Гармонічні коливання і хвилі

С. Г. Авдєєв, Т. І. Бабюк

О. С. Камінський

ЗБІРНИК ЗАДАЧ З ФІЗИКИ

Частина 2

(коливання і хвилі, хвильова і квантова оптика)

Міністерство освіти і науки України

Вінницький національний технічний університет

С. Г. Авдєєв, Т. І. Бабюк

О. С. Камінський

ЗБІРНИК ЗАДАЧ З ФІЗИКИ

Частина 2

(коливання і хвилі, хвильова і квантова оптика)

Вінниця

ВНТУ

УДК 530(078)

ББК 22.3я77

А18

 

Рекомендовано до друку Вченою радою Вінницького національного технічного університету Міністерства освіти і науки України (протокол № 5 від 24.12.09 р.)

 

Рецензенти:

І. О. Сівак, доктор технічних наук, професор

О. В. Осадчук, доктор технічних наук, професор

В. Г. Дзісь, кандидат фізико-математичних наук, доцент

 

Авдєєв, С. Г.

А18Збірник задач з фізики. Ч. 2 (коливання і хвилі, хвильова і квантова оптика): навчальний посібник / С. Г. Авдєєв, Т. І. Бабюк, О. С. Камінський. – Вінниця: ВНТУ, 2010. – 122 с.

Збірник задач складається з розділів “Механіка, електрика і електромагнетизм”, які традиційно викладаються в одному триместрі. Кожен окремий розділ супроводжується короткими теоретичними викладками і прикладами розв’язування задач.

В першу чергу збірник задач призначений для організації та проведення практичних занять з курсу загальної фізики студентами вищих технічних навчальних закладів. Велика кількість і різноманітність задач, які ввійшли до збірника задач, дозволяє широко організовувати самостійну та індивідуальну роботу студентів.

УДК 53(078)

ББК 22.3я77

© С. Авдєєв, Т. Бабюк, О. Камінський, 2010

ЗМІСТ

Частина 2

 

Гармонічні коливання і хвилі. Основні формули...................................... 3

Приклади розв’язування задач.................................................................. 8

Механічні хвилі. Основні формули.......................................................... 23

Приклади розв’язування задач................................................................. 27

Електромагнітні коливання і хвилі. Основні формули............................ 33

Приклади розв’язування задач................................................................. 36

Задачі.......................................................................................................... 39

Інтерференція світла. Основні формули................................................... 53

Приклади розв’язування задач................................................................. 61

Дифракція світла. Основні формули......................................................... 63

Поляризація світла. Основні формули..................................................... 67

Приклади розв’язування задач................................................................. 69

Дисперсія світла. Основні формули.......................................................... 73

Приклади розв’язування задач................................................................. 75

Теплове випромінювання. Основні формули........................................... 77

Приклади розв’язування задач................................................................. 78

Фотоефект. Основні формули................................................................... 82

Приклади розв’язування задач................................................................. 83

Тиск світла. Основні формули.................................................................. 85

Приклади розв’язування задач................................................................. 85

Ефект Компотна. Основні формули.......................................................... 86

Приклади розв’язування задач................................................................. 87

Задачі.......................................................................................................... 88

Література................................................................................................ 116

Додаток А................................................................................................. 117

Довідкові таблиці..................................................................................... 119

 

Частина 2

ГАРМОНІЧНІ КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ

Основні формули

1. Зміщення, швидкість і прискорення матеріальної точки при гармонічних коливаннях визначаються рівняннями:

 

х = А cos (w t + j₀),

υ = - A w sin (wt + j₀),

a = - A w²cos (wt + j₀) = - w² x,

 

де А – амплітуда коливань;

w – циклічна частота;

j₀ – початкова фаза коливань.

2. Зв’язок циклічної частоти w з періодом коливань Т і частотою n:

 

w = = 2 p n.

