Геометрична оптика як граничний випадок хвильової оптики

Хвильова оптика розглядає світло як процес поши­рення електромагнітних (світлових) хвиль у просторі. Всі задачі оптики можна розв'язати на основі хвильових уявлень. Однак це вимагає застосування громіздкого

математичного апарата. Ще задовго до з'ясування хвильо­вої природи світла вчені користувалися геометричними методами розв'язування задач на побудову зображень у дзеркалах і лінзах, а також під час розрахунку оптичних приладів. Ці методи становлять зміст геометричної оптики (яку ще називають променевою), в якій явища поширен­ня світла і принципи дії оптичних приладів вивчають на основі уявлень про світлові промені.

Основними поняттями геометричної оптики є промінь і пучок. У ній розглядаються: падіння, відбивання і заломлення променів; розбіжні, збіжні і паралельні пучки променів; хід променів у призмі, лінзі, мікроскопі, телескопі тощо.

Чи означає це, що через лінзи і призми проходять не світлові хвилі, а промені, що від дзеркал відбиваються не хвилі, а промені? Що являють собою світлові промені? Яка їх фізична суть?

Світлові промені — це лінії, вздовж яких поширює­ться світлова хвиля. Зміст понять промінь і пучок стає зрозумілим з такого досліду.

Закриємо вікно картоном з кількома невеликими отво­рами і напустимо в кімнату трохи диму. Ми побачимо, що через отвори в картоні проривається сонячне світло у ви­гляді вузьких циліндричних пучків. Конічні пучки вини­кають, якщо помістити маленьку лампочку в непрозорий ящик з отворами. Циліндричні або конічні пучки, всере­дині яких поширюється світло, називають світловими пучками. Лінії, які вказують напрям поширення світла (у тому числі твірні і осі світлових пучків), називаюсь світловими променями.

Геометрична оптика грунтується на трьох законах: прямолінійного поширення світла (в однорідному середо­вищі), відбивання і заломлення світла. Ці закони можна дістати з хвильової теорії як граничний випадок, коли розміри перешкод — на шляху світла набагато більші, ніж довжина світлової хвилі. Таким чином, використан­ня поняття світлового променя зовсім не обов'язкове для розуміння того, що відбувається під час поширення світла. Воно просто полегшує розгляд.

Уявлення та закони геометричної оптики справедливі лише тією мірою, в якій можна нехтувати явищами інтер­ференції світлових хвиль. Завдяки дифракції світлова хвиля трохи заходить за краї екрана і прямолінійність поши­рення світла порушується. Замість очікуваного за зако­нами геометричної оптики пучка з різко окресленими

твірними, дістанемо пучок, що розширюється, і в якого немає чіткої межі. Помітне свічення спостерігатиметься в конусі (мал. 133), кут розхилу якого можна визначити за фор­мулою , де D — діа­метр діафрагми (отвору в не­прозорому екрані).

Отже, при наявності діаф­рагми (а вона завжди є в будь-якому оптичному приладі) закон прямолінійності поширення світла порупгувться.

Однак у ряді випадків розширення пучка мале

порівняно з діаметром діафрагми, і тоді можна в першому наближенні дифракцією нехтувати.

З малюнка 133 видно, що , а при малих ку-

тах можна вважати, що . Отже,

Умова набуває вигляду, звідки випливав:

(66.1)

Це і в критерій застосовності уявлень про світлові про­мені Іноді кажуть, що геометрична оптика справедлива, якщо розміри діафрагми набагато більші від довжини світ­лової хвилі. Однак цього недостатньо, тому що не вра­ховується відстань L від екрана (місця спостереження) до діафрагми. При значних L умова (66.1) порушується і картина, що спостерігається на досліді, різко відрізняє­ться від розрахованої за законами геометричної оптики, навіть коли отвір і досить великий.

Отже, лише при виконанні умови можливий

перехід від хвильових уявлень до уявлень про світлові про­мені під час розгляду оптичних явищ, тобто геометрична оптика є граничним випадком хвильової оптики.

Закони геометричної оптики

Як відомо з попереднього параграфа, в основі геомет­ричної оптики лежать три закони — прямолінійного по­ширення світла в однорідному середовищі, відбивання

і заломлення світла. Вони були спочатку встановлені дослідним шляхом. Однак хвильова теорія нояснюе їх елементарно, виходячи з принципу Гюйгенса.

Закон прямолінійного поширення світла в однорід­ному середовищі. Нехай S — точкове джерело світле (мал. 134). На шляху світлової хвилі, яка виходить з цього джерела, знаходиться плоский екран NN з отвором А\Ао. Як допоміжну поверхню оберемо площину, що збігається з поверхнею екрана. Розглядатимемо всі точки цієї *пло щини в межах отвору , як джерела вторинних хвиль

Ці хвилі є сферичними поверхнями з центрами у відповід­них вторинних джерелах. Оскільки в різні точки обраної нами допоміжної поверхні світлове збудження приходить в різні моменти часу, то радіуси сферичних поверхонь будуть різними. Так, наприклад, у точку А\ світло від джерела прийде раніше, ніж в Aj, відповідно вторинні хвилі з встигнуть за цей час поширитися далі, ніж із Отже, радіус сферичної поверхні, описаної навколо , буде більшим, ніж для

Очевидно, для всіх вторинних хвиль сума радіусів і від­станей їх центрів від джерела світла S має бути величи­ною сталою. Тому обгинаюча поверхня цих вторинних хвиль буде ділянкою кульової поверхні (на мал. 134 викреслена жирно) всередині конуса з твірними Всередині цього конуса світло від джерела поширюється так, ніби екран відсутній, а поза конусом світла немає.

