Вимушені коливання аксіально-рухомої втулки торцевого сальникового ущільнення

В загальному випадку динамічні моделі А і В представляють собою пов’язані двомасові системи, що здійснюють малі осьові коливання відносно положення статичної рівноваги. При цьому текучі значення перемінних можна представити у вигляді , .

На підставі другого закону Ньютона для моделі А:

,

Виключивши рівняння рівноваги і опускаючи знак , отримаємо пов’язану систему

 

(2.7)

 

де

(2.8)

 

Введемо оператор диференціювання по часу і представимо рівняння (2.7) в операторній формі:

 

(2.9)

 

де

(2.10)

Диференціальні оператори , – особисті оператори ізольованих (парціальних) систем, – перехресний оператор, що визначає пружно-демпферний зв’язок між коливаннями мас m, M. [8]

Подібно можна отримати систему рівнянь сумісних коливань моделі B:

 

(2.11)

 

Модель B відрізняється від моделі А двома коефіцієнтами особистого оператора і перехресним оператором:

 

(2.12)

 

В даному випадку перехресний оператор пропорційний квадрату власної частоти першої парціальної системи, тобто зв'язок між парціальними системами є пружним.

Як правило, маса рухомої сальникової втулки набагато менша за масу ротора. Вже цю обставину, як видно з систем (2.9), (2.11) можна розглядати як ознаку слабкої пов’язаності коливань ротора та втулки. Якщо не враховувати цей зв’язок, то з рівнянь, що залишилися , можна визначити вільні затухаючі коливання ротора. Через швидке затухання практичного інтересу вільні коливання не представляють. В тих рідких випадках, коли немає підстав нехтувати пов’язаністю коливань, можна отримати аналітичне рішення систем (2.9) та (2.11), користуючись відомими методами теорії коливань.

Тут розглядаються коливання сальникової втулки, обумовлені заданими незалежними осьовими коливаннями ротора, які виступають як зовнішні кінематичні збурення. Ще одним джерелом збурень являються малі коливання ущільнюваного тиску відносно його сталого значення, яке, як правило, являється тиском нагнітання розглянутих насоса чи компресора: . [8]

Будемо вважати, що обидва джерела збурень являються гармонічними функціями часу з частотою, рівною частоті обертання ротора, що характерно для відцентрових машин:

 

(2.13)

 

U – задана амплітуда осьових коливань вала, – амплітуда пульсуючого тиску. Для лінійних систем сумарна реакція рівна сумі реакцій на окремі збурення

 

(2.14)

 

, – амплітуди відповідних доданків вимушених коливань втулки.

Розглянемо перше рівняння системи (2.9) – модель А. Для гармонічних коливань оператор диференціювання , тому з першого рівняння системи (2.9) з урахуванням виразів (2.13) і (2.14) маємо

 

(2.15)

 

Відношення реакції системи до гармонічного впливу представляють відповідну частотну передаточну функцію:

 

(2.16)

 

де , – амплітудні і фазова частотні характеристики вимушених коливань втулки під дією осьових коливань ротора. Розділимо дійсну і уявну частини (2.16) для цього помножимо чисельник і знаменник на спряжене знаменнику комплексне число, а також введемо безрозмірну частоту і показник затухання: В результаті маємо

 

Амплітуда і фаза отриманого комплексного числа виражаються формулами:

 

(2.17)

 

На резонансній частоті

(2.18)

 

Подібним чином для моделі В

 

(2.19)

 

Реакція аксіально-рухомої втулки на пульсації ущільнюваного тиску однакова для обох моделей. Щоб отримати амплітуду в безрозмірному вигляді, будемо приймати:

 

(2.20)

 

Формули (2.17), (2.19), (2.20) дають можливість оцінити розмірну амплітуду для будь-якої частоти обертання по заданим амплітудам гармонічних впливів :

(2.21)

 

Формули (2.17) – (2.20) можна застосувати для механічних торцевих ущільнень, замінивши м’яку набивку з коефіцієнтом жорсткості на жорстке кільце з коефіцієнтом жорсткості, що прямує до безкінечності. При цьому а безрозмірні амплітуди . [8]

Нормальна робота ущільнення характеризується присутністю постійного контакту між торцевими поверхнями сальникової набивки і опорного диска. Але при вимушених осьових коливаннях диска змінюються деформація набивки і контактний тиск, а при достатньо великих амплітудах можливе періодичне розкриття пари стику. Розкриття стику супроводжується різким збільшенням протікання, тому його потрібно уникати.