 

3. Сила, яка діє на тіло при вільних гармонічних коливаннях (квазіпружна сила):

 

F = ma = - m w² x = - k x,

 

де k = mw² – коефіцієнт квазіпружної сили, який вимірюється силою, що викликає зміщення х = 1.

4. Кінетична, потенціальна і повна енергії гармонічних коливань матеріальної точки:

,

 

,

 

.

 

5. Диференціальні рівняння малих коливань:

а) математичний маятник

 

+ x = 0, де , звідки T = 2p ;

 

б) пружинний маятник

 

+ x = 0, де , звідки Т = 2p ;

 

в) фізичний маятник

 

+ x = 0, де , звідки T = 2p ,

 

де І – момент інерції маятника відносно осі коливань;

l – відстань від осі коливань до центра мас маятника;

– зведена довжина.

При відсутності опору середовища циклічна частота коливань w називається власною циклічною частотою і позначається через w₀.

6. При додаванні двох однаково направлених гармонічних коливань однакового періоду одержуємо гармонічне коливання того ж періоду, амплітуда якого А і початкова фаза j₀ визначаються рівняннями:

 

,

 

tq j₀ = ,

 

де А₁ і А₂ – амплітуди коливань, що складаються;

j₁ і j₂ – початкові фази цих коливань.

7. При додаванні двох однаково направлених гармонічних коливань однакової амплітуди і близьких частот (w₁ » w₂) одержуємо биття, яке описується рівнянням:

 

x = cos ,

 

 

де – амплітуда биття.

 

Періодичність зміни амплітуди визначається періодичністю зміни модуля косинуса, тому період биття дорівнює:

 

T_б = , звідки T_б = .

 

8. При додаванні двох взаємно перпендикулярних гармонічних коливань з однаковою частотою в напрямі координатних осей х і у матимемо рівняння траєкторії результуючого руху матеріальної точки:

 

cos(j₂ - j₁) = sin² (j₂ - j₁),

 

де А₁ і А₂ – амплітуди коливань, що додаються;

j₂ - j₁ – різниця фаз цих коливань.

9. Диференціальне рівняння згасаючих коливань:

 

0

або

де b = – коефіцієнт згасання;

r – коефіцієнт опору середовища;

– власна циклічна частота коливань.

10. Загальний розв’язок диференціального рівняння для згасаючих коливань має вигляд:

x = A₀e^-bt cos (wt + a),

 

де А₀е^-bt – амплітуда згасаючих коливань;

w – циклічна частота згасаючих коливань.

11. Швидкість зменшення амплітуди згасаючих коливань характеризують логарифмічним декрементом згасання

 

δ= ln ,

 

де δ – логарифмічний декремент згасання;

b – коефіцієнт згасання;

Т – період згасаючих коливань.

12. Циклічна частота згасаючих коливань

 

w = або w = .

13. Період згасаючих коливань:

 

T = або Т = .

14. Добротність коливальних систем

 

q = 2p або q = ,

 

де W_t – повна енергія, яку має коливальна система на момент часу t;

DW_{(t=T )} – втрати енергії коливальної системи за один період;

δ – логарифмічний декремент згасання;

b – коефіцієнт згасання;

w₀ – власна циклічна частота коливань;

Т – період згасаючих коливань (при малих згасаннях Т» Т₀).

 

15. Диференціальне рівняння вимушених коливань

 

 

або

,

 

де F₀ – вимушувальна сила;

w – циклічна частота вимушених коливань.

 

16. Загальний розв’язок диференціального рівняння вимушених коливань, які протягом певного часу встановлюються під дією вимушувальної сили має вигляд:

 

x = A cos (wt + a),

 

де А – амплітуда вимушених коливань;

a – зсув за фазою вимушених коливань і вимушувальної сили.

17. Амплітуда вимушених коливань

 

A = ,

де f₀ = ;

w₀ – власна частота коливань системи;

w – циклічна частота вимушувальної сили.

18. Зсув фази вимушених коливань:

 

tga = - .

 

19. Резонансна частота і резонансна амплітуда:

 

w_рез = ;

А_рез = .

