Магнетизм. Коливання і хвилі

ІV. Лабораторний практикум

Магнетизм. Коливання і хвилі

Лабораторна робота № 4.1

Вивчення гальванометра магнітоелектричної системи

Мета роботи: визначити внутрішній опір гальванометра, ціну поділки по струму і по напрузі.

Теоретичні відомості

(теорію до даної роботи див. також у конспекті лекцій, §§3.10-3.11, 4.1)

Гальванометр магнітоелектричної системи служить для вимірювання малих постійних струмів і напруг . В основі роботи гальванометра лежить дія магнітного поля на рамку з електричним струмом.

Контур зі струмом характеризується магнітним моментом

, (1)

де – сила струму, – площа контура, – одиничний вектор нормалі до площини контура, зв’язаний з напрямком струму правилом правого гвинта (рис.1). Якщо контур зі струмом вмістити в магнітне поле, то на нього діятиме обертаючий момент сили або в скалярній формі

, (2)

де – вектор магнітної індукції, – кут між і (рис.2). В стані рівноваги магнітний момент рамки напрямлений паралельно до ліній магнітної індукції (площина рамки перпендикулярна до ). Чим більший кут між і , тим більший за величиною момент сили повертає рамку в положення стійкої рівноваги. Цей обертаючий момент, згідно з (1) і (2), пропорційний силі струму в рамці. Цим користуються при конструюванні вимірювальних приладів магнітоелектричної системи. Схема такого приладу подана на рис.3. В магнітному полі постійного магніту між нерухомим циліндром А, виготовленим з м’якого заліза, і полюсними башмаками знаходиться прямокутна котушка (рамка) К. Вона укріплена на двох півосях, на одній з яких закріплена вказівна стрілка приладу. За кінцем стрілки розміщена шкала. Струм до рухомої котушки підводиться через дві спіральні пружини. У відсутності струму ці пружини утримують рамку в рівноважному положенні, коли її площина паралельна до . При проходженні через котушку вимірюваного струму на неї діє з боку магнітного поля обертаючий момент сили, пропорціональний силі струму. Під дією цього моменту котушка К повернеться на кут , при якому обертаючий момент зрівноважиться протидіючим моментом, створеним пружинами. Оскільки момент пружних сил пропорційний куту закручування пружини, то із рівності обертаючого і протидіючого моментів випливає, що величина кута повороту пропорційна силі струму. Відповідно і відхилення вказівної стрілки приладу пропорціональне силі струму

, (3)

де – коефіцієнт пропорціональності, який називається ціною поділки приладу по струму, – кількість поділок, на яку відхилилась стрілка при вимірюванні. З (3) знайдемо , тобто ціна поділки гальванометра по струму дорівнює силі струму, який викликає зміщення стрілки приладу на одну поділку.

Згідно з законом Ома, спад напруги на гальванометрі

, (4)

де – внутрішній опір гальванометра. З формули (3) і (4) одержимо

, (5)

де

(6)

ціна поділки гальванометра по напрузі. Для визначення , та використаємо схему, подану на рис.4. Тут – досліджуваний гальванометр, – вольтметр, ; – магазини опорів.

Згідно закону Ома, сила струму на ділянці АС

, (7)

де – напруга на клемах джерела, – опір дільниці кола, який рівний

. (8)

Підставляючи вираз (8) у формулу (7), одержимо

(9)

звідки

.

Очевидно, що

. (10)

В загальному випадку зі зміною змінюється і сила струму .

Спад напруги на дільниці АВ дорівнює

, (11)

де – сила струму, що проходить через гальванометр, – сила струму, що проходить через опір .

За законом Кірхгофа

. (12)

Розв’язуючи систему рівнянь (9), (11) і (12) відносно , одержимо

. (13)

Нехай . Тоді струм, згідно з (13)

, (14)

де

. (15)

Із формули (13)

, (16)

а з виразу (14)

. (17)

Прирівнюючи праві частини одержаних виразів і в (16) і (17), маємо

. (18)

Підставляючи значення і із (10) та (15) в (18) і розв’язуючи одержане рівняння відносно , маємо

. (19)

Ціну поділки по струму визначаємо із рівняння (14)

. (20)

Хід роботи

1. Скласти електричну схему подану на рис.5, де – джерело постійного струму, – гальванометр, – магазини опорів, – перемикач, за допомогою якого змінюють напрямок струму в гальванометрі, – ключ, – вольтметр. Опір має бути великим; магазин опорів та виведені на нуль. Перевірити, чи суміщена стрілка гальванометра з нулем шкали.

