Кінематика гармонічних коливань. Графічний спосіб зображення коливань.

Кінематика гармонічних коливань. Графічний спосіб зображення коливань.

Гармонічні коливання законом sin або cos.

X=Acos(W0+фі) А-амплітуда, W0-кутова частота, фі-початкова фаза.

W0=2П/Т=2ПV V-лінійна частота.

Є коливання вільні і власні.

ці вирази показують що швидкисть точки випереджує зміщення точки по фазі на П/2 а прискорення випереджує зміщення на П.

розв’язком цього рівняння є X=Acos(w0t+фі)

 

 

Графічний спосіб зображення коливань X=Acos(w0t+фі)

Проекція кінця вектора на вісь X. З часом здійснює гармонічні коливання, якщо.Коли сам вектор обертається проти годинникової стрілки з частотою W0.

Додавання гармонічних коливань. Биття.

x1=A1cos(wt+φ1)

x2=A2cos(wt+φ2)

x=x1+x2

A^2=A1^2+A2^2+2*A1*A2cos(φ2- φ1)

tg φ=(A1*sinφ1+A2*sinφ2)/(A1*cosφ1+A2*cosφ2)

Особливий випадок додавання гармонічних коливань в одному напрямку, це коли їх частоти незначно відрізняються w1≈w2

x=2A*cos((w1+w2)/2)*t*cos(w1-w2)/2=2A*cos* дельтаW/2 * t*cosw*t

нехай додають два коливання

x=A*coswt

y=B*cos(wt+φ)

y/B=coswt*cosφ-sinwt*sinφ

x/A=coswt

sin^2(φ)=x^2/A^2-2(x/A)*(y/B)+y^2/B^2

1) φ=2mπ. m=0,1,2..

x/A-y/B=0

y=Bx/A

 

2) φ=(2m+1)π

y=-Bx/A -рівняння прямої

 

3) φ=(2m+1)π/2

x^2/A^2+ y^2/B^2 =1 -рівняння еліпса

 

якщо при взаємно перпендикулярних коливаннях частоти співвідносяться як ½,2/3,1/4…, то ми отримаємо фігури Лісажу.

Биття́ — інтерференція двох звукових коливань, з частотами і настільки близькими, що вони не сприймаються як два роздільні коливання. Амплітуда коливань, які виникають при цьому періодично збільшується чи зменшується у часі з частотою, рівною різниці інтерферуючих коливань.

Різниця фаз таких коливань з часом змінюється, через що фази періодично збігаються (коливання підсилюють одне одне) або стають протилежними (коливання взаємно ослаблюються). Підсилення і ослаблення результативних коливань відбуваються періодично з частотою , що дорівнює різниці частот взаємодіючих коливань, тобто . В акустиці биття використовуються для порівняння тонів (наладнання муз. інструментів). Якщо різниця частот коливань двох джерел дуже мала (напр., менша ніж 0,1 Гц), то вухо сприймає їх як один результативний тон, інтенсивність якого змінюється з частотою, рівною . Коли частоти складових коливань зближуються, то частота биття зменшується і при . Якщо порівнювати тони методом биття, то похибка може не перевищувати 0,1 Гц. В електромагнітних коливаннях явище биття використовується в чутливих приймачах радіосигналів та вимірювальних приладах.

 

3. Фізи́чний МатематичнийПружинний маятник

Фізи́чний ма́ятник — тверде тіло довільної форми, яке під дією сили тяжіння здійснює коливання навколо нерухомої горизонтальної осі, що не проходить через центр маси тіла.

Період коливань фізичного маятника визначається формулою

, де I - момент інерції, m - маса, d - віддаль від центра маси тіла до осі, g - прискорення вільного падіння.

Зведена довжина фізичного маятника - довжина такого математичного маятника, період коливань якого збігається з періодом коливань даного фізичного маятника. Вона дорівнює

.

Математичний маятник

Математи́чний ма́ятник — теоретична модель маятника, в якій матеріальна точка масою m підвішена на невагомому нерозтяжному стержні довжини l і здійснює рух в вертикальній площині під впливом сил тяжіння з прискоренням вільного падіння g.

Математичний маятник має два положення рівноваги: стійке та нестійке.

В стійкому положенні рівноваги маятник висить непорушно строго вертикально, сила тяжіння врівноважується силою пружності стержня.

Інше положення рівноваги математичного маятника знаходиться в точці , тобто коли стержень орієнтований вертикально вгору. В цьому положенні сили тяжіння та пружності стержня, як і в точці стійкої рівноваги, зрівноважені, проте дана рівновага є нестійкою.

Рівняння руху

Нехай маятник відхилився від положення рівноваги на кут θ між вертикаллю й стержнем

Потенціальна енергія математичного маятника дорівнює

,

де - висота відносно найнижчого положення.

