Котушка індуктивності. Потокозчеплення. ЕРС самоіндукції. Енергія магнітного поля.

Замкнений контур (котушка) із струмом завжди створює магнітне поле. При постійній магнітній проникності середовища величина магнітного потоку поля пропорційна струму. Котушка описується параметром, який називається індуктивністю й позначається літерою L. Визначаючи індуктивність котушки, користуються поняттям потокозчеплення . Під цим поняттям розуміють суму добутків магнітних потоків на витки, з якими вони зчеплюються:

(3.28)

Так, для котушки, зображеної на рис. 3.25, потокозчеплення є:

Значення потокозчеплення пропорційне струму, що створює це магнітне поле. Коефіцієнт пропорційності – це індуктивність котушки:

чи

(3.29)

Одиниця вимірювання індуктивності є 1 генрі – 1 Гн:

[L] = [Ф / і ] = 1В ∙ с / (1А) = 1 Ом ∙ с = 1 Гн.

Оскільки 1 Гн – одиниця ду­же велика, то часто застосовують часткові одиниці: мілігенрі (1мГн= Гн), мікрогенрі (1 мкГн = Гн). Умовне позначення ідеальної індуктивності (без резистивного опору) показано на схемі рис. 3.26, б.

Визначимо індуктивність тороїдальної котушки, Магнітний потік в магнітопроводі тороїда за законом Ома для магнітного кола визначається

Тоді

(3.30)

де , S – середня довжина й площа поперечного перерізу тороїда.

Як видно, індуктивність котушки залежить від її геометричних даних, а також від магнітної проникності її магнітопроводу. Для повітряних котушок (без сталевого осердя) індуктивність котушки стала – не залежить від зна­чення струму чи магнітного потоку (ос­кільки μ = μ₀ = const). Для котушок із сталевим осердям індуктивність котуш­ки змінюється разом зі зміною μ осердя, μ сталевого осердя, як було відзначено вище, змінюється при зміні значення. магнітної індукції осердя (чи значення прикладеної до котушки напруги).

При протіканні змінного струму в котушці (рис. 3.23, а) в ній виникає змінне магнітне поле. Це магнітне поле пронизує цю саму котушку й наводить в ній ЕРС, яку називають ЕРС самоіндукції – e_L. При правогвинтовому скеруванні струму й магнітного потоку, а також магнітного потоку й ЕРС, додатний напрям ЕРС самоіндукції буде такий самий, як струму в котушці. Значені ЕРС самоіндукції визначається як:

(3.31)

де допускається, що індуктивність L, не залежить від струму і, наприклад, для котушки без феромагнітного осердя або для котушки з магнітопроводом, магнітна проникність якого не залежить від струму.

Дійсний напрям ЕРС самоіндукції e_L згідно з (3.31) визначиться за правилом Ленца. При зростанні струму, тобто коли di / dt>0, ЕРС самоіндукції е_L від'ємна й спрямована зустрічно відносно струму, і навпаки, при зменшенні струму, тобто коли, di / dt<0, ЕРС самоіндукції додатна і напрямлена за напря­мом струму. Отже, ЕРС самоіндукції намагається протидіяти зміні струму в колі (протидіє зміні режиму кола). Запишемо рівняння за другим законом Кірхгофа для контуру (рис. 3.26, а):

u_L + e_L=0.

звідси напруга на котушці

, чи

(3.32)

На рис. 3.26, б наведено позначення додатних напрямків струму, напруги u_L та ЕРС самоіндукції e_L котушки.

Енергія магнітного поля. Контур (або котушка) при увімкненні його до джерела постійного струму забирає в нього енергію, частина якої перетворюється в енергію магнітного поля. Якщо потім вимкнути контур (або котушку) від джерела або зменшити струм, то енергія магнітного поля повністю або частково перетвориться в електричну енергію. При змінному струмі відбувається неперервний процес перетворення електричної енергії, в енергію магнітного поля та зво­ротний процес – перетворення енергії магнітного поля в електричну. На вико­ристанні енергії магнітного поля оснований принцип роботи багатьох електро­технічних апаратів і устаткувань (електричних машин, трансформаторів тощо).

