Додавання гармонічних коливань. Биття.

x1=A1cos(wt+φ1)

x2=A2cos(wt+φ2)

x=x1+x2

A^2=A1^2+A2^2+2*A1*A2cos(φ2- φ1)

tg φ=(A1*sinφ1+A2*sinφ2)/(A1*cosφ1+A2*cosφ2)

Особливий випадок додавання гармонічних коливань в одному напрямку, це коли їх частоти незначно відрізняються w1≈w2

x=2A*cos((w1+w2)/2)*t*cos(w1-w2)/2=2A*cos* дельтаW/2 * t*cosw*t

нехай додають два коливання

x=A*coswt

y=B*cos(wt+φ)

y/B=coswt*cosφ-sinwt*sinφ

x/A=coswt

sin^2(φ)=x^2/A^2-2(x/A)*(y/B)+y^2/B^2

1) φ=2mπ. m=0,1,2..

x/A-y/B=0

y=Bx/A

 

2) φ=(2m+1)π

y=-Bx/A -рівняння прямої

 

3) φ=(2m+1)π/2

x^2/A^2+ y^2/B^2 =1 -рівняння еліпса

 

якщо при взаємно перпендикулярних коливаннях частоти співвідносяться як ½,2/3,1/4…, то ми отримаємо фігури Лісажу.

Биття́ — інтерференція двох звукових коливань, з частотами і настільки близькими, що вони не сприймаються як два роздільні коливання. Амплітуда коливань, які виникають при цьому періодично збільшується чи зменшується у часі з частотою, рівною різниці інтерферуючих коливань.

Різниця фаз таких коливань з часом змінюється, через що фази періодично збігаються (коливання підсилюють одне одне) або стають протилежними (коливання взаємно ослаблюються). Підсилення і ослаблення результативних коливань відбуваються періодично з частотою , що дорівнює різниці частот взаємодіючих коливань, тобто . В акустиці биття використовуються для порівняння тонів (наладнання муз. інструментів). Якщо різниця частот коливань двох джерел дуже мала (напр., менша ніж 0,1 Гц), то вухо сприймає їх як один результативний тон, інтенсивність якого змінюється з частотою, рівною . Коли частоти складових коливань зближуються, то частота биття зменшується і при . Якщо порівнювати тони методом биття, то похибка може не перевищувати 0,1 Гц. В електромагнітних коливаннях явище биття використовується в чутливих приймачах радіосигналів та вимірювальних приладах.

 

3. Фізи́чний МатематичнийПружинний маятник

Фізи́чний ма́ятник — тверде тіло довільної форми, яке під дією сили тяжіння здійснює коливання навколо нерухомої горизонтальної осі, що не проходить через центр маси тіла.

Період коливань фізичного маятника визначається формулою

, де I - момент інерції, m - маса, d - віддаль від центра маси тіла до осі, g - прискорення вільного падіння.

Зведена довжина фізичного маятника - довжина такого математичного маятника, період коливань якого збігається з періодом коливань даного фізичного маятника. Вона дорівнює

.

Математичний маятник

Математи́чний ма́ятник — теоретична модель маятника, в якій матеріальна точка масою m підвішена на невагомому нерозтяжному стержні довжини l і здійснює рух в вертикальній площині під впливом сил тяжіння з прискоренням вільного падіння g.

Математичний маятник має два положення рівноваги: стійке та нестійке.

В стійкому положенні рівноваги маятник висить непорушно строго вертикально, сила тяжіння врівноважується силою пружності стержня.

Інше положення рівноваги математичного маятника знаходиться в точці , тобто коли стержень орієнтований вертикально вгору. В цьому положенні сили тяжіння та пружності стержня, як і в точці стійкої рівноваги, зрівноважені, проте дана рівновага є нестійкою.

Рівняння руху

Нехай маятник відхилився від положення рівноваги на кут θ між вертикаллю й стержнем

Потенціальна енергія математичного маятника дорівнює

,

де - висота відносно найнижчого положення.

Кінетична енергія в будь-який момент часу t визначається моментом інерції I та кутовою швидкістю ω:

.

Момент інерції матеріальної точки масою m відносно осі, яка проходить перпендикулярно до площини рисунка через точку підвісу, дорівнює

.

Функція Лагранжа математичного маятника для узагальненої координати θ дорівнює

.

Рівняння Лагранжа

визначає рівняння руху маятника

.

Період коливань математичного маятника залежить від амплітуди, тобто від початкового відхилення. Але навіть при відхиленні на 60° відхилення частоти від формули, наведеної для малих коливань, не перевищує 15%.

Пружинний маятник складається з тягарця масою m, з’єднаного з пружиною жорсткістю k. Якщо зовнішньою силою вивести систему з положення рівноваги, вона може коливатися відносно положенняO.
Період коливань пружинного маятника.

 

Коливання такого маятника відбувається під дією сили пружності, отже, на відміну від математичного, пружинний маятник може бути розташований і горизонтально.