Закон ома для електричного кола змінного струму

Розглянемо тепер електричне поле, яке містить рези­стор з активним опором R і малою індуктивністю, котушку з великою індуктивністю L і малим активним опором і кон­денсатор ємністю С (мал. 31). Нехай до кола приєднано джерело змінної напруги . З'ясуємо, як зв'яза-

на амплітуда коливань сили струму з амплітудою коли­вань напруги, значеннями і?, L і С і частотою струму; від чого залежить і чому дорівнює зсув фаз між коли­ваннями сили струму в колі і коливаннями напруги, при­кладеної до цього кола.

Ми знаємо, що в колах постійного струму напруга на кінцях кола зав­жди дорівнює сумі напруг на окремих послідовно з'єднаних ділянках. Але якщо виміряти діючі значення напруг в усьому колі і на окремих ділянках кола (див. мал. 31), то виявиться, що діюча напруга в колі не дорівнює сумі напруг на окремих його ділян­ках. Це пояснюється тим, що гар­монічні коливання напруги на різ-

них ділянках кола зсунуті за фа­зою одне відносно одного. Дійсно, після встановлення режиму сила струму однакова на всіх ділянках кола. Це означає, що однакові ам­плітуди і фази струмів, які про­ходять ділянками з ємнісним, ін­дуктивним, активним опорами. Однак лише на активному опорі коливання напруги й сили стру­му збігаються за фазою. На ін­дуктивному опорі коливання на­пруги випереджають коливання

сили струму на , а на ємніс­ному — відстають на . На

малюнку 32, а приведені графіки

цих коливань для цілком певних

значень . Зверніть увагу, що графіки

знаходяться у протифазь

Для будь-якого моменту часу сума миттєвих спадів напруг на Я, L і С завжди дорівнює напрузі, прикладеній до кола від генератора в цей момент часу:

(20.1)

Тому графік напруги и відносно графіка сили струму можна дістати додаванням коливань (мал. 32, б).

На малюнку для порівняння показано і графік сили стру­му. З графіка випливає, що між коливаннями сили струму і напруги є певний зсув фаз. У даному випадку коливання напруги випереджають коливання сили струму. Неважко помітити, що коли змінити якийсь з елементів кола Я, L або С, то зміниться і зсув фаз між силою струму і на­пругою.

Якщо коливання напруги и мають вигляд то для коливань сили струму в загальному випадку можна записати:

де (р — зсув фаз між напругою и і силою струму і в колі.

Для коливань спадів напруг на активному опорі R, індуктивності L і ємності С маємо:

Підставивши замість їх значення у формулу

(20.1), дістанемо

(20.2)

Враховуючи, що ;

(20.3)

Для зручності аналізу перепишемо це рівняння так:

(20.4)

і виконавши тригонометричні перетворення, рівняння (20.2) можна переписати у вигляді:

Одержане рівняння (20.4) повинно виконуватися в будь-який момент часу, а значить і для моментів часу,

коли . Для цих моментів часу з рівняння

(20.4) дістанемо два рівняння:

(20.5)

З цієї системи рівнянь можна визначити . З дру-

гого рівняння

(20.6)

Таким чином, різниця фаз <р між силою струму і на­пругою в колі залежить від частоти w і параметрів кола

звідки

Якщо відомо , то

Величину називають повним

опором кола. Від амплітуд сили струму й напруги можна перейти до діючих значень цих величин. Вони зв'язані такою самою залежністю, як і амплітудні значення:

(20.7)

Це і є закон Ома для кола змінного струму, яке міс­тить послідовно увімкнуті резистор, котушку індуктив­ності і конденсатор.

Із закону Ома (20.7) і виразу для зсуву фаз (20.6) мож­на дістати, як часткові випадки, всі співвідношення для розглянутих нами кіл. Пропонуємо самостійно перекона­тися в цьому.

Вправа З

1. В коло змінного струму з частотою v = 400 Гц увімкнуті по­
слідовно конденсатор ємністю С= 2 мкФ і котушка індуктивності
з L=4'10~~⁴ Тн. Визначити повний опір кола. Активний опір кола
малий^

2. В коло змінного струму з напругою U— 220 В увімкнено послі­
довно конденсатор ємністю С=410"⁵Ф і котушка самоіндукції
з індуктивністю І/=О,ЗГн та активним опором R= 5 Ом. Визначити
силу струму в колі, якщо частота змінного струму v= 50 Гц.

