Додавання гармонічних коливань. Принцип суперпозиції

Одне й те саме тіло може брати участь одночасно у двох (і більше) коливальних рухах. Наприклад, підвішену на довгій нитці кульку можна змусити коливатися почергово, то в одній вертикальній площині, то в другій, перпенди­кулярній до першої. Можна також змусити її коливатися одночасно у двох цих площинах. Для цього кульку, яка коливається в одній площині, треба вдарити молотком у напрямі, перпендикулярному до цієї площини. Два ко­ливання у взаємно перпендикулярних площинах «дода­дуться» і утвориться результуючий рух, який у даному випадку є рухом кульки по еліпсу в горизонтальній площині.

Додавання зміщень при гармонічних коливаннях най­простіше здійснити графічно. Для цього, побудувавши на одних і тих самих координатних осях графіки коливань, які треба додати, здійснюють послідовне додавання орди­нат цих графіків для певних моментів часу t\, *•_>, h,... на осі абсцис. Приклади додавання коливань однакового періоду показані на малюнку 9 (на малюнку 9, а — коливань 1 і 2, які збігаються за фазою, на малюнку 9, б — при різниці

фаз ). На малюнку 10 показано додавання

двох коливань різного періоду.

Значно зручніше додавати гармонічні коливання за допомогою їх векторних діаграм на основі принципу супер­позиції. Якщо коливання виникають з кількох незалежних причин, кожна з яких окремо спричиняє гармонічне коли­вання, то для будь-якого моменту часу результуюче змі­щення дорівнюватиме геометричній сумі зміщень, які тіло

мало б у кожному коливанні окремо у той самий момен-часу. В цьому й полягає зміст принципу супер позиції, або принципу накладання.

Скористаємося принципом суперпозиції для додавання двох гармонічних коливань однакового напряму і однако­вої частоти. Нехай ці коливання задані рівняннями:

(4.1)

Зобразимо обидва коли-ання за допомогою векторів - і а-> (мал. 11). Побудуємо _за правилами додавання век­торів результуючий вектор а. Проекція цього вектора на вісь Ох дорівнює сумі проекцій векторів, які додаються:

Отже, вектор а є результую-ним коливанням. Він обер-

тається з такою самою кутовою швидкістю w, що й вектори а\ і а->. Результуючий рух буде гармонічним коливанням з частотою (о, амплітудою а і початковою фазою <|. З по­будови видно, що

(4.2)

(4.2)

(4.3)

(4.3)

Отже, зображення гармонічних коливань за допомогою векторів дає можливість звести додавання кількох ко­ливань до операції додавання векторів. Цей прийом буває особливо корисним, наприклад в оптиці, де світлові коливання в певній точці визначаються як результат накладання багатьох коливань, що приходять в дану точку від різних ділянок хвильового фронту.

Формули (4.2) і (4.3) можна дістати, додавши вирази (4.1) і виконавши відповідні тригонометричні перетво­рення. Однак застосований нами спосіб одержання цих формул є більш простим і наочним.

Проаналізуємо вираз (4.2) для амплітуди. Якщо різни­ця фаз обох коливань , то амплітуда результую­чого коливання дорівнює сумі а, і а*. У тому випадку, коли різниця фаз cf'L' — <fi дорівнює +л або — л, тобто обидва коливання перебувають у протифазі, то амплітуда резуль­туючого коливання дорівнює

Якщо частоти коливань х\ і Хі неоднакові, то вектори а\ і а, обертатимуться з різною швидкістю. Результуючий вектор а змінюється за значенням і обертається із змінною швидкістю. Отже, результуючим рухом буде в цьому ви­падку не гармонічне коливання, а складний коливальний процес.

Негармонічні коливання

Вільні коливання тягарця на пружині чи маятника є гармонічними лише тоді, коли немає тертя. Спостережен­ня за вільними коливаннями маятників показують, що їх амплітуда поступово зменшується і через деякий час коли­вання припиняються. Вільні коливання завжди затухають. Вони вже не є гармонічними і до них незастосовне поняття амплітуди. Однак умовно це поняття зберігають і у випад­ку затухаючих коливань. Поняття періоду, а також часто­ти не можна застосовувати до затухаючих коливань, оскільки коливальний рух не повторюється через однакові проміжки часу. Для коливань, які слабо затухають, понят­тя періоду зберігають. Графік затухаючих коливань пока­зано па малюнку 12. Оскільки сили тертя трохи сповіль­нюють рух коливальної системи, то період затухаючих коливань поступово спадає.