 

 

МЕХАНІЧНІ ХВИЛІ

 

Основні формули

1. Рівняння плоскої хвилі

,

 

де U_x,t – зміщення точок пружного середовища від положення рівноваги на відстані x від джерела;

А – амплітудне зміщення цих точок;

– хвильове число;

l – довжина хвилі;

w – циклічна частота коливань.

 

Рівняння сферичної хвилі

,

 

де r – радіус-вектор пружного середовища.

3. Зв’язок довжини хвилі з періодом коливань і частотою:

 

де υ – швидкість поширення хвиль в пружному середовищі;

Т – період коливань;

n – частота коливань.

4. Швидкість поширення хвиль (фазова швидкість хвильового руху):

а) поздовжня хвиля в твердому середовищі:

 

 

де Е – модуль Юнга;

r – густина твердого середовища.

б) поперечна хвиля в твердому середовищі:

 

,

де G – модуль зсуву;

r – густина твердого середовища.

в) повздовжня хвиля в рідкому середовищі:

 

,

 

де K – модуль об’ємної пружності рідини;

r – густина рідини.

 

г) поздовжня хвиля в газоподібному середовищі:

,

5. Енергія пружних хвиль:

а) кінетична енергія

,

де m = rSDx – маса виділеного елементу пружного середовища;

– швидкість хвильового руху точок середовища;

б) потенціальна енергія

в) повна енергія хвиль

 

 

г) середні значення повної енергії і густини енергії за час в один період

6. Потік енергії пружних хвиль

R = ,

 

де – середнє значення повної енергії хвиль.

 

7. Вектор потоку енергії пружних хвиль

 

,

де – середня густина енергії пружних хвиль;

– вектор швидкості поширення хвиль в пружному середовищі.

 

8. Ефект Допплера для звукових хвиль

 

n,

 

де – частота звуку яка сприймається приймачем;

n – частота звуку джерела;

с – швидкість поширення звукових хвиль в пружному середовищі;

υ – швидкість руху приймача звуку;

u – швидкість руху джерела звуку (нижній знак – джерело і приймач розходяться; верхній знак – джерело і приймач сходяться).

9. Інтерференція когерентних хвиль:

а) максимуми інтерференції спостерігаються, коли

 

Dj = 2p ­ ± 2n p,

де х₂ - х₁ – різниця ходу двох хвиль;

Dj – різниця фаз хвиль;

l – довжина хвилі;

n = 0, 1, 2, 3,... – порядок max.

 

Або

Dx = (x₂ - x₁) = n × l;

 

б) мінімуми інтерференції спостерігаються, коли:

 

Dj = 2p .

або

D x = (x₂ - x₁) = (2n + 1) l/2.

 

10. Рівняння стоячої хвилі

 

u_x,t =

де u_x,t – зміщення точок середовища від положення рівноваги на відстані х від джерела коливань;

А – амплітуда зміщення;

k = – хвильове число;

w – циклічна частота коливань;

– амплітуда стоячої хвилі.

 

а) координати вузлів стоячої хвилі

 

kx = (2n + 1)p/2 або x = (2n + 1)l/4,

 

де n = 0, 1, 2, 3,...;

х – координати вузлів стоячої хвилі.

 

б) координати пучностей стоячої хвилі

 

kx = np або x = n l,

 

де n = 0, 1, 2, 3,....

Основні формули

1. При вільних коливаннях в контурі, який складається з послідовно з’єднаних конденсатора ємністю С, котушки з індуктивністю L і резистора з омічним опором R, заряд на обкладках конденсатора змінюється за законом:

 

q = q₀ e^-bt × cos (wt + j₀),

 

де q₀ e^{-b t} – амплітуда згасаючих коливань;

b – коефіцієнт згасання;

w – циклічна частота згасаючих коливань;

q₀ i j₀ – початкові значення амплітуди заряду і фази коливань.

 

2. Циклічна частота згасаючих коливань:

 

w =

 

3. Власна циклічна частота коливального контуру:

 

.

