Конденсатори. Струм конденсатора. Енергія електричного поля

Пристрій із двох провідних тіл (пластин) будь-якої форми, розділених електриком, називають конденсатором (рис. 2.3). Пластини конденсатора часто називають обкладками. Прикладом природних конденсаторів можуть бути провідники електричної мережі, провідник електричної мережі та земля, дві жили кабелю, жила кабелю і панцер, прохідний ізолятор (який ізолює провід від стіни або металевого корпусу) тощо. Конденсатор під дією прикладної напруги має властивість швидко нагромаджувати та утримувати на своїх об­кладках однакові за величиною, але протилежні за знаками електричні заряди +q і –q. Ємністю конденсатора називають коефіцієнт пропорційності між за­рядом q та напругою U між обкладками конденсатора:

, або .

(2.4)

В системі СІ одиницею вимірювання ємності є фарада (Ф). Одна фарада – це ємність такого конденсатора, який заряджається зарядом в 1 Кл при напрузі 1 В, тобто 1Ф = 1 Кл/1 В. Фарада – це дуже велика одиниця, тому на практиці часто вживають похідні одиниці, такі, як мікрофарада (1 мкФ =10^-6 Ф), нанафарада (1 нФ = 10^-9 Ф)та пікофарада (1 пФ = 10^-12 Ф), чи 1Ф = 10^-6 мкФ = 10^-9 нФ = 10^-12 пФ).

Наведемо вирази ємностей конденсаторів деяких конструкцій.

Розглянемо плоский конденсатор (рис. 2.4). Площа обкладок – S, відстань між обкладками – d, діелектрична проникність діеіектрика між пластинками – ε. Відстань d будемо вважати набагато меншою від лінійних розмірів обкладок конденсатора. У цьому випадку можемо нехтувати крайовим ефектом електричного поля конденсатора – випинанням силових ліній на краях конден­сатора.

Розглянемо замкнену поверхню Si, всередині якої є конденсатор із заряд­женими пластинками "+q" та "– q". Із постулату Максвелла (1.6) стосовно цієї поверхні одержимо:

,

оскільки d ≠ 0, то у всіх точках цієї поверхні вектор електричного зміщення D = 0, а отже, і значення напруженості електричного поля (Е = D / ε) теж до­рівнює нулеві. Отже, електричне поле поза конденсатором відсутнє. Далі розгля­немо замкнену поверхню S₂, яка охоплює тільки одну пластинку конденсатора із зарядом +q. Площу S₂ можна подати так: S₂ = S + S₆, де S – площа конденсатора; S₆ – бокова поверхня – поза конденсатором, для якої = 0. Запишемо для поверхні S₂ постулат Максвелла: = +q, і розділимо на два інтеграли:

,

(2.5)

де = 0, як вже було показано вище для площини S₁.

Ураховуючи, що між пластинами конденсатора вектор перпендикулярний до S, а отже, збігається з d , тοкут ( ^ d )= 0 і рівність (2.5) набере вигляд:

чи , або , звідки

(2.6)

Як видно з (2.6), вектор електричного зміщення чисельно дорівнює густині заряду на поверхні пластини.

Ураховуючи, що D = εΕ, одержимо напруженість електричного поля між зарядженими пластинами плоского конденсатора Ε = D/ε = q/(εS). Напруга між пластинами конденсатора за визначенням (1.9) є:

. Тут кут між () = 0, тому

і ємність такого конденсатора:

Отже, ємність плоского конденсатора дорівнює:

.

(2.7)

Аналогічно можна одержати ємність циліндричного конденсатора завдовжки l та радіусами r ₁ і r ₂, r ₂ > r₁.

;

(2.8)

Ємність сферичного конденсатора радіусами r ₁та r ₂:

.

(2.9)

Струм конденсатора. Якщо увімкнути незаряджений конденсатор до мережі постійної напруги, то він буде заряджатися: з мережі заряди проходять по провідниках на обкладки конденсатора. А рух зарядів по провідниках – це є електричний струм у колі з конденсатором: i = dq / dt. Виразивши із (2.4) заряд через ємність і напругу на конденсаторі, одержимо:

.

(2.10)

Отже, струм у колі з конденсатором пропорційний його ємності й швид­кості зміни напруги на його пластинах.

Енергія електричного поля конденсатора. Схему (рис. 2.5) з незарядженим конденсатором (f/_c(0) = 0) увімкнено в мережу напругою U. Запишемо рівняння за другим законом Кірхгофа:

ri + u_c=U. (2.11)

Помножимо ліву й праву сторони рівності (2.11) на idt, одержимо рівнян­ня енергетичного балансу кола з конденсатором:

ri^2dt + ucidt = Uidt.

(2.12)

Права частина (Uidt)рівняння (2.12) – це енергія, яку електричне коло забирає від мережі; перший член в лівій частині ri ² dt – енергія, яка виділяється у вигляді тепла в опорі r. Оскільки енергія в конденсаторі не виділяється[1], то член u_Сidt є електричною енергією, яка накопичується у вигляді енергії електричного поля в конденсаторі. При заряджанні конденсатора протягом ча­су t до напруги U_С енергія електричного поля в кінці зарядження буде:

звідки

(2.13)