Гармонічні коливання. Період, частота, амплітуда і фаза гармонічних коливань

У природі й техніці існує безліч різноманітних коли­вань. Найбільш простими є гармонічні коливання, в яких величина, що характеризує відхилення системи від положення рівноваги, змінюється за синусоїдальним чи косинусоїдальним законом:

де х — величина, яка періодично змінюється, t — час, х_т і (о — сталі величини. Майже всі складні коливання можна подати як суму гармонічних коливань, тому на­далі ми зосередимося на вивченні саме гармонічних коливань.

Розглянемо на прикладі умови виникнення механічних гармонічних коливань. Нехай на гладенькій горизонталь­ній поверхні лежить тіло масою т, яке може ковзати по цій поверхні без тертя (мал. 3). Тіло прикріплене до неру­хомої стінки пружиною, жорсткість якої k. Нехай у пев­ний довільний момент часу t тіло змістили від положен­ня рівноваги в точку з координатою х (мал. З, б). Запи­шемо рівняння руху тіла вздовж осі х. У цьому напрямі на тіло діє лише одна сила — сила пружності пружини F, напрямлена до положення рівноваги. Проекція цієї

сили F= —kx, тому рівняння руху тіла матиме такий вигляд:

та= —kx, (2.1)

або, позначивши коефіцієнт через

де а — проекція прискорення тіла в даний момент часу. З курсу математики 10-го класу ви знаєте, що прискорен­ня — це друга похідна координати по часу (а = х"). Тоді рівняння (2.1) можна записати так:

(2.2)

Розв'язками цього рівняння є гармонічні функції х = = х_т cos tot і х= х_т sin о)£. У цьому легко переконатися, підставивши їх у рівняння (2.2). Дійсно, якщо х —

= Х_т COS <i)t, ТО Х'= —0)Х_т ЗІП 40Ґ, а Х" = — Ьі'²Х_т COS bit =

= — ш²*.

Рівняння (2.2) описує гармонічні коливання тіла. Тут знайшли відображення такі фізичні умови: 1) у положенні рівноваги рівнодійна всіх сил, які діють на тіло, дорівнює нулю; 2) під час зміщення тіла від положення рівноваги на нього діє сила, пропорційна зміщенню х і напрямлена до положення рівноваги.

Отже, ми переконалися, що гармонічні коливання здатне здійснювати будь-яке тіло, якщо на нього діє сила пружності. Тепер переконаємося, що гармонічними будуть і коливання математичного маятника. Відведемо маятник на невелику відстань від положення рівноваги (мал. 4). Рівнодійна сили тяжіння і сили пружності нитки буде напрямлена в бік положення рівноваги. Цю силу можна

записати так: F= — mg sin а. Ми вивчаємо коливання jjjjjjje з малими кутами відхилення. У цьому випадку

gina^-f- ^ТомУ

Величина ^~ стала. Позначимо її через k. Тоді

Отже, незважаючи на те, що коливання пружинного і математичного маятників виникають під дією сил, які мають різну природу (сила тяжіння і сила пружності), залежність сили, що повертає тіло до положення рівно­ваги, від зміщення однакова: ця сила пропорційна зміщен­ню тіла, що коливається, від положення рівноваги і завпеди напрямлена в бік рівноваги. Це одна з характерних власти­востей гармонічних коливань.

Для опису гармонічних коливань, крім переміщення, швидкості та прискорення, вводяться спеціальні для цього виду руху величини. Однією з них є зміщення — проек­ція переміщення тіла, яке коливається, від його положення рівноваги на вісь Ох. Зміщення — величина скалярна. Під час коливального руху значення зміщення безперервно змінюється. Максимальне значення зміщення називають амплітудним, або амплітудою. Позначають амплітуду літерою х.-,, а зміщення в будь-який момент часу — х. Амплітуда може мати різні значення залежно від того, на яку відстань ми зміщуємо тіло від положення рівноваги в початковий момент часу, і від того, яка швид­кість надається при цьому тілу. Інакше кажучи, амплітуда визначається початковими умовами.

Для здійснення коливань потрібен певний час. Трива­лість одного повного коливання називають періодом коливання. Позначають період літерою Т і виражають у секундах.

Фізична величина, обернена до періоду коливань, на­зивається частотою коливань: v = —. Частота визначає

кількість коливань в одиницю часу.

У фізиці й техніці широко використовується поняття циклічної частоти w. Циклічна частота визначає кіль­кість коливань, які відбуваються за 2л секунд. Зв'язок між циклічною частотою w і частотою v можна виразити

так: (о= 2nv. Циклічна частота о> і період коливань Т зв'язані співвідношенням:

«максимальну швидкість. З математичної точки зору обидві ді функції еквівалентні, але їх аргументи відрізняються

зд фазою на оскільки

 

Якщо амплітуда гармонічних коливань задана, коорди­ната тіла, яке коливається, в будь-який момент часу одно­значно визначається аргументом косинуса (або синуса) ср= wt. Величину, яка стоїть під знаком косинуса чи си­нуса, називають фазою коливань, що описуються цими функціями.

Фаза характеризує не лише значення координати, а й інших фізичних величин, наприклад, шзкдкості та прискорення. коливного тіла, які змінюються також за гармонічним законом. Тому можна сказати, що фаза визначає при заданій амплітуді стан коливальної системи

У будь-який МОМеНТ ЧпСу.

Оскільки Відношення —_г по-

казує, яка частина періоду пройшла від початку коливань. Будь-якому значенню часу коливань_; вираженому в част­ках періоду, відповідає значення фази з радіанах. Так,

через час від початку коливань (чверть періоду)

через половину періоду ср= л, через цілий період

і т. д.

Розв'язком диференціального рівняння гармонічних коливань є не лише вираз чи

а й вирази і х«=

де фо — фаза коливань у початковий момент часу і=0, або початкова фаза. її значення залежить від вибору початку відліку часу.

Звичайно початок відліку часу зручно вибирати так, щоб зміщення в цей момент часу було або максимальним, або мінімальним. У тому випадку, коли рівняння гармо­нічних коливань має вигляд х~ х._п зін со£, відлік часу ве­деться з моменту проходження тілом положення рівноваги (при t—0; x= 0), а якщо різняння записано у вигляді відлік часу ведеться від моменту найбіль­шого відхилення від положення рівноваги (при і = 0, х = = х.;:). Цим способом користуються при підрахуванні часу або кількості коливань маятника, оскільки важко зафік­сувати положення кульки в середній точці, де вона має