4. Добротність коливального контуру:

 

 

або для малих значень R (наближена формула)

 

.

 

5. Якщо в коливальному контурі, який складається з конденсатора ємністю С, котушки резистора з омічним опором R, з’єднаних послідовно, діє періодично діюча е.р.с ξ = ξ₀ cos wt, то в такому колі виникнуть вимушені коливання струму з частотою w

 

I = I₀ cos (wt + j).

 

При цьому величини І₀ і j виражаються формулами:

 

I₀ = ;

 

tg j = .

 

6. Амплітуда струму І₀ досягне найбільшого значення (явище резонансу), якщо частота w вимушених коливань збіжиться з частотою w₀ власних коливань:

w_p = w₀ = .

 

7. Швидкість поширення електромагнітних хвиль в прозорих середовищах:

 

υ = ,

де e і m – діелектрична і магнітна проникності середовища; e₀ і m₀ – електрична і магнітна сталі вакууму.

8. Швидкість поширення електромагнітних хвиль в вакуумі:

 

c = .

 

9. Показник заломлення середовища

 

.

 

10. Рівняння електромагнітних хвиль

 

E_z = E₀ cos (wt - kx);

H_у = H₀ cos (wt - kx),

 

де Е₀ і Н₀ – амплітуди значень векторів напруженості електричного і магнітного полів в електромагнітній хвилі;

k = 2p/l – хвильове число.

 

11. Густина енергії електромагнітних хвиль

 

w = w_e + w_м = E H = E H,

 

де w_е і w_м – густина енергії відповідно електричного і магнітного полів електромагнітної хвилі.

 

12. Вектор густини потоку енергії електромагнітних хвиль, вектор Пойнтінга

 

 

де w – густина енергії поля;

– вектор швидкості електромагнітних хвиль;

і – вектори напруженості електричного і магнітного полів електромагнітної хвилі.

Приклади роз’язування задач

 

Приклад 1. Коливальний контур має індуктивність 1,6 мГн, електричну ємність 0,04 мкФ і максимальну напругу U_max на клемах рівну 200 В. Визначити максимальну силу струму в контурі. Опором контуру знехтувати.

Дано:

L = 1,6 мГн

C = 0,04 мкФ

U_max = 200 В

____________

І_max –?

Розв’язування. Згідно з законом збереження енергії, максимальна енергія електричного поля конденсатора дорівнює максимальній енергії магнітного поля котушки індуктивності. Тому

 

.

Звідки

I_max = U_max .

 

Підставимо числові значення

 

I_max = 200 × = 1 A.

 

Відповідь: І_max = 1 А.

 

Приклад 2. Індуктивність коливального контуру дорівнює 0,5 мГн. Контур резонує на довжину хвилі 300 м. Визначити електроємність такого контуру. Опором контуру знехтувати.

Дано:

L = 0,5 мГн

l = 300 м

__________

С –?

Розв’язування. Виразимо довжину електромагнітної хвилі через швидкість поширення і період коливань контуру

 

l = с Т,

де с = 3 × 10⁸ м/с – швидкість електромагнітних хвиль у вакуумі.

Період коливань контуру дорівнює

 

Т = 2p .

 

Тому

 

l = 2p с .

Звідки знаходимо ємність конденсатора

 

С = .

 

Підставимо числові значення

 

С = = 5,1 × 10^-11 Ф.

 

Відповідь: С = 51 пФ.

 

Приклад 3. В середовищі, для якого e = 4,00 і m = 1,00, поширюється плоска електромагнітна хвиля. Амплітуда електричного вектора хвилі Е_max = 200 В/м. На шляху хвилі розміщена поглинаюча поверхня, яка має форму диска радіусом r = 300 мм. Яку енергію поглинає ця поверхня за t = 1,00 хв? Період хвилі Т << t.

 

Дано:

e = 4,00; m = 1,00

Е_max = 200 В/м

r = 300 мм

t = 1,00 хв

_______________

W –?

