Електромагнітні коливання і хвилі

Основні формули

1. При вільних коливаннях в контурі, який складається з послідовно з’єднаних конденсатора ємністю С, котушки з індуктивністю L і резистора з омічним опором R, заряд на обкладках конденсатора змінюється за законом:

 

q = q₀ e^-bt × cos (wt + j₀),

 

де q₀ e^{-b t} – амплітуда згасаючих коливань;

b – коефіцієнт згасання;

w – циклічна частота згасаючих коливань;

q₀ i j₀ – початкові значення амплітуди заряду і фази коливань.

 

2. Циклічна частота згасаючих коливань:

 

w =

 

3. Власна циклічна частота коливального контуру:

 

.

4. Добротність коливального контуру:

 

 

або для малих значень R (наближена формула)

 

.

 

5. Якщо в коливальному контурі, який складається з конденсатора ємністю С, котушки резистора з омічним опором R, з’єднаних послідовно, діє періодично діюча е.р.с ξ = ξ₀ cos wt, то в такому колі виникнуть вимушені коливання струму з частотою w

 

I = I₀ cos (wt + j).

 

При цьому величини І₀ і j виражаються формулами:

 

I₀ = ;

 

tg j = .

 

6. Амплітуда струму І₀ досягне найбільшого значення (явище резонансу), якщо частота w вимушених коливань збіжиться з частотою w₀ власних коливань:

w_p = w₀ = .

 

7. Швидкість поширення електромагнітних хвиль в прозорих середовищах:

 

υ = ,

де e і m – діелектрична і магнітна проникності середовища; e₀ і m₀ – електрична і магнітна сталі вакууму.

8. Швидкість поширення електромагнітних хвиль в вакуумі:

 

c = .

 

9. Показник заломлення середовища

 

.

 

10. Рівняння електромагнітних хвиль

 

E_z = E₀ cos (wt - kx);

H_у = H₀ cos (wt - kx),

 

де Е₀ і Н₀ – амплітуди значень векторів напруженості електричного і магнітного полів в електромагнітній хвилі;

k = 2p/l – хвильове число.

 

11. Густина енергії електромагнітних хвиль

 

w = w_e + w_м = E H = E H,

 

де w_е і w_м – густина енергії відповідно електричного і магнітного полів електромагнітної хвилі.

 

12. Вектор густини потоку енергії електромагнітних хвиль, вектор Пойнтінга

 

 

де w – густина енергії поля;

– вектор швидкості електромагнітних хвиль;

і – вектори напруженості електричного і магнітного полів електромагнітної хвилі.

Приклади роз’язування задач

 

Приклад 1. Коливальний контур має індуктивність 1,6 мГн, електричну ємність 0,04 мкФ і максимальну напругу U_max на клемах рівну 200 В. Визначити максимальну силу струму в контурі. Опором контуру знехтувати.

Дано:

L = 1,6 мГн

C = 0,04 мкФ

U_max = 200 В

____________

І_max –?

Розв’язування. Згідно з законом збереження енергії, максимальна енергія електричного поля конденсатора дорівнює максимальній енергії магнітного поля котушки індуктивності. Тому

 

.

Звідки

I_max = U_max .

 

Підставимо числові значення

 

I_max = 200 × = 1 A.

 

Відповідь: І_max = 1 А.

 

Приклад 2. Індуктивність коливального контуру дорівнює 0,5 мГн. Контур резонує на довжину хвилі 300 м. Визначити електроємність такого контуру. Опором контуру знехтувати.

Дано:

L = 0,5 мГн

l = 300 м

__________

С –?

Розв’язування. Виразимо довжину електромагнітної хвилі через швидкість поширення і період коливань контуру

 

l = с Т,

де с = 3 × 10⁸ м/с – швидкість електромагнітних хвиль у вакуумі.

Період коливань контуру дорівнює

 

Т = 2p .

 

Тому

 

l = 2p с .

Звідки знаходимо ємність конденсатора

 

С = .