Кінетична енергія в будь-який момент часу t визначається моментом інерції I та кутовою швидкістю ω:

.

Момент інерції матеріальної точки масою m відносно осі, яка проходить перпендикулярно до площини рисунка через точку підвісу, дорівнює

.

Функція Лагранжа математичного маятника для узагальненої координати θ дорівнює

.

Рівняння Лагранжа

визначає рівняння руху маятника

.

Період коливань математичного маятника залежить від амплітуди, тобто від початкового відхилення. Але навіть при відхиленні на 60° відхилення частоти від формули, наведеної для малих коливань, не перевищує 15%.

Пружинний маятник складається з тягарця масою m, з’єднаного з пружиною жорсткістю k. Якщо зовнішньою силою вивести систему з положення рівноваги, вона може коливатися відносно положенняO.
Період коливань пружинного маятника.

 

Коливання такого маятника відбувається під дією сили пружності, отже, на відміну від математичного, пружинний маятник може бути розташований і горизонтально. 

 

 

Біопризма Френеля

 

 

Інтерферометри.

Інтерферометр Жамена, разом з інтерферометром Релея, є одним з найбільш чутливих до різниці фазових набігів хвиль інтерференційних пристроїв, що дозволяє використовувати його для точного визначення показників заломлення газів при тиску, близькому до атмосферного (при цьому тиску відповідний показник заломлення відрізняється від одиниці в четвертому-п'ятому знаку після коми).
Схематичне зображення конструкції інтерферометра Жамена представлено на

Паралельний пучок світла падає на плоскопараллельную скляну пластину М1, на задню поверхню якій нанесено металеве дзеркало.
Два відображені пучки виявляються при достатній товщині пластини просторово розділеними і прямують порізно в дві кювети з досліджуваним газом і газом порівняння відповідно. Минулі пучки відображаються від ще однієї такої ж скляної пластини М2. Таким чином, обидва відображені пучки виявляються рівними по інтенсивності і зводяться у фокальній площині лінзи L. В результаті виникає інтерференційна картина з горизонтальних смуг, як показано на малюнку.
При цьому у відсутності по ходу розповсюдження пучків між лінзами додаткових об'єктів з показниками заломлення n1 (кювета з досліджуваним газом) і n2 (компенсатор фазового набігу з відомим керованим набігом фази оптичного випромінювання в ньому) нульовий максимум інтерференційної картини лежить на осі системи. Нульовий максимум - це максимум, відповідний нульовій різниці ходу D хвиль, створюючи інтерференційну картину. При використовуванні широкосмугового випромінювання.

 

 

18. Принцип Гюгенса-Френеля. Метод зон Френеля.

Принципі Гюйгенса: кожна точка фронту хвилі є самостійним джерелом сферичних вторинних хвиль, що огинальна яких дає нове положення фронту хвилі. Френель додав до принципу Гюйгенса: вторинні сферичні хвилі є когерентними і інтерферуються між собою.

У підсумку принцип Гюгенса-Френеля формується так: Кожен елемент хвильового фронту можна розглядати як центр вторинного обурення, який породжує вторинні сферичні хвилі, а світлове поле в кожній точці простору буде визначатися інтерференцією цих хвиль.

За допомогою принципу Гюгенса-Френеля можна обґрунтувати з хвильових властивостей світла закон прямолінійного поширення світла в однорідному середовищі. Френель розв’язав цю задачу, розглянувши взаємну інтерференцію вторинних хвиль, і застосував прийом, який отримав назву методу зон Френеля.

Знайдемо в довільній точці М амплітуду світлової хвилі, що поширюється в однорідному середовищі від точкового джерела .

Згідно принципу Гюгенса-Френеля замінимо дію джерела дією уявних джерел, які розміщені на допоміжній поверхні S, що є однією з хвильових поверхонь хвилі, яка поширюється від джерела . Ця допоміжна поверхня є поверхнею сфери з центром в . Френель розбив хвильову поверхню S на кільцеві зони такого розміру, щоб відстані від країв зони до M відрізнялася на тобто ; ; ; ; ……. при накладанні ці коливання будуть взаємно ослаблюватися.

 

Кінематика гармонічних коливань. Графічний спосіб зображення коливань.

Гармонічні коливання законом sin або cos.

X=Acos(W0+фі) А-амплітуда, W0-кутова частота, фі-початкова фаза.

W0=2П/Т=2ПV V-лінійна частота.

Є коливання вільні і власні.

ці вирази показують що швидкисть точки випереджує зміщення точки по фазі на П/2 а прискорення випереджує зміщення на П.

розв’язком цього рівняння є X=Acos(w0t+фі)

 

 

Графічний спосіб зображення коливань X=Acos(w0t+фі)

Проекція кінця вектора на вісь X. З часом здійснює гармонічні коливання, якщо.Коли сам вектор обертається проти годинникової стрілки з частотою W0.