Розв’язування. Енергія, яка переноситься електромагнітною хвилею за одиницю часу через одиницю поверхні, перпендикулярно до напрямку поширення хвилі, визначається вектором Пойнтінга

 

, (1)

 

де – вектор густини потоку енергії.

В електромагнітній хвилі вектори і взаємно перпендикулярні, тому модуль вектора Пойнтінга дорівнює

 

. (2)

 

Оскільки обидві величини Е і Н, які характеризують електромагнітну хвилю, в кожній її точці змінюються в часі за законом синуса або косинуса і знаходяться в однакових фазах, співвідношення (2) можна записати так:

 

R = E₀ sin wt H₀ sin wt = E₀ H₀ sin² wt. (3)

 

Таким чином, величина R є функцією часу, а формули (2) і (3) дають лише миттєві значення цієї величини.

Нехай через площадку S в напрямі перпендикулярному до напряму поширення хвилі переноситься за час t енергія W. Тоді густина потоку

 

R = (4)

 

Через площадку S буде перенесена за час t енергія W, яка міститься в об’ємі циліндра з основою S і висотою υt, тобто

 

W = R S t. (5)

 

З урахуванням (3) маємо

 

W = E₀ H₀ S t sin² wt. (6)

 

Згідно з теорією електромагнітних хвиль, густини енергії електричного і магнітного полів хвилі в будь-який момент часу однакові як для Е і Н, так і для Е₀ і Н₀. Тому

 

. (7)

 

З формули (7) знаходимо Н₀ і підставляємо в (6)

 

W = S t sin² wt. (8)

 

Оскільки за умовою задачі Т << t, то величину sin²wt можна усереднити в часі, тобто

.

Остаточно одержуємо

W = .

Підставимо числові значення

W = × 4 × 10⁴ × 9 × 10^-2 × 3,14 × 60 = 1800 Дж.

 

Відповідь: 1800 Дж.

 

 

Задачі

 

303. Точка виконує гармонічні коливання. Найбільше зміщення х_max дорівнює 10 см, найбільша швидкість υ_мах = 20 см/с. Знайти циклічну частоту ω коливань і максимальне прискорення a_max.

Відповідь: 2 с^-1; 40 см/с².

 

304. Точка виконує коливання за законом х = Asinωt. У деякий момент часу зміщення х₁ точки виявилося рівним 5 см. Коли фаза коливань збільшилася вдвічі, зміщення х₂ стало дорівнювати 8см. Знайти амплітуду А коливань.

Відповідь: .

 

305. Рівняння коливань точки має вигляд х = A cosω (t+ τ), де ω= πс ^-1; τ = 0,2 с. Визначити період Т і початкову фазу φ коливань.

Відповідь: 2 с; 36^о.

 

306. Точка виконує коливання за законом х = А cos (ωt+ φ), де А = 4 см. Визначити початкову фазу φ, якщо: а) і б) см і в) х(0) = см і г) х(0)= см і . Побудувати векторну діаграму для моменту часу t = 0.

Відповідь:; ; ; .

 

307. Точка виконує коливання з амплітудою A = 4 см і періодом Т = 2 с. Написати рівняння цих коливань, вважаючи, що в момент часу t = 0 зміщення х(0) = 0 і υ(0)< 0. Визначити фазу (ωt + φ) для двох моментів часу: а) коли зміщення х = 1 см і υ > 0; б) коли швидкість υ = – 6 см/с і х < 0.

Відповідь: , де А = 4см, рад/с, ;

; .

 

308. Точка виконує коливання за законом х = A cosωt, де А = 5 см; = 2 с^-1. Визначити прискорення а точки в момент часу, коли її швидкість υ = 8 см/с.

Відповідь: .

 

309. Максимальна швидкість υ_mах точки, що виконує гармонічні коливання, дорівнює 10 см/с, максимальне прискорення a_mах = 100 см/с²_. Знайти циклічну частоту ω коливань, їх період Т і амплітуду А. Написати рівняння коливань, прийнявши, що початкова фаза дорівнює нулю.