 

Підставимо числові значення

 

С = = 5,1 × 10^-11 Ф.

 

Відповідь: С = 51 пФ.

 

Приклад 3. В середовищі, для якого e = 4,00 і m = 1,00, поширюється плоска електромагнітна хвиля. Амплітуда електричного вектора хвилі Е_max = 200 В/м. На шляху хвилі розміщена поглинаюча поверхня, яка має форму диска радіусом r = 300 мм. Яку енергію поглинає ця поверхня за t = 1,00 хв? Період хвилі Т << t.

 

Дано:

e = 4,00; m = 1,00

Е_max = 200 В/м

r = 300 мм

t = 1,00 хв

_______________

W –?

Розв’язування. Енергія, яка переноситься електромагнітною хвилею за одиницю часу через одиницю поверхні, перпендикулярно до напрямку поширення хвилі, визначається вектором Пойнтінга

 

, (1)

 

де – вектор густини потоку енергії.

В електромагнітній хвилі вектори і взаємно перпендикулярні, тому модуль вектора Пойнтінга дорівнює

 

. (2)

 

Оскільки обидві величини Е і Н, які характеризують електромагнітну хвилю, в кожній її точці змінюються в часі за законом синуса або косинуса і знаходяться в однакових фазах, співвідношення (2) можна записати так:

 

R = E₀ sin wt H₀ sin wt = E₀ H₀ sin² wt. (3)

 

Таким чином, величина R є функцією часу, а формули (2) і (3) дають лише миттєві значення цієї величини.

Нехай через площадку S в напрямі перпендикулярному до напряму поширення хвилі переноситься за час t енергія W. Тоді густина потоку

 

R = (4)

 

Через площадку S буде перенесена за час t енергія W, яка міститься в об’ємі циліндра з основою S і висотою υt, тобто

 

W = R S t. (5)

 

З урахуванням (3) маємо

 

W = E₀ H₀ S t sin² wt. (6)

 

Згідно з теорією електромагнітних хвиль, густини енергії електричного і магнітного полів хвилі в будь-який момент часу однакові як для Е і Н, так і для Е₀ і Н₀. Тому

 

. (7)

 

З формули (7) знаходимо Н₀ і підставляємо в (6)

 

W = S t sin² wt. (8)

 

Оскільки за умовою задачі Т << t, то величину sin²wt можна усереднити в часі, тобто

.

Остаточно одержуємо

W = .

Підставимо числові значення

W = × 4 × 10⁴ × 9 × 10^-2 × 3,14 × 60 = 1800 Дж.

 

Відповідь: 1800 Дж.

 

 

Задачі

 

303. Точка виконує гармонічні коливання. Найбільше зміщення х_max дорівнює 10 см, найбільша швидкість υ_мах = 20 см/с. Знайти циклічну частоту ω коливань і максимальне прискорення a_max.

Відповідь: 2 с^-1; 40 см/с².

 

304. Точка виконує коливання за законом х = Asinωt. У деякий момент часу зміщення х₁ точки виявилося рівним 5 см. Коли фаза коливань збільшилася вдвічі, зміщення х₂ стало дорівнювати 8см. Знайти амплітуду А коливань.

Відповідь: .

 

305. Рівняння коливань точки має вигляд х = A cosω (t+ τ), де ω= πс ^-1; τ = 0,2 с. Визначити період Т і початкову фазу φ коливань.

Відповідь: 2 с; 36^о.

 

306. Точка виконує коливання за законом х = А cos (ωt+ φ), де А = 4 см. Визначити початкову фазу φ, якщо: а) і б) см і в) х(0) = см і г) х(0)= см і . Побудувати векторну діаграму для моменту часу t = 0.

Відповідь:; ; ; .

 

307. Точка виконує коливання з амплітудою A = 4 см і періодом Т = 2 с. Написати рівняння цих коливань, вважаючи, що в момент часу t = 0 зміщення х(0) = 0 і υ(0)< 0. Визначити фазу (ωt + φ) для двох моментів часу: а) коли зміщення х = 1 см і υ > 0; б) коли швидкість υ = – 6 см/с і х < 0.

