Резистивний, індуктивний та ємнісний опори в колі синусоїдного струму

У загальному випадку електричне коло змінного струму може мати резистивні (r), індуктивні (L) та ємнісні (С) елементи. У колах постійного струму індуктивний і ємнісний елементи проявляють себе в моменти увімкнен­ня чи вимкнення кола та під час зміни параметрів схеми, коли змінюється струм і проявляється ЕРС самоіндукції та ЕРС ємності ; напруга на котушці та струм і напруга на конден­саторі .

В усталених режимах кіл постійного струму струм не змінюється і тому напруга на котушці і струм в конденсаторі не виникають, а напруга на конденсаторі буде, відповідно до схеми, сталою величиною.

У колах змінного струму безперервно змінюється струм, в результаті чого виникає напруга на котушці та струм в конденсаторі, які змінюються в часі. Розглянемо окремо ці елементи (опори) вколі змінного струму.

Резистивний опір r. Елемент r, в якому відбувається перетворення електромагнітної енергії в інші види енергії (теплову, променеву, механічну тощо) як необоротний процес, називають активним (резистивним) опором. До кола (рис. 4.8, а) прикладена синусоїдна напруга (для простоти викла­дення приймемо її початкову фа­зу , такою, щодорівнює нулеві):

(4.10)

Миттєве значення струму в колі згідно з законом Ома буде:

де

(4.11)

Розділивши ліву і праву сторони останньої рівності на , одержимо закон Ома для кола з резистивним опором для діючих значень напруги і струму:

(4.12)

Із виразів (4.10) та (4.11) випливає, що струм і напруга на резистивному опорі збігаються за фазою; кут зсуву фаз між струмом та напругою , а коефіцієнт потужності .

На рис. 4.8, б зображені часові залежності напруги, струму та миттєвої потужності s(t), а на рис. 4.8, в наведена векторна діаграма напруги та струму в резистивному опорі.

Миттєве значення потужності визначається добутком миттєвого значення напруги на миттєве значення струму:

(4.13)

Як видно із (4.13) та з часової діаграми (рис. 4.8, б), потужність s (t)в резистивному опорі змінюється від нуля до S_m і залишається завжди додатною. Це означає, що в колі з резистивним опором потужність (енергія) увесь час надходить із мережі до споживача r і незворотно перетворюється в інші види (енергії. Визначимо середнє значення потужності за період Цю потуж­ність називають активною потужністю Р.

підставивши U = rI, одержимо:

(4.14)

Отже, активна потужність у резистивному опорі r перетворюється в тепло.

Котушка індуктивності L. Індуктивний опір X_L Обвитки (котушки) електричних машин, трансформаторів, котушки різних електричних пристроїв тощо мають ве­лику індуктив­ність. Параметра­ми котушок є резистивний опір r та індуктивність L. Розглянемо спочатку котушку, резистивний опір якої дуже малий і ним можна знехтувати – ідеальну котушку (рис. 4.9, а).

Під дією синусоїдної напруги струм у котушці теж буде синусоїдним:

(4.15)

Напруга на котушці є такою:

(4.16)

де

Розділивши ліву і праву частини останнього виразу на , одержимо закон Ома для кола змінного струму з індуктивністю:

(4.17)

де – індуктивний опір котушки, =1 Ом.

Із виразів (4.15) і (4.16) випливає, що напруга на котушці випереджує за фазою струм на 90° або струм відстає від напруги на 90°. Кут зсуву фаз між струмом і напругою котушки є

a

На рис. 4.9, б зображено часові залежності напруги, струму та миттєвої потужності s(t), а на рис. 4.9, в наведена векторна діаграма напруги, струму та ЕРС самоіндукції E_L котушки індуктивності.