Відповідь: ; 0,628 с; 1 см; .

 

310. Коливання точки відбуваються за законом х = A cos (ωt + φ). У деякий момент часу зміщення х точки дорівнює 5 см, її швидкість υ = 20 см/с і прискорення a = – 80 см/с². Знайти амплітуду А, циклічну частоту ω, період T коливань і фазу (ωt + φ) у розглянутий момент часу.

Відповідь: ; ; ; рад.

 

311. Точка бере участь у двох однаково направлених коливаннях х₁ = А₁ sin ωt і х₂ = А₂ cos ωt, де А₁ = 1 см; А₂ = 2 см; ω =1с^-1. Визначити амплітуду А результуючого коливання, його частоту v і початкову фазу φ. Знайти рівняння цього руху.

Відповідь: А = 2,24 см; ; рад; , де .

 

312. Матеріальна точка виконує гармонічні коливання уздовж осі х за законом: , де t – час у секундах, х – у сантиметрах. Визначити амплітуду зміщення А и період коливань Т. Знайти зміщення х, швидкість і прискорення а матеріальна точки в момент часу t = 4,0 с.

Відповідь: А = 6,0 см; Т = 2 с; х = 4,85 см; υ = 11,07 см/с;

а = 47,6 см/с².

 

313. Частинка виконує прямолінійні гармонічні коливання. Амплітуда швидкості частинки = 22 см/с, амплітуда її прискорення = 77 см/c². Визначити амплітуду зміщення А і циклічну частоту ω коливань частинки.

Відповідь: А = 6,28 см; ω = 3,5 с^-1.

 

314. Матеріальна точка виконує коливання уздовж деякого напрямку за законом , де ω = 1,57 c^-1. Амплітуда швидкості . Знайти для моментів часу , , значення координати х, швидкості і прискорення а точки.

Відповідь: х₁ = 0; х₂ = 0,042м; х₃ = 0,06 м; υ₁ = 0,094 м/с; υ₂ = 0,066 м/с; υ₃ = 0; а₁ = 0; а₂ = 0,1 м/с²; а ₃ = 0,15 м/с².

 

315. Матеріальна точка виконує гармонічні коливання. Найбільше зміщення точки дорівнює 0,1 м, найбільша швидкість 0,2 м/с. Знайти циклічну частоту коливань і максимальне прискорення точки.

Відповідь: ω = 2 с^-1; а_мах. = 0,4м/с².

 

316. Коливання матеріальної точки масою 0,1 г відбуваються за законом: (см). Визначити максимальні значення кінетичної енергії і сили, яка повертає матеріальну точку до положення рівноваги.

Відповідь: K_мах = 4,9^.10^-6 Дж; F_мах = 1,97^.10^-4 Н.

 

317. До спіральної пружини підвісили тягарець, у результаті чого пружина розтяглася на 9 см. Який буде період коливань тягарця, якщо його трохи відтягнути від положення рівноваги, а потім відпустити?

Відповідь: Т = 0,6 с.

 

318. Матеріальна точка виконує прямолінійні гармонічні коливання. Період коливань Т = 2 с, а амплітуда А = 4 см. Знайти швидкість точки у момент часу, коли її зміщення від положення рівноваги х = 2 см.

Відповідь: υ = 0,108 м/с.

 

319. Матеріальна точка виконує прямолінійні гармонічні коливання. Циклічна частота ω = 4 c^-1, амплітуда прискорення = 72 см/c². Визначити швидкість точки у момент часу, коли її зміщення від положення рівноваги х = 2,2 см.

Відповідь: υ = 0,157 м/с.

 

320. Частинка виконує прямолінійні гармонічні коливання. При зміщенні частинки від положення рівноваги на x₁ = 2,6 см її швидкість ₁ = 2,9 см/с, а при зміщенні на x₂ = 3,4 см швидкість частинки ₂ = 1,9 см/с. Визначити амплітуду зміщення А і циклічну частоту коливань частинки.