Відповідь: , де А = 4см, рад/с, ;

; .

 

308. Точка виконує коливання за законом х = A cosωt, де А = 5 см; = 2 с^-1. Визначити прискорення а точки в момент часу, коли її швидкість υ = 8 см/с.

Відповідь: .

 

309. Максимальна швидкість υ_mах точки, що виконує гармонічні коливання, дорівнює 10 см/с, максимальне прискорення a_mах = 100 см/с²_. Знайти циклічну частоту ω коливань, їх період Т і амплітуду А. Написати рівняння коливань, прийнявши, що початкова фаза дорівнює нулю.

Відповідь: ; 0,628 с; 1 см; .

 

310. Коливання точки відбуваються за законом х = A cos (ωt + φ). У деякий момент часу зміщення х точки дорівнює 5 см, її швидкість υ = 20 см/с і прискорення a = – 80 см/с². Знайти амплітуду А, циклічну частоту ω, період T коливань і фазу (ωt + φ) у розглянутий момент часу.

Відповідь: ; ; ; рад.

 

311. Точка бере участь у двох однаково направлених коливаннях х₁ = А₁ sin ωt і х₂ = А₂ cos ωt, де А₁ = 1 см; А₂ = 2 см; ω =1с^-1. Визначити амплітуду А результуючого коливання, його частоту v і початкову фазу φ. Знайти рівняння цього руху.

Відповідь: А = 2,24 см; ; рад; , де .

 

312. Матеріальна точка виконує гармонічні коливання уздовж осі х за законом: , де t – час у секундах, х – у сантиметрах. Визначити амплітуду зміщення А и період коливань Т. Знайти зміщення х, швидкість і прискорення а матеріальна точки в момент часу t = 4,0 с.

Відповідь: А = 6,0 см; Т = 2 с; х = 4,85 см; υ = 11,07 см/с;

а = 47,6 см/с².

 

313. Частинка виконує прямолінійні гармонічні коливання. Амплітуда швидкості частинки = 22 см/с, амплітуда її прискорення = 77 см/c². Визначити амплітуду зміщення А і циклічну частоту ω коливань частинки.

Відповідь: А = 6,28 см; ω = 3,5 с^-1.

 

314. Матеріальна точка виконує коливання уздовж деякого напрямку за законом , де ω = 1,57 c^-1. Амплітуда швидкості . Знайти для моментів часу , , значення координати х, швидкості і прискорення а точки.

Відповідь: х₁ = 0; х₂ = 0,042м; х₃ = 0,06 м; υ₁ = 0,094 м/с; υ₂ = 0,066 м/с; υ₃ = 0; а₁ = 0; а₂ = 0,1 м/с²; а ₃ = 0,15 м/с².

 

315. Матеріальна точка виконує гармонічні коливання. Найбільше зміщення точки дорівнює 0,1 м, найбільша швидкість 0,2 м/с. Знайти циклічну частоту коливань і максимальне прискорення точки.

Відповідь: ω = 2 с^-1; а_мах. = 0,4м/с².

 

316. Коливання матеріальної точки масою 0,1 г відбуваються за законом: (см). Визначити максимальні значення кінетичної енергії і сили, яка повертає матеріальну точку до положення рівноваги.

Відповідь: K_мах = 4,9^.10^-6 Дж; F_мах = 1,97^.10^-4 Н.

 

317. До спіральної пружини підвісили тягарець, у результаті чого пружина розтяглася на 9 см. Який буде період коливань тягарця, якщо його трохи відтягнути від положення рівноваги, а потім відпустити?

Відповідь: Т = 0,6 с.

 

318. Матеріальна точка виконує прямолінійні гармонічні коливання. Період коливань Т = 2 с, а амплітуда А = 4 см. Знайти швидкість точки у момент часу, коли її зміщення від положення рівноваги х = 2 см.

Відповідь: υ = 0,108 м/с.