Миттєве значення потужності s (i)в колі з індуктивністю є:

(4.18)

а середнє значення цієї потужності за період (активна потужність) дорівнює нулеві:

Для з'ясування енергетичних процесів у колі з індуктивністю вико­ристаємо часові залежності миттєвих значень u, і, s (t)(рис. 4.9, б). В інтервалі часу від t = 0 (точка 1) до t = 1/4 T (точка 2), коли струм в колі зростає від 0 до I _m електрична енергія з мережі надходить в індуктивність (s (t) > 0) і нагромад­жується в ній у вигляді енергії магнітного поля. Найбільше значення цієї енергії є при максимальному струмі (3.37): . В інтервалі часу між точками 2 і 3 струм у колі зменшується і енергія магнітного поля котушки по­вертається в мережу (s (t) < 0). В момент часу, що відповідає точці 3, струм і енергія магнітного поля дорівнюють нулеві.

Отже, в колі з індуктивністю наявний неперервний періодичний процес обміну енергією між електричною мережею (джерелом електроенергії) і магнітним полем індуктивності. Цю енергію називають реактивною енергією і, відповідно, потужність – реактивною потужністю. Отже, миттєве значення; потужності s (t), що підходить до ідеальної котушки (r_к = 0), – це миттєве значення реактивної потужності q(t), а максимальне її значення (q_m) називають реактивною потужністю Q.

Як правило, реальна котушка, крім індуктивності L, має ще резистивний опір r _к. Цей опір зумовлений присутністю самого опору провідника котушки; та опору, що імітує втрати електричної енергії в сталі ( Р_ст) магнітопроводу котушки (,де Е – ЕРС самоіндукції котушки). Пов­ний резистивний опір котушки , де Р_к – активна потуж­ність, що йде на втрати в котушці, І_к – струм котушки. В цьому випадку кут зсуву фаз < 90°; схема і векторна діаграма мають вигляд, показаний на рис. 4.10.

Конденсатор С. Ємнісний опір . У будь-якій електричній установці ємності утворюються між проводами і землею (в лініях електропересилання) та іншими елементами струмоведучих конструкцій. В силових установках конденсатори використовують для підвищення коефіцієнта потужності; в радіо­техніці конденсатори застосовують в коливних конту­рах, фільтрах тощо.

Нехай до ідеального (без втрат) конденсатора (рис. 4.11, а) прикладена синусоїдна напруга:

(4.19)

 

 

 

Тоді струм в конденсаторі знайдемо із співвідношення

(4.20)

чи

(4.21)

де

Поділимо ліву і праву сторону останнього виразу на . Одержимо за­кон Ома для кола з конденсатором:

де х_с – ємнісний опір; 1 Ом.

Із виразів (4.19) і (4.21) видно, що струм конденсатора випереджує за фазою напругу на 90° або напруга відстає від струму на 90°. Кут зсуву фаз між напругою і струмом в конденсаторі: а

На рис. 4.11, б зображені часові залежності напруги, струму та миттєвої потужності, а на рис. 4.11, в наведена векторна діаграма напруги й струму ідеального конденсатора.

Миттєве значення потужності s (t)в колі з конденсатором:

а її середнє значення за період (активна потужність) дорівнює нулеві:

Для з'ясування енергетичних процесів у колі з конденсатором викорис­таємо часові залежності миттєвих значень (рис. 4.11, б). У першу чверть періоду між точками 1 і 2 напруга на конденсаторі зростає, конденсатор заряджається, електрична енергія з мережі надходить в конденсатор (s (t) > 0) і нагромаджу­ється у формі енергії електричного поля (2.14): . В наступну чверть періоду між точками 2 і 3 напруга на конденсаторі зменшується і струм змінює напрям; – проходить розряд конденсатора, енергія електричного поля поверта­ється в мережу (s (t) < 0).

Отже, у колі з конденсатором, так само, як і в колі з індуктивністю, від­бувається неперервний періодичний обмін енергії між мережею та конден­сатором. Потужність, що характеризує швидкість зміни цієї енергії, теж називається реактивною потужністю. Отже, реактивна енергія (потужність) ко­ливається між джерелом електричної енергії і споживачем (не виходить з електричної мережі) і йде на утворення магнетних полів у котушках і електричних полів у конденсаторах.

На рис. 4.11, в зображена векторна діаграма напруги й струму ідеального конденсатора.