Відповідь: А = 0,0389 м; ω = 1 с^-1.

 

321. Частинка одночасно бере участь у двох гармонічних коливаннях одного напрямку: x₁ = 4cos4πt (см) і x₂ = 3cоs(4πt + π/2) (см). Визначити циклічну частоту ω, амплітуду А і початкову фазу результуючого коливання частинки. Побудувати векторну діаграму.

Відповідь: ω = 4π с^-1; А = 0,05 м; φ = 36,86^о.

 

322. Написати рівняння руху x(t) частинки, яка одночасно бере участь у двох гармонічних коливаннях одного напрямку: x₁ = 30cosπt/3 і x₂ = 30cos(πt/3 + π/6) мм.

323. Додаються два гармонічних коливання одного напрямку: x₁ = 20cosωt (мм) і x₂ = 20cos(ωt + π/3) (мм). Визначити амплітуду А і початкову фазу результуючого коливання, якщо ω = π с^-1. Написати також рівняння результуючого коливання x(t).

Відповідь: А=34,6 мм: φ = π/6.

 

324. Матеріальна точка одночасно бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях, які виражаються рівняннями: x = sin t (мм) і y = cos (t + 0,5) (мм). Знайти рівняння траєкторії точки y(x) та побудувати його графік.

 

325. Частинка бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях, які виражаються рівняннями: x = 0,50sinωt і y = 1,5cosωt. Знайти рівняння руху частинки y(x). Побудувати графік результуючого траєкторії коливань і вказати на ній напрямок руху частинки.

 

326. Визначити амплітуду і початкову фазу результуючого коливання, утвореного при додаванні двох коливань однакового напрямку і періоду:

x₁ = 10sin3πt (см) і x₂ = 12sin(3πt + /2) (см). Написати рівняння результуючого коливання. Побудувати векторну діаграму.

Відповідь: А = 15,6 см; φ = 39,8^о.

 

327. Зміщення освітленої точки на екрані осцилографа є результатом додавання двох взаємно перпендикулярних коливань, які описуються рівняннями: x = 1,5sin2πt см і y = 3sin2πt см. Написати рівняння результуючого коливання y(x) і побудувати його траєкторію.

 

327. Додаються два гармонічних коливання одного напрямку з однаковими періодами Т₁ = Т₂ = 1,5 с і амплітудами А₁ = А₂ = 2 см. Початкові фази коливань φ₁ = π/2, φ₂ = π/3. Визначити амплітуду А і початкову фазу результуючого коливання. Знайти його рівняння і побудувати з дотриманням масштабу діаграму додавання амплітуд.

Відповідь: А= 3,86 см; φ = 75^о.

 

329. Точка рухається в площині x y за законом x = Asinωt і y = Bcosωt, де А = В = 10 см, = 2,0 рад/с. Знайти рівняння траєкторії руху точки y(x) і її прискорення у момент часу 2 с.

Відповідь: а = 0,4 м/с².

 

330. Матеріальна точка одночасно бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях, які виражаються рівняннями: x = 5cosπt см і y = 10cosπt см. Знайти рівняння траєкторії точки y(х) і швидкість точки в момент часу 1 с.

Відповідь: υ = 0.

331. Частинка виконує прямолінійні згасаючі коливання з періодом Т = 4,5 с. Початкова амплітуда коливань A_o = 0,16 м, а амплітуда після 20 – ти повних коливань А = 0,01 м. Визначити коефіцієнт згасання β і логарифмічний декремент згасання . Написати рівняння коливань частинки, прийнявши початкову фазу коливань = 0.

Відповідь: β = 0,03 с^-1; δ = 0,135.

 

332. Математичний маятник довжиною l = 1 м виконує згасаючі коливання в середовищі, логарифмічний декремент згасання якого ₁ = 1,26. Визначити логарифмічний декремент згасання ₂ маятника, якщо опір середовища зросте в 2 рази.