§ 21. Потужність в колі змінного струму

Потужність в колі постійного струму обчислюється у всіх випадках за формулою Р= IU.

За цією формулою можна обчислювати також потуж­ність змінного струму (див. § 16), якщо під І та U розу­міти діючі значення сили струму й напруги і якщо сила струму й напруга збігаються за фазою. Розглянемо, як обчислюється потужність змінного струму в загальному випадку. Нехай напруга в колі змінюється гармонічно за законом . Тоді й сила струму змінювати-

меться гармонічно з тією самою частотою, але у загаль­ному випадку буде зсунута за фазою відносно напруги на кут :

Для миттєвої потужності можна записати:

(21.1)

або

Миттєва потужність змінюється з часом як за модулем, так і за знаком (мал. 33). Протягом однієї частини пері­оду енергія надходить до даної ділянки кола (р>0), але за другу частину періоду певна кількість енергії знову повертається в коло (р<0).

Як правило, у всіх випадках треба знайти середню потужність на ділянці кола за досить великий ін­тервал часу, який містить багато періодів. Оскільки сила струму й напруга мають постійні амплітуди і змінюються однаково, то середнє значення потужності за один період і за будь-яку кількість періодів буде однаковим. Тому

ft середня потужність в колі буде постійною. Отже, для знаходження потужності змінного струму достатньо знайти середню потужність за один період.

Щоб знайти середню потужність за період, перетворимо спочатку формулу (21.1) так, щоб виділити в ній член, який не залежить від часу. З цією метою скористаємося відомою формулою для добутку двох синусів:

У даному випадку . Тому

Членне залежить від часу. На малюнку 34

він показаний прямою MN, паралельною абсцисі. Другий член є синусоїдальною функцією часу. Середнє за період значення дорівнює нулю, оскільки протягом

кожної чверті періоду ця функція пробігає ряд додатних значень, а протягом наступної чверті періоду пробігає такий самий ряд від'ємних значень. Тому середня потуж­ність за період дорівнює першому члену, який не зале­жить від часу:

Перейшовши від амплітудних значень сили струму й напруги до діючих, дістанемо:

j Цю величину називають просто потужністю змінноп струму на ділянці кола і позначають через Р:

(21.2)

Таким чином, потужність змінного струму на ділянці кола визначається діючими значеннями сили струму й напруги. Вона залежить також від зсуву фаз між напругою і силою струму. Множник у формулі (21.2)

називається коефіцієнтом потужності, який показує, що електричне коло споживає від генератора не всю потуж­ність, яку він може розвивати в даних умовах, а лише частину її. Друга частина циркулює між електричним колом і генератором. В одну частину періоду вона спожива­ється колом, в другу — повертається з кола в генератор.

Чим більший (чим менший), тим більша час-

тина потужності від можливої споживається електричним колом, і навпаки, при малому cos ц (великі ) від генера­тора споживається менша частина потужності від тієї, яку він може виробляти. Зокрема, якщо

і електричне коло не споживає потужності при будь-яких значеннях U і 7, навіть якщо вони максимальні для даного генератора. Генератор працює вхолосту.

Як же може виявитися той факт, що середня потужність дорівнює нулю при наявності струму в колі? Це пояснюють приведені на малюнку 35 графіки зміни з часом напруги, сили струму і миттєвої потужності при (чисто

індуктивний опір ділянки кола). Графік залежності мит­тєвої потужності від часу можна дістати, перемножуючи значення сили струму й напруги в кожний момент часу.

З цього графіка видно, що протягом однієї чверті періоду потужність додатна і енергія надходить до даної ділянки кола; однак протягом наступної чверті періоду потужність від'ємна, і дана ділянка віддає без втрат назад в генератор одержану раніше енергію. Енергія, яка протягом чверті періоду надходила, нагромаджувалася в магнітному полі струму, а потім без втрат поверталась до генератора. Так буде, зокрема, якщо ділянка кола містить одну лише індуктивність чи ємність.