 

319. Матеріальна точка виконує прямолінійні гармонічні коливання. Циклічна частота ω = 4 c^-1, амплітуда прискорення = 72 см/c². Визначити швидкість точки у момент часу, коли її зміщення від положення рівноваги х = 2,2 см.

Відповідь: υ = 0,157 м/с.

 

320. Частинка виконує прямолінійні гармонічні коливання. При зміщенні частинки від положення рівноваги на x₁ = 2,6 см її швидкість ₁ = 2,9 см/с, а при зміщенні на x₂ = 3,4 см швидкість частинки ₂ = 1,9 см/с. Визначити амплітуду зміщення А і циклічну частоту коливань частинки.

Відповідь: А = 0,0389 м; ω = 1 с^-1.

 

321. Частинка одночасно бере участь у двох гармонічних коливаннях одного напрямку: x₁ = 4cos4πt (см) і x₂ = 3cоs(4πt + π/2) (см). Визначити циклічну частоту ω, амплітуду А і початкову фазу результуючого коливання частинки. Побудувати векторну діаграму.

Відповідь: ω = 4π с^-1; А = 0,05 м; φ = 36,86^о.

 

322. Написати рівняння руху x(t) частинки, яка одночасно бере участь у двох гармонічних коливаннях одного напрямку: x₁ = 30cosπt/3 і x₂ = 30cos(πt/3 + π/6) мм.

323. Додаються два гармонічних коливання одного напрямку: x₁ = 20cosωt (мм) і x₂ = 20cos(ωt + π/3) (мм). Визначити амплітуду А і початкову фазу результуючого коливання, якщо ω = π с^-1. Написати також рівняння результуючого коливання x(t).

Відповідь: А=34,6 мм: φ = π/6.

 

324. Матеріальна точка одночасно бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях, які виражаються рівняннями: x = sin t (мм) і y = cos (t + 0,5) (мм). Знайти рівняння траєкторії точки y(x) та побудувати його графік.

 

325. Частинка бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях, які виражаються рівняннями: x = 0,50sinωt і y = 1,5cosωt. Знайти рівняння руху частинки y(x). Побудувати графік результуючого траєкторії коливань і вказати на ній напрямок руху частинки.

 

326. Визначити амплітуду і початкову фазу результуючого коливання, утвореного при додаванні двох коливань однакового напрямку і періоду:

x₁ = 10sin3πt (см) і x₂ = 12sin(3πt + /2) (см). Написати рівняння результуючого коливання. Побудувати векторну діаграму.

Відповідь: А = 15,6 см; φ = 39,8^о.

 

327. Зміщення освітленої точки на екрані осцилографа є результатом додавання двох взаємно перпендикулярних коливань, які описуються рівняннями: x = 1,5sin2πt см і y = 3sin2πt см. Написати рівняння результуючого коливання y(x) і побудувати його траєкторію.

 

327. Додаються два гармонічних коливання одного напрямку з однаковими періодами Т₁ = Т₂ = 1,5 с і амплітудами А₁ = А₂ = 2 см. Початкові фази коливань φ₁ = π/2, φ₂ = π/3. Визначити амплітуду А і початкову фазу результуючого коливання. Знайти його рівняння і побудувати з дотриманням масштабу діаграму додавання амплітуд.

Відповідь: А= 3,86 см; φ = 75^о.

 

329. Точка рухається в площині x y за законом x = Asinωt і y = Bcosωt, де А = В = 10 см, = 2,0 рад/с. Знайти рівняння траєкторії руху точки y(x) і її прискорення у момент часу 2 с.

Відповідь: а = 0,4 м/с².

 

330. Матеріальна точка одночасно бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях, які виражаються рівняннями: x = 5cosπt см і y = 10cosπt см. Знайти рівняння траєкторії точки y(х) і швидкість точки в момент часу 1 с.

Відповідь: υ = 0.