Закон відбивання світла. Нехай на межу розділення двох середовищ KL падає плоска хвиля і відбивається від неї (мал. 135). Падаючі промені А і В зображають крайні промені цієї хвилі. Згідно з принципом Гюйгенса всі точки

межі розділення середовищ можна розглядати як джерела елементарних хвиль. Перша елементарна хвиля ви­ходить від точки С, куди раніше прийде падаюча хвиля. Далі почергово збуджуватимуться інші точки межі розді­лення, наприклад N, і, нарешті, останньою почне колива­тися точка D, до якої падаюча хвиля дійде найпізніше. На малюнку 135 зображені положення елементарних хвиль для моменту досягнення падаючою хвилею точ­ки D. Обгинаюча поверхня елементарних хвиль PD є фрон­том відбитої хвилі. Ця пряма лежить у площині малюнка, тобто промінь падаючий і промінь відбитий лежать в одній площині, перпендикулярній до поверхні розділення сере­довищ, і утворює з межею розділення такий самий кут, як і падаюча хвиля. Дійсно, швидкості поширення падаючої хвилі і відбитих хвиль однакові. Отже, радіус найбільшої сфери повинен дорівнювати відстані, пройденій падаю­чою хвилею за час від моменту збудження першої до збудження останньої точки.

З малюнка 135 видно, що кут падіння і кут відбиван­ня відповідно дорівнюють кутам, утвореним фронтом па­даючої і фронтом відбитої хвилі з площиною KL. З рівності трикутників CED і CQD виходить, що згадані кути дорів­нюють один одному. Звідси випливає, що кут падіння про­меня світла дорівнює кутові відбивання.

Ми застосували принцип Гюйгенса до пояснення відби­вання світла для випадку плоскої хвиль Таким самим способом будується фронт відбитої сферичної хвилі. Така побудова показана на малюнку 136.

Закон заломлення світла. Нехай плоска світлова хви­ля, обмежена паралельними променями АС і BD (мал. 137), поширюючись в першому середовищі з швид­кістю , доходить до другого середовища, де швидкість

поширення світлових хвиль vo інша, наприклад Кут падіння світла на межу розділення середовищ ST позначимо а. Для визначення напряму поширення світла в другому середовищі побудуємо вторинні напівсферичні хвилі для моменту часу, коли крайній промінь BD досягне межі між середовищами в точці D.

У той час, коли другий крайній промінь АС досягнув точки С, фронт хвилі займає положення СЕ і знаходиться від точки D на відстані ED. Цю відстань світлова хвиля

пройде в першому середовищі з швидкістю за час

За цей час вторинна хвиля з точки С, поширюючись у дру­гому середовищі з швидкістю , утворить півсферу з ра­діусом а дотична до цієї півсфери, проведена через

точку Д утворить з площиною кут , який визначає­ться з рівності:

оскільки відношення дорівнює синусу кута падіння

(див. мал. 137).

Аналогічно можна побудувати вторинну півсферичну хвилю з точки падіння променя MN на межу між середо-

вищами, тобто з точки N. Радіус півсфери буде і кут р\

утворений дотичною до неї, проведеною з точки Д дорівню­ватиме тому самому значенню, яке дає вираз (67.1):

оскільки відношення дорівнює синусу кута падіння.

Звідси випливає, що дотична до півсфери з центром в N суміщається з дотичною і, отже, є обгинаючою вто­ринних хвиль. Таким чином, фронт світлової хвилі в дру­гому середовищі буде площиною LD_y і в ньому світлова хвиля поширюватиметься у напрямі перпендикуляра до цієї площини, тобто під кутом заломлення . З рівності (67.1) випливає, що

(67.2)

тобто відношення синуса кута падіння світла до синуса кута заломлення дорівнює відношенню швидкості поши­рення світлових хвиль у першому середовищі до швид­кості поширення хвиль у другому середовищі. Це від­ношення називають показником заломлення п другого середовища відносно першого, або відносним показником заломлення. Вираз (67.2) є законом заломлення світлових хвиль під час їх поширення з одного однорідного середо­вища в таке саме друге.

Показник заломлення середовища відносно вакууму називають абсолютним показником заломлення цього середовища. Він дорівнює відношенню синуса кута падіння до синуса кута заломлення при переході світлового про­меня з вакууму в дане середовище. Відносний показник заломлення п можна виразити через абсолютні показники заломлення першого і другого середовищ. Дійсно,

оскільки де с — швидкість світла у ва~

куумі, то

(67.3)

Середовище з меншим абсолютним показником заломлен- ]
ня прийнято називати оптично менш густий.;

Закон заломлення світла не важко перевірити на дослі- ] ді. Закріпимо на оптичному диску прозорий півциліндр з матовою задньою поверхнею так, щоб середина плоскої поверхні збіглася з центром диска (мал. 138). Промінь від освітлювача йде вздовж радіуса диска і заломлюється j на плоскій поверхні півциліндра. Хід променя в склі видно і на матовій стінці півциліндра. Переміщенням освітлювача ] змінюють кут падіння променя і відповідно змінюється ] йут заломлення. Значення кутів падіння і заломлення |