Лише при наявності активного опору в колі, яке не містить рухомих провідників, електромагнітна енергія перетворюється у внутрішню енергію провідників, нагрі­ваючи його. Зворотного перетворення внутрішньої енергії в електромагнітну на активному опорі не відбувається.

На практиці завжди прагнуть, щоб від генератора спо­живалась якомога більша частина вироблюваної ним потужності, тобто щоб соз ф був близьким до одиниці (ф має наближатися до нуля). Як цього можна добитися?

Основний спосіб — повне завантаження приєднаних до генератора трансформаторів і двигунів. Припустимо, що на верстаті встановлено електродвигун потужністю 20 кВт. Під час нормальної роботи верстата двигун завантажено повністю і майже вся підведена до нього електрична енер­гія перетворюється в механічну. Коефіцієнт потужності в цьому випадку становить 0,90—0,95. Але якщо після закінчення обробки деталі робітник не вимкне електродви­гун, то він працюватиме вхолосту, його cos (f знизиться до ОД—0,2 і двигун по суті становитиме індуктивне наван­таження. Тому не можна залишати увімкненими електро­двигуни, які працюють вхолосту.

Не можна також і недовантажувати двигуни. Якщо, наприклад, для роботи верстата потрібен електродвигун потужністю 1 кВт, а на ньому встановили двигун потуж­ністю 10 кВт, то він працюватиме майже вхолосту і його сов ф буде незначним. Електродвигун завжди треба доби­рати такої потужності, яка потрібна для приведення в дію робочої машини.

Залежність потужності від cos <p завжди враховується при проектуванні ліній електропередачі на змінному стру­мові. Якщо cos ф лінії буде малий, то значна частина енергії циркулюватиме проводами від генератора до спо­живачів і назад. Оскільки проводи мають активний опір, то при цьому енергія витрачатиметься на їх нагрівання. Підрахуємо потужність цих втрат. До споживача зви­чайно подається напруга певного значення U, тому одна

й та сама потужність Р споживатиметься при різних зна­ченнях сили струму в колі / залежно від значення зсуву фази між силою струму і напругою. При малих значеннях cos ф сила струму має бути великою, що веде до великих теплових втрат в підвідних проводах лінії передачі. Якщо г — опір лінії передачі, то втрата потужності на нагрі­вання проводів лінії передачі Р\ дорівнює . Сила струму в проводах. Тоді

Таким чином, якщо навантаження споживача постійкєіг зменшення cos ф веде не лише до неповного використання потужності генератора, а й до збільшення теплових втрат в колі.

Для промислових підприємств не допускається викори­стання установок з коефіцієнтом потужності, меншим 0,85.

§ 22. Електричний резонанс. Резонанс напруг

і струмів

Оскільки змінний електричний струм є вимушеними електричними коливаннями, тому природно припустити, що в електричному колі змінного струму можливий резо­нанс.

Амплітуда сили струму при вимушених коливаннях в контурі під дією зовнішньої гармонічно змінної напру­ги визначається, як відомо, формулою

Проаналізуємо цю формулу. При заданій напрузі U_m і значеннях R, L і С сила струму залежить від частоти коливань . При індуктивний опір дорівнює нулю,

а ємнісний — нескінченно великий і сила струму в колі дорівнює нулю. Сила струму в колі дорівнює нулю і при нескінченно великій частоті (), оскільки в цьому

випадку . Сила струму буде незначною

при малих і великих частотах. Очевидно, максимальне зна­чення сили струму буде при такій частоті соо, при якій знаменник у формулі матиме найменше значення. Це буде тоді, коли вираз у дужках під коренем стане рівним нулю, тобто

(22.1)

При виконанні умови (22 1), тобто коли індуктивний опір котушки дорівнює ємнісному опору конденсатора і по колу йде однакова сила струму, однаковими будуть і амплітуди коливань напруги на конденсаторі та котушці. Коливання напруги на котушці і конденсаторі проти­лежні за фазою, тому сума напруг на них при виконанні умови (22.1) в будь-який момент часу дорівнює нулю. В результаті напруга на активному опорі під час резо­нансу буде дорівнювати повній напрузі: . Це озна­чає, що сила струму в колі визначається лише активним опором R, дії індуктивності і ємності взаємно компен­суються. Це явище називається резонансом напруг. Сила струму в колі досягає максимального значення

Оскільки активний опір R електричних кіл звичайно ма­лий, то під час резонансу сила струму може бути дуже великою.