331. Частинка виконує прямолінійні згасаючі коливання з періодом Т = 4,5 с. Початкова амплітуда коливань A_o = 0,16 м, а амплітуда після 20 – ти повних коливань А = 0,01 м. Визначити коефіцієнт згасання β і логарифмічний декремент згасання . Написати рівняння коливань частинки, прийнявши початкову фазу коливань = 0.

Відповідь: β = 0,03 с^-1; δ = 0,135.

 

332. Математичний маятник довжиною l = 1 м виконує згасаючі коливання в середовищі, логарифмічний декремент згасання якого ₁ = 1,26. Визначити логарифмічний декремент згасання ₂ маятника, якщо опір середовища зросте в 2 рази.

Відповідь: δ₂ = 2,52.

 

333. Знайти коефіцієнт згасання β і логарифмічний декремент згасання математичного маятника, якщо відомо, що за час τ = 100 с коливань повна механічна енергія маятника зменшилася в десять разів. Довжина маятника l = 0,98 м.

Відповідь: β=0,0115 с^-1; = 0,023.

 

334. Тіло масою m = 12 г виконує згасаючі коливання з частотою

ω = 3,14 c^-1. При цьому за час τ = 60 с тіло втрачає 0,9 своєї повної механічної енергії. Знайти: а) коефіцієнт згасання β; б) коефіцієнт опору середовища r.

Відповідь: β = 0,019 с^-1; r = 4,56^.10^-4 кг/с.

 

335. Амплітуда згасаючих коливань маятника за час t₁ = 5 хв. зменшилася у 2 рази. За який час, від початкового моменту, амплітуда зменшилася у вісім разів?

Відповідь: t₂ = 15 хв.

 

336. Енергія згасаючих коливань маятника, які відбуваються у деякому середовищі, протягом 120 с зменшилася у 100 разів. Визначити коефіцієнт опору середовища, якщо маса маятника дорівнює 0,2 кг.

Відповідь: r = 0,0076 кг/с.

 

337. Знайти логарифмічний декремент згасання математичного маятника довжиною 50 см, якщо за проміжок часу 5 хв. його повна механічна енергія зменшилася в 4·10⁴ разів.

Відповідь: δ = 0,025.

 

338. Знайти число повних коливань системи, протягом яких енергія системи зменшилася у 2 рази. Логарифмічний декремент згасання = 0,01.

Відповідь: N = 34,6.

 

339. Тіло масою 5·10^{-3 кг} виконує згасаючі коливання. Протягом часу τ= 50 с тіло втратило 60% своєї енергії. Визначити коефіцієнт опору середовища.

Відповідь: r = 9,16^.10^-5 кг/с.

 

340. Визначити період згасаючих коливань, якщо період власних коливань системи дорівнює 1 с, а логарифмічний декремент згасання дорівнює = 0,628.

Відповідь: Т = 1,005 с.

 

341. Складаються два взаємно перпендикулярних коливання, що описуються рівняннями х = А₁ sin ωt і y = А₂cosω(t+ τ), де А₁ = 2 см; A₂ = 1 см; ω= π с ^-1; τ = 0,5 с. Знайти рівняння траєкторії і побудувати її, зазначивши напрямок руху точки.

Відповідь: або .

 

342. Амплітуда згасаючих коливань маятника за час τ ₁ = 2хв зменшилася у три рази. За який час τ ₂, рахуючи від початкового моменту, амплітуда зменшиться у десять разів?

Відповідь: τ ₂= 4,18 хв.

 

343. Амплітуда коливань маятника довжиною l = 1м за час τ = 10 хв. зменшилася у два рази. Визначити логарифмічний декремент коливань .

Відповідь: .

 

344. Гиря масою m = 500 г підвішена до спіральної пружини жорсткістю k = 20 Н/м і виконує пружні коливання у деякому середовищі. Логарифмічний декремент коливань = 0,004. Визначити кількість N повних коливань, які повинна виконати гиря, щоб амплітуда коливань зменшилася в n = 2 рази. Коефіцієнт опору середовища дорівнює r = 4^.10^-3 кг/с. За який час τ відбудеться це зменшення?

Відповідь: ; .