2. Замкнути ключ К і підібрати опір такий, щоб стрілка гальванометра відхилилась майже до кінця шкали. Записати показ гальванометра та значення опору . Перемикачем змінити напрямок струму через гальванометр і записати показ гальванометра .

3. Підібрати опір такий, щоб покази гальванометра становили близько (в цьому випадку точність вимірювань буде найбільшою). Записати значення опору , а також покази гальванометра і при двох напрямках струму.

4. Провести ще два таких досліди при незмінних опорах .

5. Знайти ср і ср.

6. Записати покази вольтметра.

7. Обчислити похибки прямих вимірювань для величин .

8. Користуючись формулами 19, 20 і 6, обчислити .

9. Обчислити абсолютну та відносну похибки вимірювання за формулами (21) і (22).

. (21)

. (22)

10. Записати кінцевий результат.

 

Таблиця вимірювань

под.

№ п/п
Ср.

Контрольні запитання

1. Що називається магнітним моментом контура зі струмом? Які його величина, напрямок, одиниця?

2. Записати вираз для момента сили, що діє на контур зі струмом, вміщений в магнітне поле.

3. При якій орієнтації контура зі струмом в магнітному полі обертаючий момент максимальний? В якому випадку він дорівнює нулю?

4. Яка будова і принцип дії гальванометра магнітоелектричної системи?

5. Дайте визначення ціни поділки гальванометра по струму і по напрузі. Встановіть зв’язок між та .

6. Покажіть, що кут повороту рухомої частини гальванометра прямо пропорційний силі струму.

7. Чи можна гальванометром магнітоелектричної системи вимірювати змінні струми? Відповідь обґрунтуйте.

Лабораторна робота № 4.2

Перевірка закону Ампера

Мета роботи: перевірити закон Ампера; обчислити індукцію магнітного поля.

Опис установки

Установка для перевірки закону Ампера зображена на рис.1. Вона складається з фізичного маятника А і електромагніта М. Фізичний маятник тут – мідний провідник, зігнутий у вигляді прямокутної рамки. Сторона рамки ab довжиною розміщена між полюсами електромагніта М перпендикулярно до ліній магнітної індукції; на протилежному до провідника ab кінці маятника закріплені опорні тригранні призми D, що опираються на спеціальні латунні підшипники. Біля опорних призм до кінців с і d припаяні легкі гнучкі провідники П, за допомогою котрих провідник ab включають в електричне коло. Струм в провіднику ab можна змінювати за допомогою реостата R і вимірювати амперметром А. Електромагніт М живиться від джерела напруги. Коло, в котре включений провідник ab, одержує напругу від джерела напруги.

Теоретичні відомості

(теорію до даної роботи див. також у конспекті лекцій, §§4.1, 4.4, 5.1, 5.3)

Нехай у магнітному полі з індукцією знаходиться лінійний елемент струму . На нього з боку поля діє сила, величина і напрямок котрої визначаються законом Ампера

, (1)

або у скалярній формі

, (2)

де – кут між та .

Сила, що діє на провідник зі струмом скінченої довжини, знаходиться з (1) або (2) інтегруванням по всій довжині провідника . (3)Зокрема, для прямолінійного провідника в однорідному магнітному полі з (3) одержимо

. (4)

Напрямок сили Ампера знаходиться за правилом лівої руки (рис.2).

Щоб одержати формулу для обчислення сили Ампера в даній лабораторній роботі, розглянемо рівняння руху фізичного маятника (рамки abcd) Цей маятник здійснює коливання відносно осі cd. Застосуємо до нього основний закон динаміки обертального руху твердого тіла

, (5)

де – момент інерції маятника відносно осі cd, –кутове прискорення, – головний момент зовнішніх сил відносно цієї осі.

У відсутності струму обертовий момент створює сила тяжіння (прикладена до центра мас маятника).

, (6)

де відстань від осі обертання до центра мас, – кут відхилення маятника від положення рівноваги, – маса маятника. Знак “–” показує, що момент сили тяжіння обертає маятник в бік, протилежний відхиленню від рівноваги.

Якщо через провідник ab, що знаходиться в магнітному полі електромагніта М, проходить електричний струм, то на маятник, крім сили тяжіння, діє сила Ампера. Напрямок сили Ампера, в залежності від напрямку струму, або співпадає з напрямком сили тяжіння, або протилежний до нього. Сила Ампера прикладена до провідника ab і створює момент сили

, (7)

де – відстань від провідника ab до осі обертання. Знак “–” в (7) відноситься до випадку, коли сила Ампера напрямлена вниз (рис.3), а знак “+” – коли вгору (рис.4).