Параметри недосконалого конденсатора. При змінній напрузі в кон­денсаторах з твердими або рідкими діелектриками, на відміну від повітряних конденсаторів, частина підведеної до них енергії тратиться на поляризацію діелектрика за рахунок струму зміщення й на втрати, визвані струмом про­відності в опорі R недосконалого діелектрика. Всі ці втрати виділяються у вигляді тепла. Такого роду конденсатори, які характеризуються втра­тами, прийнято називати недосконалими конденсаторами. У таких конденсато­рах кут зсуву фаз між напругою та струмом за абсолютним значенням менший за на кут , і цей кут називають кутом втрат, який дорівнює:

Недосконалий конденсатор можна замінити еквівалентною послідовною чи паралельною схемами з відповідними ве­личинами і . На рис. 4.12 на­ведені ці схеми й відповідні їм векторні діаграми. Значення параметрів цих схем розраховують на основі дослідних даних U, I, та Р, знятих для даного кон­денсатора. Конденсатори в заступних схемах і виступають вже без втрат як ідеальні.

Параметри (, ) послідовної, схеми визначаються такими співвідношеннями:

(4.23)

а параметри паралельної схеми визначаються так:

(4.24)

Необхідно зауважити, що але , а , а співвідношення між ними такі:

Відміна між значеннями тим більша, чим більший, тангенс кута втрат В області високих частот і тоді

.

Тангенс кута втрат не залежить від схеми за якою проводилось вимірю­вання і розрахунок:

Значення залежать від типу діелектрика й можуть змінюватись з частотою, з плином часу, також залежать від температури та напруженості електричного поля.

На практиці основними параметрами конденсатора є його ємність, напру­га й кут втрат (С, U, ).

4.4. Послідовне з'єднання резистивного, індуктивного та ємнісного опорів у колі синусоїдного струму. Закон Ома в класичній формі. Трикутник опорів. Коефіцієнт потужності cos φ

До кола (рис. 4.13, а) прикладена синусоїдна напруга:

Струм у колі теж буде синусоїдним і =І _m sin(ω t + ψ _i).

Для спрощення викладення підберемо таку початкову фазу напруги (ψ _u), Щоб початкова фаза струму дорівнювала нулеві: ψ _i = 0; початкова фаза напруги тоді буде ψ _u = φ, (φ = ψ _u – ψ_i = ψ _u – 0 = ψ _u). Тоді буде мати:

, a

(4.25)

 

Рис. 4.13. Послідовне з’єднання r, L, С (а), векторна діаграма (б) та трикутник опорів (в)

Запишемо рівняння за другим законом Кірхгофа для миттєвих значень (рис. 4.13 ,а):

u = u_r + u_l +u_c

Виразивши напруги через струм і опори ділянок кола, одержимо:

або

(4.26)

На основі рівняння (4.26) побудуємо векторну діаграму для діючих значень напруг (рис. 4.13, б). Вектор напруги на резистивному опорі збі­гається за напрямом із вектором струму, вектор на індуктивності ви­переджує вектор струму на 90°, вектор напруги на ємності відстає від вектора струму на 90°. Отже, між векторами напруги на індуктивності та ємності утво­рюється кут, що дорівнює 180°. Вектор напруги, прикладеної до кола, дорівнює геометричній сумі векторів напруг на окремих її ділянках:

а його величина

(4.27)

Виразивши в (4.27) напруги через струм і опори, одержимо:

Звідси

(4.28)

де

	(4.29)
	(4.30)

Співвідношення (4.28) – це закон Ома, записаний в класичній формі: тут U та І – діючі значення напруги та струму; z – повний опір кола, Ом; x – реак­тивний опір кола, Ом.

Поділивши сторони трикутника напруг (рис. 4.13, б) на діюче значення струму І, одержимо трикутник опорів (рис. 4.13, в). Із трикутника опорів визна­чимо коефіцієнт потужності схеми cos φ

(4.31)

Детальніше про цю величину мова піде нижче.

 

4.5. Потужність в колі послідовного з'єднання резистивного r і реактивного x опорів

До схеми (рис. 4.14, а) прикладемо синусоїдну напругу и = U_msin(ωt + φ) і в колі матимемо струм і = I _msin ω t.