 

345. Визначити період Т_о власних коливань, якщо період T згасаючих коливань системи дорівнює 2с і логарифмічний декремент згасань = 0,628.

Відповідь: Т = 1,96 с.

 

346. Знайти кількість N повних коливань системи, протягом яких енергія системи зменшилася в n = 2 рази. Логарифмічний декремент коливань = 0,01.

Відповідь: N = 35.

 

347. Вагон масою m = 80 т має чотири ресори. Жорсткість k пружин кожної ресори дорівнює 500 кН/м. При якій швидкості υ вагон почне сильно розгойдуватися внаслідок поштовхів на стиках рейок, якщо довжина l рейки дорівнює 12,8 м?

Відповідь: .

 

348. Визначити амплітуду А і початкову фазу φ результуючого коливання, що виникає при додаванні двох коливань однакових напрямків і періодів: х₁ =А₁ sinωt і х₂=A₂ sin ω(t + τ), де А₁= А₂ = 1см; ω = π с^-1; τ = 0,5 с. Знайти рівняння результуючого коливання.

Відповідь: A = 1,41 см; ; .

 

349. Точка бере участь одночасно у двох гармонічних коливаннях, що відбуваються у взаємно перпендикулярних напрямках і описуються рівняннями х = А₁ cos ωt і y = А₂ cos ω(t+τ), де А₁ = 4 см; А₂ = 8 см; ω = π с ^-1; τ = 1 с. Знайти рівняння траєкторії точки і побудувати графік її руху.

Відповідь: або .

 

350. За час t = 8 хв. амплітуда згасаючих коливань маятника зменшилася у три рази. Визначити коефіцієнт згасання β.

Відповідь: β = 0,0023 с^-1.

 

351. Логарифмічний декремент коливань δ маятника дорівнює 0,003. Визначити кількість N повних коливань, які повинен виконати маятник, щоб їх амплітуда зменшилася у два рази.

Відповідь: .

 

352. Тіло масою m = 15 г бере участь у згасаючих коливаннях. Протягом часу t = 30 с тіло втратило 50% своєї енергії. Визначити коефіцієнт згасання середовища .

Відповідь: = 0,0115с^-1.

353. Тіло масою m = 1 кг міститься у в’язкому середовищі з коефіцієнтом опору r = 0,05 кг/с. За допомогою двох однакових пружин жорсткістю k = 50 Н/м кожне тіло утримується в положенні рівноваги, пружини при цьому недеформовані. Тіло змістили від положення рівноваги і відпустили. Визначити: а) коефіцієнт згасання β; б) частоту v коливань; в) логарифмічний декремент коливань δ; г) кількість N коливань, після яких амплітуда зменшиться в е разів.

Відповідь: а) β = 0,025с^-1; б) v = 1,59 Гц; в) δ = 0,0157; г) N = 64.

 

354. Коливальна система бере участь у згасаючих коливаннях з частотою v = 1000 Гц. Визначити частоту v₀ власних коливань, якщо резонансна частота v_peз = 998 Гц.

Відповідь: v₀ = 1002 Гц.

 

355. Визначити, наскільки резонансна частота відрізняється від частоти v₀ = 1 кГц власних коливань системи, що характеризується коефіцієнтом згасання β = 400 с-¹.

Відповідь: .

 

356. При незмінній амплітуді змушувальної сили, амплітуда вимушених коливань при частотах ν₁ = 100 с^-1 і ν₂ = 200 с^-1 виявилася однаковою. Знайти резонансну частоту.

Відповідь: ν_рез. = 122,5 Гц.

 

357. Визначити, на скільки резонансна частота відрізняється від частоти = 900 Гц власних коливань системи, яка характеризується коефіцієнтом згасання, рівним β = 500 с^-1.

Відповідь: Δν = 7 Гц.

 

358. Визначити логарифмічний декремент згасання коливань коливальної системи, для якої резонанс спостерігається при частоті, меншій власної частоти на 2 Гц. Власна частота коливань системи дорівнює ν₀ = 10 кГц.