Графік затухаючих коливань неважко дістати, скори­ставшись маятником з лійкою, заповненою піском.

Амплітуда затухаючих коливань і період залежать від характеру сил опору. Практично найбільш цікавим і по­ширеним в випадок малих коливань, при яких звичайно швидкість тіла невелика і сила опору пропорційна швид­кості:

F_o= — bv, (5.1)

де b — стала, яку називають коефіцієнтом опору; знак мінус показує, що сила опору і швидкість мають проти­лежні напрями.

Рівняння коливального руху при врахуванні сил опору стане дещо складнішим (воно має включати додаткову силу F_o= — bv):

Поділивши всі члени цього рівняння на т і позначивши одержимо рівняння руху в такому вигляді:

(5.2)

(5.2)

Це також лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами, які залежать від параметрів системи і коефіцієнта опору Ь. Воно від­різняється від (2.2) наявністю члена з першою похідною від х. Підкреслимо, що коли 6=0, то (5.2) переходить у (2.2). В математиці доводиться, що розв'язком рівняння (5.2) є така функція від t:

(5.3)

де є — основа натуральних логарифмів. Графік цієї функції показано на малюнку 13. Пунктирними лініями показано межі, в яких знаходиться зміщення коливної точки х. З рівняння (5.3) видно, що внаслідок спільної дії пруж­них сил F= —kx і сил опору Fo= — bv система здійснює

коливальний рух, амплітуда якого х,_пе ⁽" зменшується з часом за експоненціальним законом, тобто в системі виникають затухаючі коливання.

Автоколивання

Під час затухаючих коливань енергія системи витра­чається на подолання опору середовища. Якщо компенсу­вати ці втрати енергії, коливання стають незатухаючими. Поповнення енергії системи може здійснюватися за раху­нок зовнішньої періодичної сили, причому ця сила має діяти в такт з коливаннями, інакше вона може послабити їх або припинити зовсім. Можна зробити так, щоб коли­вальна система сама керувала зовнішнім впливом, забезпе­чуючи узгодженість дії сили із своїм рухом. Така система називається автоколивальною, а здійснювані нею незатухаючі коливання — автоколиваннями.

На відміну від вимушених коливань, частота й амплі­туда автоколивань визначаються властивостями самої коливальної системи. Автоколкзання відрізняються також від вільних коливань. По-перше, вони з часом не затуха­ють, по-друге, їх амплітуда не залежить від величини початкового короткочасного вшшву, який збуджує коли­вання.

У будь-якій автоколивальній системі можна виділити три основні елементи: 3) коливальну систему; 2) джерело енергії; 3) пристрій із зворотним зь'язком, який регулює надходження енергії із джерела в коливальну систему. Енергія, що надходить із джерела за період, дорівнює енергії, витраченій у коливальній системі за той самий час.

Прикладом найпростішої механічної автоколивальної системи може бути годинник з маятником (мал. 14). У ньому коливальною системою є маятник, джерелом енер­гії — гиря, піднята над землею, або стальна пружина. Основними деталями пристрою, який здійснює зворотний зв'язок, є храпове колесо 1 і анкер 2. Гиря {пружина) обер­тає храпове колесо. Під час кожного коливання маятника зубець храпового колеса штовхає анкерну вилку, яка роз­гойдує маятник. У результаті запас енергії, витраченої на подолання сил тертя, поповнюється за рахунок енергії гирі, піднятої над землею, або заведеної пружини. Обер­тання стрілок годинника здійснюється за допомогою зубчастих коліс від- храпового колеса.

 

У даному випадку маятник сам «відкриває» і «закриває» доступ енергії із заводного механізму. Під час нормального ходу годинника енергія, яку дістає маятник, дорів­нює втраті енергії на тертя за час між двома діями сил. Якщо почат­кове відхилення маятника пере­вищує нормальне, то втрати на тер­тя будуть більшими, ніж надхо­дження енергії із заводного меха­нізму. Коливання затухають доти, поки не встановиться така амплі­туда коливань, при якій втрати на тертя компенсуються надходжен­ням енергії із джерела. Отже, ам­плітуда автоколивань визначається не енергією початкової дії сили, а співвідношенням між втратами і надходженням енергії, тобто вла­стивостями самої коливальної системи.

У техніці широко застосовують електромеханічні автоколивальні системи, в яких коливання здій­снює механічна система, а надходження енергії регулює­ться спеціальним електричним пристроєм.

Особливо широко автоколивання застосовуються в радіотехніці. Пізніше ви ознайомитеся з будовою авто­коливального генератора незатухаючих електромагнітних коливань.