Із формули (22.1) можна визначити частоту , при якій настає резонанс (резонансну частоту):

(22.2)

Ця частота збігається з власною частотою вільних коливань у контурі з малим активним опором (див. фор­мулу 10.5).

Отже, явище електричного резонансу полягає в різкому зростанні амплітуди вимушених коливань сили струму в контурі з малим активним опором, коли збігаються частоти зовнішньої змінної напруги з власною частотою коливань контуру.

У випадку механічних коливань резонанс проявляється тим чіткіше, чим менші втрати енергії в системі (чим мен­ше тертя). Аналогічно до цього електричний резонанс проявляється тим сильніше, чим менше R, тобто чим менші енергетичні втрати в колі. Якщо й->-0, резонансне зна­чення амплітуди сили струму необмежено зростає: /_рез—>-оо. Навпаки, зі збільшенням R максимальне значення амплі­туди сили струму зменшується. І коли R дуже великий, резонанс взагалі не виникає, аналогічно до того, як при великому терті не виникає резонанс в механічній системі. Залежність амплітуди сили струму від частоти при різ­них активних опорах R показана на малюнку 36, де

Під час резонансу амплітуда напруги на котушці індуктивно­сті U_L дорівнює амплітуді напру­ги на конденсаторі U_c. Значення цієї напруги можна знайти як добуток амплітуди сили струму під час резонансу на індуктивний або ємнісний опір:

Але

тоді

(22.3)

З рівняння (22.3) випливає, що амплітуда напруги на котушці індуктивності і конденсаторі під час резонансу

в разів більша за амплітуду напруги, прикладеної

до кола. Якщо активний опір і ємність кола дуже малі, то може значно перевищити одиницю. Наприклад, для (таке коло легко

скласти) дістанемо . Цей приклад показує,

що в момент резонансу напруга на конденсаторі і котушці індуктивності може в сотні разів перевищити напругу, прикладену до кола. Це явище аналогічне до виникнення великих навантажень на окремі частини механічної систе­ми під час резонансу. Як під час механічного резонансу можливе руйнування системи, так і під час електричного можливе руйнування електричного кола, наприклад, елек­тричний пробій конденсатора, перегрівання провідників і пробій ізоляції.

Під час резонансу, як це випливає з рівняння (20.6), зсув фаз між коливаннями сили струму і напруги дорівнює

нулю. Дійсно, оскільки , то і

Це легко пояснити. Коливання напруги на котушці індук­тивності і конденсаторі завжди відбуваються у протифазі і амплітуди цих напруг однакові. В результаті напруги на котушці і конденсаторі повністю компенсують одна одну і спад напруги відбувається лише на актив-

ному опорі. А на активному опорі фази коливань сили струму і напруги збігаються.

Явище резонансу в електричному колі можна спостері­гати на такому досліді. До електричного кола (мал. 37) з послідовно увімкнутих резистора, котушки індуктив­ності, конденсатора і амперметра змінного струму приєд­нують генератор змінної напруги регульованої частоти, наприклад генератор звукової частоти. Паралельно до кон­денсатора чи котушки індуктивності вмикають вольтметр змінного струму. Збільшуючи поступово частоту коливань генератора, можна спостерігати, що сила струму в колі і напруга на конденсаторі (чи котушці індуктивності) спо­чатку дуже повільно, а потім все швидше зростають. При резонансній частоті вони зростають в десятки і навіть сотні разів. Якщо далі збільшувати частоту, сила струму і на­пруга починають спочатку швидко, а потім все повільніше зменшуватися і при досить великій частоті майже дорів­нюють нулю.

Електричний резонанс в колі можна одержати не тільки зміною частоти генератора, а й при заданій частоті, змінюючи або індуктивність котушки, або ємність кон­денсатора.