Напруга зсунута відносно струму на кут φ, який визначається із трикут­ника опорів (рис. 4.13, в):

φ = arctg(x / r) = arctg((x_L – x _C) / r).

Якщо x_L > x_C, тоді φ > 0 і напруга випереджує струм за фазою; якщо x_L < x_C тоді φ < 0 і напруга відстає від струму. Якщо x_L = x_C,φ = 0, напруга збігається за фазою зі струмом. На рис. 4.14, б наведені часові залежності u (t) та i (t)для φ>0.

Миттєве значення потужності:

s (t) = и і = U_m sin(ω t+ φ) · І_т sin ω t = 2UI sin ω t (sin ω t cos φ+cos ωtsin φ) =

=

Рис. 4.14. Потужності p(t), q(t), s(t) в колі з опором r-х

чи

(4.32)

Перша складова виразу (4.32) – це миттєве значення активної потужності p(t), а друга складова – реактивної q (t):

На рис. 4.14 ,в,г,д показані часові залежності миттєвих величин потуж­ностей, відповідно, повної s (t), активної p (t)та реактивної q (t).

Амплітуда реактивної потужності є величиною, яку в колах синусоїдного струму називають реактивною потужністю, отже:

.

(4.33)

Визначимо середнє значення потужності за період – активну потужність:

(4.34)

Інтеграл другої складової виразу (4.34) дорівнює нулеві.

Піднесемо до квадрата вирази (4.33) та (4.34) і додамо:

звідки Ρ ² + Q ² = (UI) ² = S ².

Величину добутку U ∙ І називають повною або позірною потужністю S, а трикутник (рис. 4.14, е) – трикутником потужностей. Отже, формули для визначення активної, реактивної та повної потужностей є такими:

(4.35)

Наведені потужності можуть бути теж розраховані за діючим значенням струму й відповідного опору за такими формулами:

(4.36)

Одиниці вимірювання: [ S ] = 1 ΒΑ, 1 кВА; [ Ρ ]= 1 Вт, 1кВт; [ Q ] = 1 ВАр, 1 кВАр.

Повна (позірна) S і активна Ρ потужності завжди додатні. Якщо φ > 0 (резистивно індуктивні кола) – реактивна потужність Q додатна, а якщо φ < 0 (резистивно ємнісні кола) Q – від’ємна.

Повна потужність S характеризує найбільше значення середньої потуж­ності (активної), яку можна одержати в колі за заданих діючих значень напруги та струму (тобто якщо φ = 0, cos φ = 1).

Із трикутника потужностей коефіцієнт потужності може бути визначений як:

(4.36)

Приклад 4.2. Електричне коло послідовно сполучених резистивного опору r = 10 Ом, індуктивності L = 50 мГн і ємності С = 1000 мкФ, приєднане до електричної мережі синусоїдної напруги з діючим значенням 220 В і частотою 50 Гц (рис. 4.13, а). Вичислити повний опір кола z, cos φ, діюче значення струму, напруги на елементах кола, потужності активну, реактивну й позірну та побудувати векторну діаграму.

Розв'язання.

Резистивний опір схеми r = 10 Ом.

Індуктивний опір Ом.

Ємнісний опір Ом

Повний опір схеми Ом.

Коефіцієнт потужності: φ = 51°20',

.

Діюче значення струму І = U/z = 220/ 16= 13,8 A

Діючі значення напруг:

на резистивному опорі U_r= rІ= 13,8 · 10 = 138 В,

на котушці U_L = х_LI = 13,8 · 15,7 = 216 В

на ємності U_C = х_CI = 13,8 ∙ 3,18 = 44 В.

Повне діюче значення напруги

В.

Потужності:

активна Ρ = UIcos φ = 220 · 13,8 · 0,625 = 1900 Βт = 1,9 κΒт;

реактивна Q = UIsin φ = 220 · 13,8 ∙ 0,81 = 2380 ВАр = 2,38 кВАр;

повна S = UI = 220 · 13,8 = 3040 ВА = 3,04 кВА.

Векторна діаграма буде аналогічною діаграмі зображеній на рис. 4.13, б.