Розрахуємо енергію магнітного поля котушки. До електричного кола (рис. 3.27) прикладена напруга и. Запишемо другий закон Кірхгофа для контуру:

ur + uL=u.

(3.33)

Помножимо ліву і праву сторони рівності (3.33) на idt:

uridt + uLdt = uidt.

(3.34)

Розглянемо окремо складові рівності (3.34). Величина u_ridt = dW_r – енергія, яка виділяється в опорі r; uidt – енергія, яка підводиться до елек­тричного кола з мережі; а отже, величина u_Lidt = dW_M – це енергія, запасена в магнітному полі котушки. При зміні струму в котушці від нуля до i_L величина записаної енергії магнітного поля котушки буде дорівнювати:

отже

.

(3.35)

Індуктивно зв'язані котушки

Два контури або котушки є індуктивно або магнітно зв'язаними, якщо частина магнітного потоку, створеного струмом першого контуру, пронизує другий контур, а частина магнітного потоку, викликаного струмом другого контуру, пронизує перший контур.

При проходженні струму і ₁по першій котушці w ₁ (рис. 3.28, а) виникає магнітний потік Ф₁₁ який викликає ЕРС самоіндукції е ₁₁в першій котушці. Частина цього потоку Ф₁₂пронизує другу котушку й наводить в ній ЕРС взаємоіндукції е ₂₁,величина якої пропорційна до коефіцієнта взаємоіндукції M ₁₂і швидкості зміни струму i ₁ в часі. Коефіцієнт взаємної індукції Μ вимірюється в генрі.

При проходженні струму і ₂по другій котушці w ₂ (рис. 3.28, б­)процес і співвідношення величин будуть аналогічними. Отже:

(3.36)

Рис. 3.28. Індуктивно зв'язані котушки: при проходженні струму i₁ по першій котушці в другій котушці наводиться ЕРС взаємоіндукції е₂₁ (а) і навпаки, при струмі другої котушки і₂ в першій котушці виникає е₁₂ (б)

 

При пропусканні струмів i ₁ та i ₂ по обох котушках (рис. 3.29, а) магнітні потоки й ЕРС самоіндукції та взаємоіндукції в котушках будуть алгебрично додаватись:

(3.37)

де Ф₁, Ф₂ – сумарний магнітний потік, який зчіплюється відповідно з витками першої та другої котушки; e ₁, е ₂ – сумарна ЕРС, наведена відповідно в першій і другій котушці.

Для двох нерухомих котушок в лінійному колі завжди справедлива рівність:

(3.38)

тому необхідності в індексах немає.

Запишемо рівності для контурів за другим законом Кірхгофа (рис. 3.28, а);

звідси ;

звідси ;

і враховуючи (3.42), а також резистивні опори котушок r ₁і r ₂, одержимо зна­чення напруг на котушках:

(3.39)

Записуючи рівняння (3.39), треба врахувати те, що котушки можуть бути увімкнені узгоджено – тоді "М" необхідно брати зі знаком "плюс", а коли котушки будуть увімкнені зус­трічно – тоді "М" треба брати зі знаком "мінус". При узгодже­ному увімкненні двох котушок (рис. 3.30, а) їхні магнітні потоки, спрямовані в один бік, – додаються, а при зус­трічному увімкненні (рис. 3.30, б) потоки напрямлені в протилежні боки і віднімаються.

Для однозначності запису рівнянь (3.39) застоcовують маркування однойменних клем котушок: позначення на схемах початків або кінців: зірочками, точками, трикутниками тощо. Якщо струми в котушках щодо своїх однойменних клем напрямлені в один бік, тоді їхні потоки додаються і котушки увімкнені узгоджено, якщо струми котушок напрямлені в різні боки – то їхні потоки віднімаються, а отже, котушки увімкнені зустрічно.

Для оцінки магнітного зв'язку між контурами (чи котушками) вживають коефіцієнт зв'язку k, який завжди менший від одиниці:

(3.40)

Тільки в ідеальному випадку, коли Ф₁₂=Ф₁₁ і Ф₂₁ = Ф₂₂ (тоді можна було б нехтувати потоками розсіювання), k = 1.