Досі ми розглядали кола змінного струму, в яких рези­стор, конденсатор і котушка з'єднані послідовно. Розгля­немо тепер коло з увімкнутими паралельно котушкою і конденсатором (мал. 38). Припустимо, що активний опір обох віток розгалуження настільки малий, що ним можна нехтувати. До клем кола а і b прикладена змінна синусої­дальна напруга . Треба визначити коливан­ня сили повного струму в колі (тобто сили струму, яку вимірює амперметр А, увімкнутий до підвідних провід­ників).

Напруга на паралельно з'єднаних вітках розгалуження однакова і дорівнює прикладеній напрузі . Миттєве значення сили струму в нерозгалуженій частині кола /(*) дорівнює алгебраїчній сумі сил струмів в паралельних вітках розгалуження;

Оскільки сила струму у вітці розга­луження, яка містить конденсатор, ви­переджає напругу на , а сила струму через котушку відстає від напруги на -г-л, то векторна діаграма для цього

Таким чином, сила струму в нерозгалуженій частині кола дорівнює:

кола має вигляд, показаний на малюн­ку 39. Векторна діаграма дає можливість записати вирази для миттєвих значень сили струму в обох вітках розгалу­ження:

Коли ємнісний і індуктивний опори однакові, тобто

(22.2)

то сила струму в нерозгалуженій частині кола дорівнює нулю, хоча в контурі, який складається з L і С, сила струму може бути дуже великою. Це явище називається резонан­сом струмів. Для резонансної частоти з рівності (22.2) дістанемо таке саме значення, що й при резонансі напруг.

Для струму резонансної частотиконтур з малим

активним опором R становить дуже великий опір, тим біль­ший, чим менше R (при опір контуру Z прагне до нескінченності).

Резонанс струмів (резонанс напруг) широко використо­вується в техніці. Для прикладу розглянемо будову і прин­цип дії найпростішого резонансного підсилювача (мал. 40). В анодне коло підсилювача вмикають коливальний кон­тур, настроєний на частоту сигналу, який треба підсилити. Для резонансної частоти (точніше, для вузької смуги частот) контур становить великий опір і коливання анод-

 

ного струму лампи викликають на його кінцях появу змінної напруги. Для цієї частоти резонансний підси­лювач діє так само, як і звичайний підсилювач на резисторах, причому роль анодного опору відіграє коли­вальний контур. Для всіх інших ча­стот, які помітно відрізняються від резонансної, контур є практично ко­ротким замиканням анодного кола, і тому підсилення напруги не відбу­вається.

Ви вже знаєте, що під час резонансу струмів силу струму в обох вітках розгалуження кола можна зробити набагато більшою, ніж у підвідних проводах. Цю обставину викори­стовують в індукційних печах, в яких нагрівання металів здійснюється вихровими струмами. Для цього паралельно нагрівальній котушці К вмикають конденсатор С і доби­рають його ємність так, щоб одержати на частоті генера­тора, який живить піч, резонанс струмів. Тоді через під­відні проводи і генератор проходить порівняно невеликий струм, сила якого дорівнює різниці І_к — І_с і яку можна зробити в десятки разів меншою, ніж силу струму І_к в на­грівальній котушці.

З викладеного вище випливає, що електричний резо­нанс в колі можливий лише в тому випадку, коли воно містить одночасно і ємність, і індуктивність. В колах, які містять лише ємності, або лише індуктивності, резонанс не спостерігається.

Явище резонансу в електричних колах відіграє дуже велику роль в електротехніці і радіотехніці. З деякими важливими галузями його застосування ми далі ознайо­мимося.

? 1. У чому суть електричного резонансу? 2. Чому дорівнює амплі­туда сили струму під час резонансу? 3. Від яких параметрів кола зале­жить резонансна частота контуру? 4. Чи може амплітуда напруги на конденсаторі чи котушці індуктивності під час резонансу перевищити амплітуду напруги, прикладеної до кола? 5. Чи існує зсув фаз між коли­ваннями сили струму і напруги під час резонансу? Чому? в. Чи може спостерігатися резонанс у колі, яке містить лише активний і ємнісний, або активний та індуктивний опори?