Для моделі А величина стиснення набивки в рівноважному стані відраховується від її недеформованого стану. Якщо амплітуда сумарних вимушених коливань втулки перевищить , то на пів переході втулки від опорного диска торцевий стик буде розкриватися. В найбільш тяжкому випадку синфазних синхронних коливань щільність стику не порушується при умові . Для деякого спрощення будемо думати, що коливання вала відбуваються відносно незміщеного статичного положення . З формули (2.1) виходить, що це можливо при . В цьому випадку а умова збереження контакту з урахуванням (2.21) приймає вигляд:

 

(2.22)

 

Для моделі В та умова щільності контакту

 

(2.23)

 

Останні нерівності можна використовувати для вибору відносної жорсткості .[8]

 

Числовий розрахунок

Для того, щоб отримати деяке уявлення про динаміку аксіально – рухомої втулки реального торцевого сальникового ущільнення, розглянемо результати чисельного розрахунку амплітудних і фазових частотних характеристик двох різних за розмірами типових конструкцій. В обох прикладах статичний зсув ротора відсутній:

1. Насос двостороннього входу (типу Д) тиск нагнітання робоча частота обертання . Діаметр вала (захисної рубашки) під ущільненням 120 мм; , переріз набивки 20х20 мм, ; з досвіду приймається К=1,1. Коефіцієнти жорсткості пружних елементів та набивки По формулам (2.6), (2.8), (2.10),

2. Консольний конденсатний насос, тиск нагнітання , робоча частота . Діаметр валу під ущільненням 40мм; ; переріз набивки 8х8 мм, ; з досвіду приймаємо К=1,15; . По формулам (2.6), (2.8), (2.10) .

Більшість подібних насосів по параметрам займають проміжне положення, тому розрахунок таких крайніх варіантів дозволяє судити про динаміку ущільнень з проміжними параметрами.

На рисунках (2.2) та (2.3) приведені графіки амплітудних та фазових частотних характеристик для трьох значень показника затухання . Безрозмірні частотні характеристики для обох прикладів майже не відрізняються, тому показані тільки фази для обох варіантів розглянутих конструкцій. Результати оцінки амплітуд вимушених коливань на робочій і на резонансній частотах приведені в таблиці для амплітуд збурень і для показника затухання .

Попередня деформація пружних елементів і набивки, при яких торцевий стик не розкривається навіть на резонансних коливаннях, по умові (2.22), складає не менше 6,2 мм для моделі А, та не менше 5,5 мм для моделі В. Оскільки в розглянутих прикладах резонансні режими знаходяться далеко від номінальних, можна рекомендувати для набивки великого перерізу і для другого прикладу.

 

ν

ν

Af

Au

ν

φf

Рисунок 2.2 – АЧХ як реакції на осьові коливання валу (Au(ν)) та на пульсації тиску(Af(ν)) в безрозмірному вигляді; фазова частотна характеристика (φ(ν)) для першої моделі

 

ν

ν

Af

Au

φf

ν

Рисунок 2.3 – АЧХ як реакції на осьові коливання валу (Au(ν)) та на пульсації тиску(Af(ν)) в безрозмірному вигляді; фазові частотні характеристики (φ(ν)) для другої моделі

 

ω

ω

Af

Au

Рисунок 2.4 – АЧХ як реакції на осьові коливання валу (Au(ω)) та на пульсації тиску(Af(ω)) в розмірному вигляді; для першої моделі

 

Af

Au

ω

ω

Рисунок 2.5 – АЧХ як реакції на осьові коливання валу (Au(ω)) та на пульсації тиску(Af(ω)) в розмірному вигляді, для другої моделі

 

 

ω

ω

Af

Au

Рисунок 2.6 – АЧХ як реакції на осьові коливання валу (Au(ω)) та на пульсації тиску(Af(ω)) в розмірному вигляді при збільшенні коефіцієнтів жорсткостей пружини та набивки, для першої моделі

 

Af

Au

ω

ω

Рисунок 2.7 – АЧХ як реакції на осьові коливання валу (Au(ω)) та на пульсації тиску(Af(ω)) в розмірному вигляді при збільшенні коефіцієнтів жорсткостей пружини та набивки, для другої моделі

 

ω

ω

Au

Af

Рисунок 2.8 – АЧХ як реакції на осьові коливання валу (Au(ω)) та на пульсації тиску(Af(ω)) в розмірному вигляді при зменшенні одного коефіцієнту жорсткості сальникової набивки, для першої моделі

 

ω

ω

Af

Au

Рисунок 2.9 – АЧХ як реакції на осьові коливання валу (Au(ω)) та на пульсації тиску(Af(ω)) в розмірному вигляді при зменшенні одного коефіцієнту жорсткості сальникової набивки, для другої моделі