Після підстановки (7) і (6) в (5) одержимо

.

Для малих кутів , тому, якщо кут відхилення малий, останнє рівняння можна записати у вигляді

, або .

Введемо позначення

, (8)

тоді останнє рівняння набуде вигляду

. (9)

Вираз (9) – диференціальне рівняння вільних гармонічних коливань, розв’язок котрого

, (10)

де – амплітудне значення кута відхилення, – власна циклічна частота, квадрат якої визначається рівнянням (8). Якщо струм в провіднику ab відсутній, то , і маятник коливається з циклічною частотою . З (8) тоді

. (11)

З (8) і (11) знайдемо , або

. (12)

Циклічна чистота пов’язана з періодом коливань співвідношенням . Врахувавши це, а також виразивши І з (11), запишемо рівняння (12) у вигляді

,

де і – періоди коливань маятника у відсутності та при наявності струму, відповідно. Відношення можна замінити відношенням проміжків часу , за які маятник здійснив однакову кількість коливань. Тоді останнє рівняння набуде вигляду

, (13)

де – постійна лабораторної установки, яка вказана в її паспорті. Таким чином, вимірявши і , за формулою (13) можна розрахувати силу Ампера для кількох значень сили струму і побудувати графік залежності . Оскільки напрямок струму в провіднику ab перпендикулярний до ліній магнітної індукції (див. рис.1), то формула (4) для сили Ампера набуде вигляду

, (14)

де – довжина провідника ab.

В даній лабораторній роботі індукція магнітного поля В залишається незмінною, тому залежність має бути пропорційною. В цьому суть перевірки закона Ампера. Визначивши для даного значення сили струму, з (14) можна визначити індукцію магнітного поля

. (15)

Хід роботи

1. Скласти електричне коло за схемою рис.1.

2. Виміряти час заданої викладачем кількості коливань маятника як без струму (; ключ розімкнений), так і при вказаних значеннях сили струму (; ключ замкнений). Результати вимірювань записати в таблицю Увага! Ключ К, має бути замкненим як при вимірюванні часу t, так і – щоб виключити вплив струмів Фуко.

3. Обчислити за формулою (13) силу Ампера для кожного значення сили струму; результати записати в таблицю 1.

4. Побудувати графік залежності ; вибрати з графіка три експериментальні точки, які лежать на графіку або щонайменше віддалені від нього. Для цих точок порахувати за формулою (15) індукцію магнітного поля. Результати записати в таблицю 2.

5. Визначити середнє значення В.

 

Таблиці вимірювань

Таблиця 1

с =.

№ п/п
І (А)		1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5
t (c)
FA (H)

 

Таблиця 2

.

№ п/п	І (А)	FA (H)	В (Тл)
ср			Вср =

 

Контрольні запитання

1. Сформулювати і записати закон Ампера. Як визначається напрямок сили Ампера?

2. При якій орієнтації провідника зі струмом у магнітному полі сила Ампера максимальна?

3. Дати визначення вектора магнітної індукції, вказати його одиницю в СІ.

4. Які коливання називаються вільними, гармонічними? Записати диференціальне рівняння вільних гармонічних коливань та його розв’язок.

5. Дати визначення основних характеристик гармонічних коливань (амплітуди, частоти, періода, циклічної частоти, фази). Встановити зв’язок між циклічною частотою і періодом.

6. Що таке фізичний маятник? Вивести диференціальне рівняння вільних гармонічних коливань фізичного маятника. Чи будуть коливання маятника гармонічними при великих амплітудах?

7. Як впливає сила Ампера на період коливань фізичного маятника в даній лабораторній роботі? Як зміниться період коливань маятника при зміні напрямку струму на протилежний?

8. Вивести робочу формулу для обчислення сили Ампера. Чому при її виведенні не враховують індукційні струми?

Лабораторна робота № 4.3

Визначення питомого заряду електрона методом магнетрона

Мета роботи: виміряти питомий заряд електрона методом магнетрона.

Теоретичні відомості

(теорію до даної роботи див. також у конспекті лекцій, §§3.17, 4.5)

Найпростіший магнетрон – це вакуумний діод, що знаходиться в однорідному магнітному полі соленоїда, індукція котрого напрямлена вздовж осі системи. Діод складається з циліндричного порожнистого анода радіуса R і катода у вигляді дротини малого радіуса. Катод розміщений вздовж осі циліндричного анода.