Відповідь: δ = 0,09.

 

359. Пружинний маятник (жорсткість пружини якого дорівнює k =10 Н/м, маса тягарця 0,1 кг) виконує змушені коливання у в’язкому середовищі з коефіцієнтом опору r = 2·10^-2 кг/с. Визначити коефіцієнт згасання і резонансну амплітуду, якщо амплітудне значення змушувальної сили дорівнює 10^-3 Н.

Відповідь: β = 0,1 с^-1; А_{рез .} = м.

 

360. У скільки разів амплітуда вимушених коливань менша резонансної амплітуди, якщо частота змушувальної сили у 2 рази більша резонансної частоти, а коефіцієнт згасання в обох випадках дорівнює 0,1 _о ( _о – циклічна частота власних коливань)?

Відповідь: А_рез./А = 15.

361. Коливальний контур радіоприймача складається з котушки індуктивністю 100 мГн і змінного конденсатора, ємність якого може змінюватися в межах від 9,7 до 92 пФ. У якому діапазоні довжин хвиль може працювати цей радіоприймач?

Відповідь: λ₁ = 1855,5 м; λ₂ = 5714,4 м.

 

362. Плоский конденсатор складається з двох круглих пластин діаметром 8 см. Між пластинами затиснута скляна пластинка ( = 6) товщиною 5 мм. Обкладки конденсатора замкнуті через котушку з індуктивністю 0,02 Гн. Визначити частоту коливань, яка виникає у цьому контурі.

Відповідь: ν = 1,55^.10⁵ Гц.

 

363. Коливальний контур складається з котушки індуктивністю 0,003 Гн і плоского конденсатора. Пластини конденсатора у вигляді дисків радіусом 1,2 см розташовані на відстані 0,3 мм одна від одної. Яким буде період коливань, якщо конденсатор заповнити діелектриком з діелектричною проникністю = 4?

Відповідь: Т = 1,256^.10^-6 с.

 

364. Котушка індуктивністю 30 мкГн приєднана до плоского конденсатора з площею пластин 0,01 м² і відстанню між ними 0,1 мм. Знайдіть діелектричну проникність середовища, яке заповнює простір між пластинами, якщо контур налаштований на частоту 400 кГц.

Відповідь: ε = 6.

365. Максимальна напруга в коливальному контурі, який складається з котушки індуктивністю 5 мкГн і конденсатора ємністю 1330 пФ, дорівнює 1,2 В. Опір котушки безмежно малий. Визначити максимальне значення сили струму в контурі.

Відповідь: І_мах = 0,02 А.

 

366. На конденсаторі, ввімкнутому в коливальний контур, максимальна напруга дорівнює 100 В. Ємність конденсатора 10 пФ, індуктивність 1,6 мГн. Напишіть рівняння залежності електричної і магнітної енергії в контурі. Визначити максимальне значення сили струму в контурі.

Відповідь: І_мах = 7,9^.10^-3 А.

367. У коливальному контурі індуктивність котушки дорівнює 0,2 Гн. Амплітуда сили струму 40 мА. Знайдіть енергію магнітного поля котушки й енергію електричного поля конденсатора в момент, коли миттєве значення сили струму в 2 рази менше амплітудного. Опором у контурі знехтувати.

Відповідь: W_e = 1,2^.10^-4 Дж; W_м = 0,4^.10^-4 Дж.

368. Коливальний контур складається із котушки індуктивністю 4 Гн і конденсатора ємністю 1 мкФ. Амплітуда коливань заряду на обкладках конденсатора дорівнює 100 мкКл. Визначити максимальне значення напруги на обкладках конденсатора і максимальне значення струму в котушці.

Відповідь: І_мах = 5^.10^-2 А; U_мах = 100 В.

 

369. Коливальний контур містить конденсатор ємністю С = 8 пФ і котушку індуктивністю L = 0,5 мГн. Опором контура знехтувати. Яка максимальна напруга U_max на обкладках конденсатора, якщо максимальна сила струму в контурі I_max = 40 мА?

