівні зайняті. Найвищий зайнятий у такому стані рівень називається рівнем Фермі. Функція розподілу має вигляд сходинки

При збільшенні температури, існує певна ймовірність того, що ферміони системи матимуть енергію, вищу за енергію рівня Фермі. Завдяки цьому існує відмінна від нуля ймовірність того, що рівень із енергією нижчою за енергією рівня Фермі, стане вільним. Чим вища тепература, тим пологішою стає крива розподілу. При дуже високих температурах розподіл Фермі — Дірака переходить у класичний розподіл Максвелла — Больцмана.

Стати́стика Бозе — Ейнштейна — розподіл за енергією часток, які належать до бозонів.

За розподілом Бозе — Ейнштейна ймовірність того, що в квантовомеханічній багаточастинковій системі існує бозон у одночастинковому квантовому стані із енергією визначається формулою

, де — хімічний потенціал, — стала Больцмана, T — температура.

Оскільки ймовірність повинна бути додатним числом, значення хімічного потенціалу завжди менше за енергію основного стану бозонів.

Якщо кількість бозонів строго визначена (N), то хімічний потенціал визначається із умови нормування розподілу.

Фізична природа

Квантові частки бозони відрізняються від частинок класичної фізики тим, що їх принципово неможливо розрізнити. Крім того, хвильова функція бозонів завжди симетрична відносно перестановок частинок. Це призводить до зміни кількості можливих станів. Наприклад, розглянемо систему, у якій можливі два одночастинкові стани і . Для двох таких частинок у класичній фізиці існує 4 можливі стани:

, , ,

У квантовій фізиці можливі лише три стани:

, ,

Таким чином, у найпростішому випадку, за однакової енергії станів, ймовірність реалізації конкретного стану у класичній фізиці дорівнює 1/4, а у квантовій фізиці — 1/3.

При розгляді великого числа частинок і одночастинкових станів для цих частинок, для ймовірності заповнення стану отримують наведену вище формулу розподілу Бозе — Ейнштейна. Доведення можна знайти у підручниках із статистичної фізики, наведених у джерелах.

Наслідки

Одним із наслідків квантової статистики Бозе — Ейнштейна є можливість існування у тривимірних системах за низьких теператур особливої фази речовини, що складається з бозонів — Бозе-конденсату.

Статистиці Бозе — Ейнштейна підкоряється електромагнітне випромінювання, яке перебуває у тепловій рівновазі з тілом. Тому її застосування пояснює спектр випромінювання абсолютно чорного тіла.

Застосування статистики Бозе — Ейнштейна дозволило пояснити температурну залежність теплоємності твердого тіла за низьких температур (див. температура Дебая, закон Дебая).

 

Електрика та магнетизм