Електрони, що вилітають з розжареного катода під дією електричного поля, створеного між анодом і катодом, прямують до анода. При цьому силами поля виконується робота

, (1)

де U – різниця потенціалів між анодом і катодом, е – елементарний заряд. За рахунок цієї роботи збільшується кінетична енергія електрона. Тому маємо

, (2)

де – маса електрона, – його швидкість. З (2) знайдемо швидкість

. (3)

При наявності магнітного поля, вектор індукції котрого напрямлений вздовж осі катода, на електрон крім електричного поля буде діяти сила Лоренца, що перпендикулярна до вектора швидкості електрона і вектора індукції магнітного поля . На рис.1 зображено зріз магнетрона площиною, перпендикулярною до катода К (як і до анода А та вектора індукції ). Кривою зображена траєкторія руху електрона при наявності дії електричного і магнітного полів. Сила Лоренца дорівнює

. (4)

Оскільки і перпендикулярні, то величина сили Лоренца

. (5)

Якби швидкість електрона була постійною за величиною, то величина сили Лоренца також була б постійною. Електрон рухався б по колу (сила Лоренца при цьому виконує роль доцентрової сили). Маємо

. (6)

Звідси знаходимо радіус кола, по якому рухається електрон

. (7)

Однак, величина швидкості електрона не постійна, тому електрон описує не коло, а більш складну криву. В лампі з катодом і анодом у вигляді коаксіальних циліндрів, коли радіус катода набагато менший радіуса анода, найбільша напруженість електричного поля біля самого катода. Внаслідок цього швидкість електрона суттєво змінюється біля самого катода, а далі є величиною майже постійною. Тому наближено можна вважати, що електрон у магнетроні рухається по колу.

З виразу (7) видно, що чим більша індукція магнітного поля В, тим менший радіус кривизни траєкторії електронів. При деякому критичному значенні індукції магнітного поля В_к електрони, не долітаючи до анода, починають рухатися по колу радіусом . При цьому сила анодного струму І_а повинна різко зменшуватися (рис.2). Дослід показує, що при критичному значенні індукції магнітного поля анодний струм не падає стрибком до нуля, а плавно зменшується (рис.3). Такий хід залежності анодного струму частково пояснюється тим, що електрон, який вилетів з катода, вже має деяку швидкість. Величина її визначається тепловим рухом електронів всередині катода. Щоб зменшити вплив початкових швидкостей, потрібно працювати при більших прискорюючих напругах.

Крім того, плавний спад кривої зумовлений некоаксіальністю катода і анода, наявністю залишкового газу в лампі, неоднорідністю поля соленоїда по висоті анода і т.д.

Із співвідношення (3) і (7) та з врахуванням, що , одержимо

. (8)

Індукція магнітного поля соленоїда, довжина якого співмірна з діаметром d, находиться за формулою

, (9)

де ; – число витків соленоїда.

Остаточно, підставляючи (9) у (8), маємо

. (10)

Співвідношення (10) є робочою формулою для визначення питомого заряду.

Таблиця вимірювань

U =, l =, d =, R =, N=, μ_0=, I_ск=

_Δ U ₀=, _Δ l ₀=, _Δd₀=, _ΔR₀=, _ΔN0=, _Δ(μ₀₎₀=, _Δ(I_ск)₀=

 

Контрольні запитання

1. Яка будова магнетрона? Практичне використання магнетрона.

2. Описати електромагнітне поле в магнетроні.

3. Довести, що сила Лоренца не виконує роботи.

4. При яких умовах виникає сила Лоренца? Яка величина і напрям сили Лоренца?

5. Чому в залежності відсутній різкий спад?

6. Вивести робочу формулу.

Лабораторна робота № 4.4

Вивчення магнітного поля соленоїда за допомогою датчика Холла

Мета роботи: ознайомитися з холлівським методом вимірювання індукції магнітного поля; дослідити залежність індукції магнітного поля в центрі соленоїда від струму; дослідити осьову неоднорідність магнітного поля в соленоїді.

Теоретичні відомості

(теорію до даної роботи див. також у конспекті лекцій, §§4.2-4.3)

1. Соленоїд є системою послідовно з’єднаних однакових колових струмів (рис.1), тому для розрахунку індукції В магнітного поля в довільній точці на осі соленоїда потрібно спочатку розглянути магнітне поле на осі колового струму (одного витка соленоїда) (рис.2). Виберемо елемент струму . Вектор індукції магнітного поля, породженого цим елементом в точці А, положення котрої задається радіус-вектором , визначається законом Біо-Савара-Лапласа (у вакуумі)

, (1)

де – магнітна стала. При цьому можна розкласти на дві складові: – паралельну до осі Z і – перпендикулярну до цієї осі. За принципом суперпозиції вектор індукції магнітного поля, створеного коловим струмом, тобто усіма елементами струму,

. (2)

Тут враховано, що для усякого елементу знайдеться симетричний елемент, що дає складову протилежного напрямку. Якщо врахувати, що усіх елементів напрямлені вздовж осі Z, а також, що і , то після підстановки (1) у (2) отримаємо для індукції магнітного поля на осі колового струму

. (3)

Зауважимо, що в центрі колового струму ()

.