Відповідь: U_мах = 316 В.

370. Котушка (без сердечника) довжиною l = 50 см і перерізом S₁ = 3 см² має N = 1000 витків і з'єднана паралельно з конденсатором. Площа кожної пластини конденсатора S₂ = 75 см², відстань між пластинами d = 5 мм, діелектрик – повітря. Знехтувавши активним опором контура, знайти період Т його коливань.

Відповідь: Т = 6,26^.10^-7 с.

 

371. Знайти відношення енергії магнітного поля до енергії електричного поля для моменту часу t = T/8, вважаючи, що коливальні процеси відбуваються у ідеальному коливальному контурі.

Відповідь: W_м/W_e = 1.

372. Ємність коливального контуру 1,0 мкФ, а індуктивність 10 мГн. Який омічний опір потрібно ввімкнути в коло, щоб зменшити резонансну частоту незатухаючих коливань на 0,01%?

Відповідь: R = 2,0 Ом;

373. На яку довжину хвилі буде резонувати контур, який складається з котушки індуктивністю 4 мкГн і конденсатора ємністю 1,11 нФ?

Відповідь: λ = 125,5 м.

374. Котушка, індуктивність якої L = 30 мкГн, приєднана до плоского конденсатора. Площа кожної пластини S = 100 см², відстань між ними d = 0,1 мм. Визначити діелектричну проникність середовища, яке заповнює простір між пластинами, якщо контур резонує на монохроматичну електромагнітну хвилю, довжина якої = 750 м.

Відповідь: ε = 6.

 

375. На яку довжину хвилі налаштований коливальний контур радіоприймача, якщо він має індуктивність L = 1,5 мГн і ємністю С = 0,67 нФ? Активним опором контуру знехтувати.

Відповідь: λ = 1888,7 м.

 

376. Задано рівняння плоскої хвилі U_{(x, t)} = A cos (ωt - kx), де А = 0,5 см; = 628 с^-1; k = 2 м^-1. Визначити: а) частоту коливань v і довжину хвилі λ; б) фазову швидкість υ; в) максимальні значення швидкості υ_max і прискорення а_mах коливань частинок середовища.

Відповідь: а) 100 Гц, 3,14 м; б) 314 м/с; в) 3,14 м/с, 1972 м/с².

 

377. Плоска звукова хвиля має період Т= 3 мс, амплітуду A = 0,2 мм і довжину хвилі λ = 1,2 м. Для точок середовища, віддалених від джерела коливань на відстань х =2 м, знайти: а) зміщення U_{(х, t)} у момент t = 7 мс; б) швидкість υ і прискорення a для того самого моменту часу. Початкову фазу коливань прийняти рівною нулю.

Відповідь: а) – 0,1 мм; б) 0,00254 м/с, 0,0429 кг/с².

 

378. Визначити різницю фаз коливань джерела хвиль, що містяться у пружному середовищі, і точки цього середовища, віддаленої на х = 2 м від джерела. Частота v коливань дорівнює 5 Гц; хвилі поширюються зі швидкістю υ = 40 м/с.

Відповідь: 1,57 рад.

379. Знайти швидкість υ звуку в повітрі при температурах Т₁ = 290 К і Т₂ = 350 К.

Відповідь: 339 м/с; 375 м/с.

 

380. Є два джерела, що створюють коливання в однаковій фазі і збуджують у навколишнім середовищі плоскі хвилі однакової частоти і амплітуди (А₁= А₂ = 1 мм). Знайти амплітуду А коливань точки середовища, віддаленої від одного джерела коливань на відстань х₁ = 3,5 м і від іншого – на х₂ = 5,4 м. Напрямки коливань у розглянутій точці збігаються. Довжина хвилі λ = 0,6 м.

Відповідь: 1,73 мм.

 

381. У трубі довжиною l = 1,2 м міститься повітря при температурі

Т = 300 К. Визначити мінімальну частоту можливих коливань повітряного стовпа у д