2. Для розрахунку індукції магнітного поля соленоїда розглянемо його осьовий переріз (рис.3),припускаючи постійність щільності намотки вздовж осі Z. Якщо на одиницю довжини соленоїда припадає n витків, то на ділянці довжиною dz буде ndz витків, які в точці А створять магнітне поле з індукцією

. (4)

Врахувавши, що , , після інтегрування (4) по всій довжині соленоїда отримаємо для індукції магнітного поля на осі соленоїда

. (5)

Якщо соленоїд дуже довгий , то і . Тоді

. (6)

Зауважимо, що формулу (6) можна отримати, використавши теорему про циркуляцію вектора індукції магнітного поля. Для дуже довгого соленоїда магнітне поле практично однорідне (силові лінії еквідистантні і паралельні до осі соленоїда). Для реальних соленоїдів, коли нерівність слабка, поле найсильніше в центрі соленоїда і зменшується при наближенні до його кінців.

3. Для визначення індукції магнітного поля на осі соленоїда в цій роботі використовуються напівпровідникові датчики, дія яких грунтується на ефекті Холла,–датчики Холла (ДХ) (рис.4). Нехай для ДХ використано напівпровідниковий кристал з дірковою провідністю (носії струму – дірки (hole)). Якщо вздовж такого кристалу протікає електричний струм з густиною і він розміщений в поперечному магнітному полі з індукцією , то на носії струму, заряд яких е, і які рухаються з дрейфовою швидкістю , буде діяти сила Лоренца

. (7)

Ця сила, як видно з рис.4, буде відхиляти носії до грані 1, і між гранями 1 та 2 виникне поперечне холлівське поле з напруженістю , значення якої визначене з умови рівноваги становить

. (8)

Різниця потенціалів між гранями 1, 2 або холлівська напруга складає

. (9)

Якщо врахувати, що густина струму пов’язана з і концентрацією носіїв Р співвідношенням , то (9) перепишеться як

, (10)

де І – сила струму через кристал, а – постійна Холла.

Оскільки значення i є фіксованими параметрами ДХ, а сила струму через кристал підтримується постійною (для ДХ цієї роботи ), то доцільно ввести коефіцієнт пропорційності , і тоді (10) запишеться як

. (11)

Отже, для визначення значення індукції магнітного поля соленоїда достатньо виміряти холлівську напругу між контактами 1–2 ДХ (рис.5) і помножити її на . Ситуація дещо ускладнюється можливою нееквіпотенціальністю контактів 1, 2, що приво-дить до появи напруги нееквіпотенціальностї навіть при відсутності магнітного поля. В цьому випадку

(12)

де – напруга, що вимірюється вольтметром з великим вхідним опором (чи потенціометром), приєднаним безпосередньо до контактів 1, 2 ДХ. Параметри і а також кількість витків , довжина і діаметр соленоїда задаються як паспортні дані блоку соленоїда.

4. Блок-схема експериментальної установки показана на рис.6.

Блок живлення забезпечує регульований (регулятор Р) струм через соленоїд який вимірюється амперметром А, а також струм ДХ (І=4mA). Датчик Холла розміщений на рухомому штоці з міліметровою шкалою, нульова позначка якої фіксує положення ДХ в центрі соленоїда. Напруга на зондових контактах датчика Холла вимірюється цифровим вольтметром з точністю до третього знаку після коми.

Хід роботи

Завдання 1. Дослідження залежності магнітної індукції в центрі соленоїда від струму соленоїда.

1. Скласти схему, показану на рис.6 (при потребі).

2. Розмістити шток з ДХ в трубі соленоїда в положенні “0” по шкалі (центр соленоїда).

3. Ввімкнути в мережу ~220В БЖ і ЦВ, поставивши перемикач К в положення .

4. Виміряти напругу при різних значеннях струму соленоїда , з кроком А. Дані занести в таблицю 1.

5. За формулою (12) розрахувати , а за (11) – при всіх значеннях струму .

6. Побудувати графік залежності